導數的應用課件VIP

導數的應用定理1設函數滿足下列條件(3)(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內可導;則在內至少存在一點，ab使得羅爾中值定理3.1中值定理

定理的幾何意義：如果在連續(xù)曲線上，處處有不垂直于軸的切線，且曲線段的兩個端點的縱坐標相等，那么曲線上至少存在一點，使得在該點處的切線平行于x軸．見圖

在圖3-1中，在曲線的最高點或最低點處切線是水平的，這就啟發(fā)我們去證明在函數的最大值點或最小值點處的導數為零.

證因為在上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質可知，在上必有最大值和最小值．

，則在上恒為常數．從而在內處處有如果(1)

此時顯然定理成立.\\\圖3-1

，所以與中至少有一個不會在區(qū)間的端點取到.

不妨假設不在端點取到,

，則在內至少存在一點,使得下面證明有

因為是函數在上的最大值，所以總有當時，有又在內可導，所以在點處可導，即存在，且有(2)由于

為此,給自變量在點一個增量,則有函數的增量當時，有從而從而有

解因是初等函數,而初等函數在其定義域內連續(xù),又該函數的定義域為,且顯然［0,3］

,所以在［0,3］上連續(xù),,

所以在(0,3)內可導,

例1驗證在［0,3］上是否滿足羅爾定理的所有條件？如果滿足，請找出定理中的．因時所以此時根據極限的保號性有因時所以此時根據極限的保號性有又在(0,3)內均有定義又即在區(qū)間[0，3]上滿足羅爾定理的條件．

由羅爾定理知，在（0，3）內至少存在一點，使得．為求值,可令解之得易見,因此可取則在區(qū)間內至少存在(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內可導；定理2設函數滿足下列條件一點，使得拉格朗日中值定理曲線處處有不垂直于軸的切線如圖在直角坐標系Oxy端點連線AB的斜率為所以定理實際是說存在點，使曲線在該點的切線T平行于弦AB。即.

.

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二、兩個重要推論2.在開區(qū)間內可導，1.在閉區(qū)間上連續(xù)；定理3Cauchy中值定理則在區(qū)間內定有點使得柯西中值定理設函數與滿足如下條件：Rolle定理是Lagrange定理的特例:

在Lagrange中值定理中如果

則Lagrange中值定理變成Rolle定理；Cauchy定量是Lagrange定理的推廣在Cauchy中值定理中如果，則Cauchy化為Lagrange中值定理。三個中值定理的關系洛必達法則就是解決這類極限的工具。3.2

洛必達法則

通常分別稱這兩類極限為“”型或“”型的未定式．

在求極限的過程中，常常遇到這樣的情形,即在自變量的同一變化過程中，分子、分母同時趨于零或同時趨于無窮大的情形.例如定理1設函數與在的某空心鄰域內有定義，且滿足如下條件：存在或為1．型未定式．（為任意實數）

例1求解例2求解例3

求

解

此定理的結論對于時型未定式同樣適用。例4求解

2．型不定式．的某空心鄰域內有定義，且滿足如下條件與在該鄰域內都存在，且則定理2設函數與在點例5求解:

定理2的結論對于時的型未定式的極限問題同樣適用。例6

求解

則可繼續(xù)使用洛必達法則。即有能滿足定理中與應滿足的條件，與還是型未定式，且如果如果反復使用洛必達法則也無法確定則洛必達法則失效.

此時需用別的辦法判斷未定式的極限。

或能斷定的極限，無極限，例7求解

這個問題是屬于型未定式，但分子分母分別求導后得此式振蕩無極限，故洛必達法則失效，不能使用。但原極限是存在的，可用下法求得3．其它型不定式未定式除和型外，還有

型、

型、等五種類型。

型、

型、

型、型或者型型：變?yōu)槔?求解型:通分相減變?yōu)樾屠?求（型）解型未定式:由于它們是來源于冪指函數的極限因此通?？捎萌档姆椒ɑ蚶眉纯苫癁樾臀炊ㄊ剑倩癁樾突蛐颓蠼?。例10求

解所以例11求解設所以（型）例12求（型）所以

解3.3

函數的單調性定理1設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，則：1.若在(a,b)內,則f(x)在區(qū)間(a,b)內單調增加2.若在(a,b)內,則f(x)在區(qū)間(a,b)內單調減少。abab例2

確定函數的單調區(qū)間.可導，且等號只在x=0成立.

