2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量第1節(jié)平面向量的實(shí)際背景及基本概念課下能力提升十三含解析新人教A版必修4VIP

PAGEPAGE1課下實(shí)力提升(十三)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1向量的有關(guān)概念1．汽車以120km/h的速度向西走了2h，摩托車以45km/h的速度向東北方向走了2h，則下列命題中正確的是()A．汽車的速度大于摩托車的速度B．汽車的位移大于摩托車的位移C．汽車走的路程大于摩托車走的路程D．以上都不對(duì)解析：選C速度和位移是向量，由向量不能比較大小可知A，B錯(cuò)；汽車走的路程為240km，摩托車走的路程為90km，故C正確．2.如圖，在圓O中，向量，，是()A．有相同起點(diǎn)的向量B．單位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：選C由題圖可知三向量方向不同，但長(zhǎng)度相等．3．下列命題：①若a是單位向量，b也是單位向量，則a與b的方向相同或相反；②若向量是單位向量，則向量也是單位向量；③以坐標(biāo)平面上的定點(diǎn)A為起點(diǎn)，全部單位向量的終點(diǎn)P的集合是以A為圓心的單位圓．其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3解析：選C由單位向量的定義知，凡長(zhǎng)度為1的向量均稱為單位向量，對(duì)方向沒有任何要求，故①不正確．因?yàn)閨|＝||，所以當(dāng)是單位向量時(shí)，也是單位向量，故②正確．因?yàn)橄蛄渴菃挝幌蛄浚蕓|＝1，所以點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上的一點(diǎn)；反過來，若點(diǎn)P是以A為圓心的單位圓上的隨意一點(diǎn)，則因?yàn)閨|＝1，所以向量是單位向量，故③正確．題組2向量的表示4．一個(gè)人先向東行進(jìn)了5千米，而后又向西行進(jìn)了3千米，那么這個(gè)人總共()A．向東行進(jìn)了8千米B．向東行進(jìn)了2千米C．向東行進(jìn)了5千米D．向西行進(jìn)了3千米解析：選B記向東方向?yàn)檎?，則向東行進(jìn)了5千米為＋5千米，向西行進(jìn)了3千米為－3千米，則＋5＋(－3)＝＋2，表示向東行進(jìn)了2千米．5．如圖，在矩形ABCD中，可以用一條有向線段表示的向量是()A．和B．和C．和D．和解析：選B和方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一條有向線段表示．6.在如圖的方格紙中，畫出下列向量．(1)||＝3，點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向；(2)||＝3eq\r(2)，點(diǎn)B在點(diǎn)O北偏西45°方向；(3)求出||的值．解：取每個(gè)方格的單位長(zhǎng)為1，依題意，結(jié)合向量的表示可知，(1)(2)的向量如圖所示．(3)由圖知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝eq\r(|OB→|2－|OA→|2)＝3.題組3相等向量與共線向量7．在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則如圖所示的向量中，相等向量有()A．一組B．二組C．三組D．四組解析：選A由向量相等的定義可知，只有一組向量相等，即＝.8．如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O中的隨意一點(diǎn)為起點(diǎn)，與起點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的全部向量中，與向量共線的向量共有()A．2個(gè)B．3個(gè)C．6個(gè)D．9個(gè)解析：選D與向量共線的向量有，，，，，，，，，共9個(gè)．9．如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形，那么以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中：(1)與共線的向量有_____________________________________________；(2)與相等的向量有_____________________________________________；(3)與模相等的向量有___________________________________________．解析：(1)與已知向量在同始終線上或平行的向量都是它的共線向量，依據(jù)題意，與共線的向量有，，，，，，.(2)與已知向量相等的向量與已知向量方向相同、長(zhǎng)度相等，于是與相等的向量有，.(3)向量的模相等，只需長(zhǎng)度相等，與方向無關(guān)，依據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，可知與模相等的向量有，，，，，，，，.答案：(1)，，，，，，(2)，(3)，，，，，，，，10．如圖是4×3的矩形(每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是1)，在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，與向量平行且模為eq\r(2)的向量共有幾個(gè)？與向量方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有幾個(gè)？解：(1)依題意，每個(gè)小方格的兩條對(duì)角線中，有一條對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量及其相反向量都和平行且模為eq\r(2).因?yàn)楣灿?2個(gè)小方格，所以滿意條件的向量共有24個(gè)．(2)易知與向量方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有2個(gè)．[實(shí)力提升綜合練]1．如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，則與向量相等的向量是()A．與B．與C．與D．與解析：選B向量相等要求模相等，方向相同，因此與都是和相等的向量．2．已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則||＝()A．1B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)解析：選D易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則AO＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝eq\r(3)，則||＝2||＝2eq\r(3).故選D.3．下列說法中正確的是()A．||與線段BA的長(zhǎng)度不相等B．對(duì)任一向量a，|a|>0總是成立的C．||＝||D．若a∥b，且|a|＝1005，|b|＝1013，則|a＋b|＝2018解析：選C||，||分別與線段AB，BA的長(zhǎng)度相等，所以A不正確，C正確；|0|＝0，對(duì)任一向量a，|a|≥0總成立，所以B不正確；對(duì)于D，當(dāng)a與b方向相反時(shí)，|a＋b|＝8，故D不正確．4．給出下列命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|.其中，正確的命題有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解析：選A①忽視了0與0的區(qū)分，a＝0；②混淆了兩個(gè)向量的模相等和兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，兩個(gè)向量的模相等，只能說明它們的長(zhǎng)度相等，它們的方向并不確定；③兩個(gè)向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等．5．設(shè)a0，b0分別是a，b的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào))．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因?yàn)閍0，b0是單位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③6.如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．(1)與向量相等的向量有________；(2)若||＝3，則||＝________.解析：(1)依據(jù)向量相等的定義以及四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，可知與向量相等的向量有，.(2)因?yàn)閨|＝3，||＝2||，所以||＝6.答案：(1)，(2)67．有下列說法：①若a≠b，則a肯定不與b共線；②若＝，則A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；③在?ABCD中，肯定有＝；④若a＝b，b＝c，則a＝c；⑤共線向量是在一條直線上的向量．其中，正確的說法是________．解析：對(duì)于①，兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不相等，方向相同或相反，所以a與b有共線的可能，故①不正確；對(duì)于②，A，B，C，D四點(diǎn)可能在同一條直線上，故②不正確；對(duì)于③，在?ABCD中，||＝||，與平行且方向相同，所以＝，故③正確；對(duì)于④，a＝b，則|a|＝|b|，且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c方向相同，所以a與c方向相同且模相等，故a＝c，故④正確；對(duì)于⑤，共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線相互平行的向量，故⑤不正確．答案：③④8．如圖所示方格紙由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形并在一起組成，方絡(luò)紙中有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，且||＝eq\r(5).(1)畫出全