2025年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGE1眉山市2025年初中學(xué)業(yè)水平暨高中階段學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．在答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號準(zhǔn)確填寫在答題卡相應(yīng)的位置．3．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的正確選項涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他選項；答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上；所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．4．不允許使用計算器進(jìn)行運算，凡無精確度要求的題目，結(jié)果均保留準(zhǔn)確值．5．凡作圖題或輔助線均用簽字筆畫圖．第Ⅰ卷（選擇題共48分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小項4分，共48分．在每個小題給出的四個選項中只有一項是正確的，請把答題卡上相應(yīng)題目的正確選項涂黑．1.2025的相反數(shù)是（）A.2025 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，熟知相反數(shù)的概念是關(guān)鍵；根據(jù)相反數(shù)的定義，數(shù)值相同但符號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù)即可得到答案.【詳解】解：相反數(shù)的定義為：一個數(shù)的相反數(shù)是在其前面添加負(fù)號所得的數(shù)；2025是正數(shù)，其相反數(shù)為；選項中B符合相反數(shù)的定義；A是原數(shù)，C和D分別為倒數(shù)和負(fù)倒數(shù)，均不符合題意；故選B.2.剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)．下列剪紙作品中屬于軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，屬于應(yīng)知應(yīng)會題型，熟知軸對稱圖形的概念是關(guān)鍵；根據(jù)軸對稱圖形的定義：將一個圖形沿著某條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，逐項判斷即可.【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：A.3.在《哪吒之魔童鬧?！返扔捌膸酉?，今年的中國電影市場火熱開局，一季度的中影票房達(dá)到244億元．244億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來確定．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負(fù)數(shù)．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法進(jìn)行解答即可．【詳解】解：244億用科學(xué)記數(shù)法表示為．故選：C．4.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查整式的運算，涉及合并同類項、同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方與積的乘方．需逐一分析各選項的正確性．【詳解】解：．與不是同類項，無法直接相加，故該選項不符合題意；．，原計算錯誤，故該選項不符合題意；．，原計算錯誤，故該選項不符合題意；．原計算正確，故該選項符合題意；故選：D．5.在平面直角坐標(biāo)系中，將點向右平移2個單位到點B，則點B的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移．掌握平移規(guī)律“左右橫，上下縱，正加負(fù)減”是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)平移規(guī)律，向右平移2個單位時，點的橫坐標(biāo)增加2，縱坐標(biāo)不變，即可解答．【詳解】解：點向右平移2個單位，橫坐標(biāo)變?yōu)?，縱坐標(biāo)保持3不變．所以，點的坐標(biāo)為，、故選：C．6.如圖，直線l與正五邊形的邊分別交于點M、N，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和、對頂角相等，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵；先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360度求出，結(jié)合對頂角相等即可得到答案.【詳解】解：∵正五邊形，∴，∴，∵，∴；故選：C.7.如圖，在的方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，將以點O為位似中心放大后得到，則與的周長之比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，正確得到以點O為位似中心放大2倍后得到是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意可得以點O為位似中心放大2倍后得到，再根據(jù)位似圖形性質(zhì)求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意可得：以點O為位似中心放大2倍后得到，∵，∴與的周長之比是；故選：B.8.如圖，在四邊形中，，，．按下列步驟作圖：①以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交于E、F兩點；②分別以點E、F為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；③作射線交于點G，則的長為（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖和平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識；根據(jù)題意可得：平分，即，根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的判定可得，進(jìn)一步即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意可得：平分，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故選：A.9.我國古代算書《四元玉鑒》里有這樣一道題：“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個？”其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，其中十一文錢可以買甜果九個，四文錢可以買苦果七個，問甜果苦果各買幾個？若設(shè)買甜果x個，苦果y個，根據(jù)題意可列方程組為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查根據(jù)實際問題列方程組，設(shè)買甜果x個，苦果y個，根據(jù)用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，其中十一文錢可以買甜果九個，四文錢可以買苦果七個，列出方程組即可．