解

因為所給函數在區(qū)間上連續(xù)，在內例1判定函數在區(qū)間上的單調性.所以函數在區(qū)間上單調增加.解所以當

x=-1,x=1時

x(-∞,-1)

-1(-1,1)

1(1,+∞)f′(x)

+

0

-

0

+f(x)

解函數的定義域且在定義域內連續(xù)例3確定函數的單調區(qū)間。其導數為當時不存在，且不存在使的點用把定義域分成兩個區(qū)間，見下表：

x(-∞,0)(0,+∞)

f′(x)

-

+

f(x)

單增

單減

反之，如果對此鄰域內任一點，恒有則稱為函數的一個極小值，稱為極小值點。

3.4函數的極值定義設函數在點的某鄰域內有定義，若對此鄰域內每一點，恒有，則稱是函數的一個極大值，稱為函數的一個極大值點；

函數的極大值極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點極小值點統(tǒng)稱為極值點。

ABCDE極值是局部的，只是與鄰近點相比較而言。并非在整個區(qū)間上的最大最小。極大值點與極小值點也不是唯一的。如下圖中A、B、C、D、E都是極值點。從圖中可看出,極小值不一定小于極大值，如圖中D點是極小值，A點是極大值。定理3（極值第一判別法）：

設函數在點的某鄰域內連續(xù)，且在此鄰域內（可除外）可導（1）如果當時，而當時，則在取得極大值。（）如圖所示：在，在，在取得極大值。

（2）如果當時，而當時，則在取得極小值。（）如圖所示：在，在，在取得極小值。（3）如果在兩側的符號不變，則不是的極值點，如圖示（）(4)利用定理3,判斷(2)中的點是否為極值點,如果是

求極值點的步驟：(1)求函數的定義域(有時是給定的區(qū)間);(3)用(2)中的點將定義域(或區(qū)間)分成若干個子區(qū)間,進一步判定是極大值點還是極小值點.(2)求出,求出使的點及不存在的點;討論在每個區(qū)間的符號;(5)求出各極值點處的函數值,得函數的全部極值.例4求函數的單調區(qū)間和極值.解函數的定義域為令,得駐點這三個點將定義域分成四個部分區(qū)間，列表如下極大值極小值令得由于定理4(極值的第二判別法)設函數在點處具有

二階導數，且，；（1）若，則是函數的極小值點；（2）若，則是函數的極大值點；例5求函數的極值.解函數的定義域為所以為極大值,為極小值.3.4.2函數的最大值與最小值是函數在所考察的區(qū)間上全部函數值中最大者和最小者最小的就是函數在區(qū)間上的最小值。連續(xù)函數在區(qū)間上的最大值與最小值可通過比較端點處的函數值和;1.區(qū)間2.區(qū)間內使的點處的函數值；內使不存在的點處的函數值。3.區(qū)間這些值中最大的就是函數在上的最大值,上的最大值與最小值是全局性的概念,函數在區(qū)間如下幾類點的函數值得到：上的最大值和最小值。在駐點處函數值分別為在端點的函數值為最大值為最小值為解令，得駐點例6

求函數

在區(qū)間比較上述5個點的函數值，即可得在區(qū)間上的

如果連續(xù)函數在某區(qū)間內僅有惟一一個極值點,則該極值點必為最值點．且若是極大值點則就是最大值點，若是極小值點則就是最小值的點．

一般求實際問題的最大值或最小值都屬于這種情形．

例７某工廠生產某種產品，年產量為（百臺）,總成本（萬元),其中固定成本為2萬元,每生產1百臺，成本就增加1萬元，市場上每年可銷售此種產品4百臺，其銷售總收入是的函數問每年生產多少百臺，可使利潤最大？解由題意知，所以

