廣東省2025屆高三下冊3月綜合能力測試（燕博園聯(lián)考CAT）數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/廣東省2025屆高三下冊3月綜合能力測試（燕博園聯(lián)考CAT）數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．18 B．15 C．12 D．93．已知變量與的取值如下表：123455811且對呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，則與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程必經(jīng)過的定點(diǎn)為（

）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)，直線上的單位向量為，若，則的值為（

）A．4 B． C．或4 D．或5．2025年3月14日是星期五.學(xué)校數(shù)學(xué)組于3月10日至3月14日舉辦為期5天的“數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，其中有一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng).在一個(gè)不透明的紙箱中，放著5個(gè)質(zhì)地、大小完全相同的小球，球上寫著“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分別對應(yīng)得分.學(xué)生從中有放回地任取一個(gè)球，記下得分.設(shè)事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，則（

）A． B． C． D．6．已知斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且從上到下與依次交于兩點(diǎn)，，則（

）A． B．2 C． D．37．在棱長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，過直線的平面截該正方體的內(nèi)切球，所得截面圓的面積的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．的實(shí)部為3B．的虛部為C．D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限10．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A．B．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C．若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為D．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱11．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)的積，，則（

）A．B．C．若，則D．若，則的最大值為12三、填空題（本大題共3小題）12．在二項(xiàng)式的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）13．已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，為的右頂點(diǎn)，為上的點(diǎn)且在第一象限，且垂直于軸.若的離心率為2，則的斜率為.14．已知函數(shù)，且函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值；(3)討論函數(shù)在上的單調(diào)性.16．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若.（i）求；（ii）過邊上一點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，求的最小值.17．如圖，在三棱錐中，是邊長為4的等邊三角形，底面是以為直角的等腰直角三角形.(1)若，證明：平面平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.18．已知是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，的面積為.(1)求橢圓的方程.(2)若直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn).（i）若，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；（ii）若點(diǎn)關(guān)于直線對稱，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.19．已知.設(shè)集合或，且，集合.若集合中的元素滿足，則稱為的“相鄰元”.對于整數(shù)，若集合存在一個(gè)子集滿足：（i）集合中的元素個(gè)數(shù)為；（ii），在集合中都至少有個(gè)“相鄰元”，則稱是“好數(shù)”.(1)當(dāng)時(shí)，直接寫出的“相鄰元”；(2)當(dāng)時(shí)，求證：是“好數(shù)”；(3)當(dāng)時(shí)，若整數(shù)滿足，且，求證：是“好數(shù)”.

答案1．【正確答案】D【詳解】由于集合或，則.故選D.2．【正確答案】D【詳解】在等差數(shù)列中，，則.故選D.3．【正確答案】C【詳解】由于，則線性回歸方程必過定點(diǎn).故選C.4．【正確答案】C【詳解】因，則，因直線上的單位向量為，則，得，又因?yàn)?，且直線上的單位向量為，則，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則或.故選C.5．【正確答案】B【詳解】由已知得，故.故選B.6．【正確答案】D【詳解】

