2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及分布列第5講古典概型配套課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版VIP

PAGEPAGE5第5講古典概型配套課時(shí)作業(yè)1．(2024·中山模擬)袋子里有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，5個(gè)紅球，某人一次抽取3個(gè)球，若每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等，則該人抽到的球顏色互異的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,7)D.eq\f(3,11)答案D解析基本領(lǐng)件總數(shù)為Ceq\o\al(3,12)＝220(種)，該人抽到的球顏色互異的狀況有3×4×5＝60(種)，故所求概率為eq\f(60,220)＝eq\f(3,11).故選D.2．為了紀(jì)念抗日斗爭成功70周年，從甲、乙、丙、丁、戊5名候選民警中選2名作為閱兵安保人員，為閱兵供應(yīng)安保服務(wù)，則甲、乙、丙中有2名被選中的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,10)C.eq\f(3,20)D.eq\f(1,20)答案A解析從甲、乙、丙、丁、戊5人中選2人的全部狀況有Ceq\o\al(2,5)種，其中甲、乙、丙中有2人被選中的狀況有Ceq\o\al(2,3)種，故所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).3．(2024·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的基本領(lǐng)件總數(shù)為Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)＝25，第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的事務(wù)數(shù)為10，故所求事務(wù)的概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.4．(2024·湖南益陽調(diào)研)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案C解析若函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)，則a2－2<0，且與b的值無關(guān)，解得－eq\r(2)<a<eq\r(2)，∵a∈{－2,0,1,2,3}，∴a∈{0,1}，∴函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是eq\f(2,5).5．(2024·山西大同聯(lián)考)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中一次性隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則所取兩個(gè)數(shù)之和能被3整除的概率是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案A解析從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中一次性隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，共有10種取法，其中所取兩個(gè)數(shù)之和能被3整除包含(1,2)，(1,5)，(2,4)，(4,5)四種取法，所以概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，選A.6．(2024·山東高考)從分別標(biāo)有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.eq\f(5,18)B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9)D.eq\f(7,9)答案C解析eq\a\vs4\al(解法一：)∵9張卡片中有5張奇數(shù)卡片，4張偶數(shù)卡片，且為不放回地隨機(jī)抽取，∴P(第一次抽到奇數(shù)，其次次抽到偶數(shù))＝eq\f(5,9)×eq\f(4,8)＝eq\f(5,18)，P(第一次抽到偶數(shù)，其次次抽到奇數(shù))＝eq\f(4,9)×eq\f(5,8)＝eq\f(5,18).∴P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝eq\f(5,18)＋eq\f(5,18)＝eq\f(5,9).故選C.eq\a\vs4\al(解法二：)依題意，得P(抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同)＝eq\f(5×4,C\o\al(2,9))＝eq\f(5,9).故選C.7．從集合A＝{2,3，－4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為k，從集合B＝{－2，－3,4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b，則直線y＝kx＋b不經(jīng)過其次象限的概率為()A.eq\f(2,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9)D.eq\f(5,9)答案C解析依題意k和b的全部可能的取法一共有3×3＝9(種)，當(dāng)直線y＝kx＋b不經(jīng)過其次象限時(shí)，應(yīng)有k>0，b<0，一共有2×2＝4(種)，所以所求概率為eq\f(4,9).故選C.8．(2024·海淀模擬)袋中有紅、黃、白色球各1個(gè)，每次任取1個(gè)，有放回地取三次，則三次顏色各不相同的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9)D．1答案C解析每次取球都有3種方法，共有33＝27種不同結(jié)果，即27個(gè)基本領(lǐng)件，記事務(wù)A為“三次顏色各不相同”，則P(A)＝eq\f(A\o\al(3,3),27)＝eq\f(2,9).9．(2024·梅州質(zhì)檢)如圖所示方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個(gè)，允許重復(fù)．則填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4)D.eq\f(3,8)答案D解析只考慮A，B兩個(gè)方格的排法．不考慮大小，A，B兩個(gè)方格有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝16(種)排法．要使填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則從1,2,3,4中選2個(gè)數(shù)字，大的放入A格，小的放入B格，有Ceq\o\al(2,4)＝6種，故填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，選D.10．(2024·云南部分校聯(lián)考)袋中共有7個(gè)球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)白球、2個(gè)黑球．若從袋中任取3個(gè)球，則所取3個(gè)球中至多有1個(gè)紅球的概率是()A.eq\f(4,35)B.eq\f(31,35)C.eq\f(18,35)D.eq\f(22,35)答案D解析所取3個(gè)球中沒有紅球的概率為P1＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，所取3個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為P2＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，則所取3個(gè)球中至多有1個(gè)紅球的概率為P＝P1＋P2＝eq\f(22,35).11．