顯然當時，不會取得最大值，所以只考慮

,可知點是函數的極大值點，又因為函數僅有唯一一個極值點,所以這個極大值點就是函數的最大值點．即每年生產３百臺，總利潤最大．在內，令解得又)(xLx2a-2xx例

4

有一塊寬為a2的長方形鐵皮，將寬的兩個邊緣向上折起，做成一個開口水槽，其橫截面為矩形，高為x,問高

x取何值時水槽的流量最大(下圖所示為水槽的橫截面）？

解

設兩邊各折起

x,則橫截面積為

)(2)(xaxxS-=

)0(ax<<

這樣，問題歸結為：當

x為何值時，)(xS取得最大值．

由于xaxS42)(-=￠,所以令0)(=￠xS,得)(xS的惟一駐點2ax=．

又因為鐵皮兩邊折的過大或過小，其橫截面積都會變小，因此，該實際問題存在著最大截面積．

所以，)(xS的最大值在2ax=處取得，即當2ax=時，水槽的流量最大．

3.4.3最大值與最小值在經濟問題中的應用舉例

在經濟學中，總收益、總成本都可以表示為產量的函數，分別記為和，則總利潤可表示為最大利潤原則:取得最大值的必要條件為即所以取得最大利潤的必要條件是:邊際收益等于邊際成本例5已知某產品的需求函數為成本函數為問產量為多少時總利潤L最大?解已知,于是有令得所以當Q=20時總利潤最大3.5導數在經濟中的應用3.5.1函數的變化率——邊際函數定義1設函數在點處可導，為的邊際函數。稱導函數在點處的導數稱為在點處的邊際函數值。其含義為:當時,x改變一個單位，相相應地y約改變個單位．實際上，當時,在時的邊際函數值。,試求例1設函數解,所以,

邊際成本是總成本的變化率。設C為總成本，下面介紹幾個常見的邊際函數:1．邊際成本為固定成本，則有為可變成本，為平均成本，為邊際成本，為產量，總成本函數

平均成本函數邊際成本函數

例2已知某商品的成本函數為,求當時的總成本，平均成本及邊際成本。解由令得邊際成本于是當時總成本平均成本

Q

為多少時，平均成本最小?例3在例1中，當產量解

所以,當Q

=20時平均成本最小。2．收益

平均收益是生產者平均每售出一個單位產品所得到的收入，即單位商品的售價。邊際收益為總收益的變化率。總收益、平均收益、邊際收益均為產量的函數。設P為商品價格，Q

為商品量，R為總收益，為平均收益，為邊際收益，則有需求函數總收益函數平均收益函數邊際收益函數需求與收益有如下關系:總收益

平均收益

邊際收益總收益與平均收益及邊際收益的關系為求銷售量為30時的總收益，平均收益與邊際收益。例4設某產品的價格和銷售量的關系為解總收益平均收益邊際收益例6

某工廠生產某種產品，固定成本20000元，每生產一單位產品，成本增加100元。已知收益解根據題意，總成本函數為是年產量的函數問每年生產多少產品時總利潤最大?此時總利潤是多少?從而可得總利潤函數為令得由于,故時利潤最大此時

即當生產量為300個單位時,總利潤最大,其最大利潤為25000元.

設某企業(yè)某種產品的生產量為個單位,代表總成本,代表邊際成本,每單位產品的平均成本為

在生產實踐中,經常遇到這樣的問題,即在既定的生產規(guī)模條件下,如何合理安排生產能使成本最低,利潤最大?

3．成本最低的生產量問題于是由極值存在的必要條件知，使平均成本為極小的生產量應滿足,于是得到一個經濟學中的重要結論:

使平均成本為最小的生產水平（生產量），正是使邊際成本等于平均成本的生產水平（生產量）。例1設某產品的成本函數為試求使平均成本最小的產量水平。解平均成本令解得,由于所以是平均成本的最小值點也就是平均成本最小的產量水平此時即時,邊際成本等于平均成本也使平均成本達到最小.