由于，直線方程為，聯(lián)立方程，消去得，顯然，得，所以，即.故選D.7．【正確答案】A【詳解】設(shè)是線段的中點(diǎn)，則，由勾股定理，球心到距離為，當(dāng)垂直于過的平面時(shí)，截得該正方體的內(nèi)切球所得截面圓的面積最小，被球截得的弦長為，此時(shí)圓的半徑就是，面積為.故選A.8．【正確答案】B【詳解】由于，又，則，即.由于則故選B.9．【正確答案】ACD【詳解】由于，則的實(shí)部為的虛部為2，不是，所以A正確，B錯(cuò)誤；由于在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以CD都正確，故選ACD.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A：由于，則，令，又，得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B：函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到，再將所得圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)，令，則函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，，選項(xiàng)B正確；對于C：要使函數(shù)在區(qū)間上恰有4個(gè)不同零點(diǎn)，由于，則的取值范圍為，選項(xiàng)C正確；對于D:，令，得，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，選項(xiàng)D正確.故選BCD.11．【正確答案】AC【詳解】由于，則，得，因?yàn)?，所以，所以，即，依次類推，得?對于選項(xiàng)A：方法1：，將上述不等式累乘得.方法2：由得，即成立.故選項(xiàng)A正確.對于選項(xiàng)B：由于，則，整理得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)C：由于，則，則，得，故選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D：由，則，，，將以上式子累加得：，①另外，，將以上式子累加得：，②結(jié)合①②式得：，解得，顯然符合題意，此時(shí)，綜上所述，的最大值為8，故D錯(cuò)誤.故選AC.12．【正確答案】240【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，所以，則，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為：，，令，得，故常數(shù)項(xiàng)是.13．【正確答案】3【詳解】設(shè)雙曲線焦距為，則，則.14．【正確答案】【詳解】由于，當(dāng)所以，故，又，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，則為偶函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，則問題轉(zhuǎn)化為不等式對任意恒成立，故不等式對任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，只要，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．【正確答案】(1)(2)極小值為，無極大值(3)減函數(shù)【詳解】（1）由于定義域?yàn)?，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即.（2）令，則，令，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.故函數(shù)的極小值為，無極大值.（3）由于函數(shù)，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，故，使，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上遞增，在上遞減.故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，顯然，等號不成立，故，故在上是減函數(shù).16．【正確答案】(1)(2)（i）；（ii）【詳解】（1）在中，.由及正弦定理得，，整理得.由于，則.又，故.（2）（i）如圖1，在中，，且，由正弦定理得，，即，得.（ii）由于，則與互補(bǔ)，故.方法1：單變量法設(shè)，則，，則.當(dāng)時(shí)，取得最小值為.方法2：四點(diǎn)共圓如圖1，由，故四點(diǎn)共圓，且為該圓直徑.由正弦定理得，故求的最小值等價(jià)于求的最小值.當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，故取得最小值為.方法3：建系坐標(biāo)法以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2，則，，直線，直線.設(shè)，則，直線.聯(lián)立方程得，.當(dāng)時(shí)，取得最小值為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，，則.取的中點(diǎn)，連接，則.在中，，則，是以為直角的等腰三角形，故.方法1：在中，，則.由于平面，則平面.又平面，故平面平面.方法2：由于，則是二面角的平面角.在中，，則.故二面角為直二面角，即平面平面.（2）方法1：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.由于是邊長為4的等邊三角形，二面角的平面角為，則.設(shè)直線與平面所成角為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由于，由得取，則.由于，故直線與平面所成角的正弦值為.方法2：作平面于，由于平面，則.取的中點(diǎn)為，連接.在等邊中，，則（三垂線定理的逆定理），則就是二面角的平面角，即.在中，，則在內(nèi).作于，連，則（三垂線定理）.設(shè)直線與平面所成角為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.由于，則，得.由于，故直線與平面所成角的正弦值為18．【正確答案】(1)(2)（i）證明見解析，；（ii）【詳解】（1）由于為等腰三角形，其面積為，則，又，則，得，又，則，得，故橢圓的方程為；（2）（i）由于，則直線的斜率肯定存在，設(shè)直線.聯(lián)立方程消去得，由得，.由于，因?yàn)?，且，所以，即，整理得，?）把代入（*）式，得，又，即，得，得，滿足，故直線過定點(diǎn)；

（ii）關(guān)于直線對稱，故直線與垂直，又，當(dāng)時(shí)，直線，橢圓上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則，由垂直關(guān)系，可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程，消去得，設(shè)，則，故，，故的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即.由于兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，把中點(diǎn)坐標(biāo)代入中得，，即.由得，，則，即，把代入，得，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，滿足，故.19．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）的“相鄰元”為.（2）因?yàn)?，所?設(shè)，顯然中每一個(gè)元素恰有9個(gè)“相鄰元”.設(shè)，構(gòu)造，則集合中的元素個(gè)數(shù)為.對集合中的任意元素，在集合中至多存在一個(gè)，滿足，從而在集合中至少有8個(gè)“相鄰元”，所以是“好數(shù)”.（3）設(shè)，且，且.①當(dāng)時(shí)，集合中的每一個(gè)元素均有2025個(gè)“相鄰元”.設(shè)，則中含有個(gè)元素.設(shè).則中含有個(gè)元素，.并且兩兩交集為空集，設(shè)，則共有：②對于，有在每一個(gè)中，至多有一個(gè)“相鄰元”.下面證明該結(jié)論：