從2,4,6中選兩個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，該四位數(shù)為偶數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案B解析從2,4,6中選兩個(gè)數(shù)字，有Ceq\o\al(2,3)＝3種不同選法，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，有Ceq\o\al(2,3)＝3種不同選法，共組成Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝216個(gè)不同的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝108，所以該四位數(shù)為偶數(shù)的概率為eq\f(108,216)＝eq\f(1,2).選B.12．(2024·徐州模擬)從1～9這9個(gè)自然數(shù)中任取7個(gè)不同的數(shù)，則這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,8)答案C解析從1～9這9個(gè)自然數(shù)中任取7個(gè)不同的數(shù)的取法共有Ceq\o\al(7,9)＝36種，從(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任選3組，有Ceq\o\al(3,4)＝4種選法，故這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5的概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).故選C.13．(2024·合肥模擬)從2名男生和2名女生中隨意選擇兩人在星期六、星期日參與某公益活動(dòng)，每天一人，則星期六支配一名男生、星期日支配一名女生的概率為________．答案eq\f(1,3)解析設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，隨意選擇兩人在星期六、星期日參與某公益活動(dòng)，共有Aeq\o\al(2,4)＝12種狀況，而星期六支配一名男生、星期日支配一名女生共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4種狀況，則發(fā)生的概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).14．(2024·廣州模擬)在一個(gè)袋內(nèi)裝有同樣大小、質(zhì)地的五個(gè)球，編號(hào)分別為1、2、3、4、5，若從袋中隨意取兩個(gè)，則編號(hào)的和是奇數(shù)的概率為________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)．答案eq\f(3,5)解析從袋中隨意取兩個(gè)球，共有Ceq\o\al(2,5)＝10種．若編號(hào)的和為奇數(shù)，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6(種)，所以編號(hào)的和是奇數(shù)的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).15．某人在微信群中發(fā)了一個(gè)7元“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的概率是________．答案eq\f(2,5)解析由題意得共有(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(1,3,3)，(3,1,3)，(3,3,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)這15種可能，其中甲領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人的可能有(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,1,3)，(3,3,1)，(3,2,2)這6種，所以所求概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).16．(2024·大同模擬)為支持西部開發(fā)，須要從8名男干部和2名女干部中選拔4人到某地，要求男性干部不少于3人，則干部配置合理的概率為________．答案eq\f(13,15)解析配置合理分為兩種狀況：一是4人中有3人為男干部，二是4人全部為男干部，則配置合理的概率為P＝eq\f(C\o\al(3,8)·C\o\al(1,2)＋C\o\al(4,8),C\o\al(4,10))＝eq\f(13,15).17．10個(gè)球，其中3個(gè)白球、7個(gè)黑球，某人有放回地進(jìn)行抽球，求下列事務(wù)的概率：(1)第3次抽到白球；(2)第3次才抽到白球．解(1)記Ω＝{第3次抽球}，則n＝10，A＝{第3次抽到白球}，m＝3.所以P(A)＝eq\f(3,10)＝0.3.(2)記Ω′＝{連續(xù)從10個(gè)球中有放回地抽3次球}，則n＝103，B＝{第3次才抽到白球}，則m＝7×7×3.所以P(B)＝eq\f(7×7×3,103)＝0.147.18．(2024·蘭州雙基測試)一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．解(1)∵有放回的抽取3次，∴總的結(jié)果有：3×3×3＝27(種)，滿意要求的有3種，設(shè)“抽取卡片上的數(shù)字滿意a＋b＝c”為事務(wù)A，則事務(wù)A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)共3種，∴概率P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事務(wù)B，則事務(wù)eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f(8,9).19．已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A，B兩組，每組4支，求：(1)A，B兩組中有一組恰好有2支弱隊(duì)的概率；(2)A組中至少有2支弱隊(duì)的概率．解(1)解法一：3支弱隊(duì)在同一組中的概率為eq\f(C\o\al(1,5),C\o\al(4,8))×2＝eq\f(1,7)，故有一組恰好有2支弱隊(duì)的概率為1－eq\f(1,7)＝eq\f(6,7).解法二：A組恰有2支弱隊(duì)的概率為eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,5),C\o\al(4,8))，B組恰好有2支弱隊(duì)的概率為eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,5),C\o\al(4,8)).所以有一組恰好有2支弱隊(duì)的概率為eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,5),C\o\al(4,8))＋eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,5),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,7).(2)解法一：A組中至少有2支弱隊(duì)的概率為eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,5),C\o\al(4,8))＋eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,5),C\o\al(4,8))＝e