其經濟意義為：當需求量為20個單位時，若再多銷售1個單位產品，則總收入將增加12個單位；當銷售量為50個單位時，若再多銷售1個單位產品，則總收入不會改變；而當銷售量為70個單位時，若再多銷售1個單位產品，則總收入反而會減少8個單位．二、彈性分析1．函數的彈性（1）相對改變量

設有甲、乙兩種商品,其單價分別為5元和1000元,現在讓這兩種商品的價格均上漲一元.我們會發(fā)現甲商品的價格變化比較大,而感覺乙商品的價格變化微乎其微.因此甲商品的需求量必會發(fā)生很大的波動,而乙商品的需求量不會發(fā)生多大變化.先看一例

為什么均漲價了一元,而需求量的變化又不同呢?其原因顯然是原來價格的差異造成了漲價的幅度實際上不同甲商品漲價的幅度是:%

20%乙商品漲價的幅度是:%

0.1%

對于函數，稱為自變量在點處的相對改變量，稱為函數在點處的相對改變量．（2）彈性的定義

定義3.4設函數在點處有定義,給自變量在點一個增量,則有函數有相應的增量,如果當時,函數的相對增量與自變量的相對增量之比的極限:存在,則稱該極限值為函數在點處的彈性.記作注意:由定義易見因此常常用公式求彈性.2．彈性的經濟意義

函數在點處的彈性表示在點處,當自變量增加1%時，函數值會在原來基礎上改變%注意:當為正數時,函數值會增大%,當當為負數時,函數值會減少%,

反映了對的相對變化率，即對變化的靈敏度．3．需求價格彈性對銷售收益的分析需求量與價格的函數關系為需求量對價格的彈性稱為需求價格彈性,記作即當時,即時當時,即時當時,即時一般,由于所以．

設總收益則

因為需求量,且所以于是從中提出

（1）若，即時，如果價格提高1%,則減少的需求量不會超過1%，這時若提高價格必然會使得總收益增加.生活必需品多屬此情況.稱這種商品是低彈性的(或缺乏彈性的).

（2）若，即時，如果價格提高1%,則減少的需求量將大于1%，這時若提高價格必會使得總收益減少．奢侈品多屬此情況；稱這種商品是高彈性的(或是富有彈性的).

（3）若，即時，如果價格提高1%，則減少的需求量恰好也是1%，這時，總收益不變．這種商品很少見．常稱這種商品是單位彈性的.

例３若市場需求曲線為，求價格

時的需求價格彈性，并說明怎樣調整價格才能使總收益增加．解

當時因而該商品是缺乏彈性的．故提高價格會使得總收益增加．M1xyoM2M1xyoM23.6.1曲線的凹凸與拐點定義1：如果在某區(qū)間內，曲線弧總是位于其切線的上方，則稱曲線在這個區(qū)間上是凹的。如圖所示§3.6利用導數研究函數

如果曲線弧總是位于其切線的下方，則稱曲線在這個區(qū)間上是凸的。如下圖：

當曲線為凹時，曲線的切線斜率隨著的增加而增加，即是增函數；反之，當曲線為凸時，曲線的切線斜率隨著的增加而減少，即是減函數。

M1xM2yoM1xyoM2定理1

設函數在區(qū)間內具有二階導數（1）如果∈時，恒有，則曲線在內為凹的；（2）如果∈時，恒有，則曲線在內為凸的。定義2曲線上凹與凸的部分的分界點稱為曲線的拐點。拐點既然是凹與凸的分界點，所以在拐點的某鄰域內必然異號，因而在拐點處或不存在。

（1）確定函數的定義域；（2）先求出函數的二階導數，找出在定義域內使得的點和不存在的點；（3）對上述求出的每一個點，檢查其左、右鄰近的的符號，如果異號,則點是曲線的拐點；如果同號,則點不是曲線的拐點．

例１求曲線的凹向區(qū)間與拐點.解函數的定義域為，

令，解得．

把定義域分成三個區(qū)間，列表如下：

求曲線拐點的一般步驟如下：因此,該曲線的拐點為和例２求曲線的拐點．解函數的定義域為，

顯然時,不存在所以該曲線的拐點為3.6.2曲線的漸近線

有些函數的定義域或值域是無窮區(qū)間，此時函數的圖形向無限遠處延伸，如雙曲線、拋物線等。有些向無窮遠延伸的曲線，越來越接近某一直線的趨勢，這種直線就是曲線的漸近線。

定義