【詳解】解：設(shè)甜果x個，苦果y個，∵用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，故可列方程為：∵甜果9個11文，苦果7個4文，∴甜果每個單價為文，苦果每個單價為文，∵總費用為999文，故可列方程為：；故可列方程組：；故選C．10.在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，則向量，已知，，若，則與互相垂直．下列選項中兩向量互相垂直的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查向量的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值的運算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及二次根式的運算，根據(jù)新定義，逐一列出算式，進(jìn)行計算判斷即可，熟練掌握新定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵，；∴不垂直，不符合題意；B、∵，，∴不垂直，不符合題意；C、∵，，∴不垂直，不符合題意；D、∵，，∴垂直，符合題意；故選：D．11.若關(guān)于x的不等式組至少有兩個正整數(shù)解，且關(guān)于x的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為（）A.8 B.14 C.18 D.38【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了求不等式組的解集，解分式方程，先解不等式組，確定出a的取值范圍，再解分式方程，結(jié)合解為正整數(shù)的條件篩選出a的值，最后求和即可．【詳解】解：解①得：解②得：，∵關(guān)于x的不等式組至少有兩個正整數(shù)解∴不等式組的解集為．∵不等式組的解集至少有兩個正整數(shù)解，則解集需包含至少兩個整數(shù)．當(dāng)時，解集包含，此時．分式方程化簡為：，解得．要求解為正整數(shù)且，則為大于等于2的整數(shù)，即為大于等于6的偶數(shù)．∵，∴或8，當(dāng)時，不等式組的解集為，整數(shù)解為，滿足條件．當(dāng)時，不等式組的解集為，整數(shù)解為，滿足條件．則所有滿足條件的整數(shù)之和為，故選：B．12.如圖1，在中，，點D在上，，動點P在的邊上沿方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到達(dá)點A時停止，以為邊作正方形．設(shè)點P的運動時間為t秒，正方形的面積為S．當(dāng)點P由點B運動到點A時，如圖2，S是關(guān)于t的二次函數(shù)．在3個時刻，，對應(yīng)的正方形的面積均相等．下列4個結(jié)論：①當(dāng)時，；②點P在線段上時；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點P運動到B點時，，由此求出，當(dāng)時，點P的運動路程為1，即此時點P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)正方形面積公式求出S，據(jù)此可判斷①；當(dāng)點P在上時，由圖2可知，對應(yīng)的二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求出，據(jù)此可判斷②；求出當(dāng)時，t的值，可得的長，再利用勾股定理求出的長，據(jù)此可判斷③；可求出P在上時，；函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點，則，是函數(shù)上的兩點，由此可得，則，根據(jù)題意可以看作，則，據(jù)此可判斷④．【詳解】解：由圖2可知當(dāng)點P運動到B點時，，在中，由勾股定理得，∴，∴或（舍去）；∵動點P在的邊上沿方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，∴當(dāng)時，點P的運動路程為1，即此時點P在上，∴此時，在中，由勾股定理得，∴，∴當(dāng)時，，故①正確；當(dāng)點P在上時，由圖2可知，對應(yīng)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，∴可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，把代入中得：，解得，∴S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，故②錯誤在中，當(dāng)時，解得或，∴，在中，由勾股定理得，∴，故③錯誤；∵動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在勻速運動，∴，∵，，∴，∴；點P在上運動時，函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點，則，是函數(shù)上的兩點，∴，∴，∵存在3個時刻（）對應(yīng)的正方形的面積均相等．∴可以看作，∴，故④正確；綜上所述，正確的有2個，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運動問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷（非選擇題共102分）二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．請將正確答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．13.的立方根是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)立方根的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴的立方根是；故答案為：．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的立方根，清楚立方根的定義是解題的關(guān)鍵．14.某校以“陽光運動，健康成長”為主題開展體育訓(xùn)練．已知某次訓(xùn)練中7名男生引體向上的成績?yōu)椋?，8，5，8，9，10，6．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________．【答案】8【解析】【分析】本題主要考查中位數(shù)的定義，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，已知這組數(shù)據(jù)共有7個數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的概念：當(dāng)n為奇數(shù)時，位于中間的數(shù)即中位數(shù)求解即可．【詳解】解：7名男生引體向上的成績從小到大排列為：5，6，7，8，8，9，10，位于最中間的數(shù)為第4位8，則中位數(shù)是8，故答案為：815.已知方程的兩根分別為，，則的值為________．【答案】【解析】【分析】本題考查根與系數(shù)之間的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，得到，將代數(shù)式用多項式乘以多項式的法則展開后，利用整體代入法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：．16.人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具．如圖，若的長都為，當(dāng)時，人字梯頂端離地面的高度是________m．（結(jié)果精確到，參考依據(jù)：，，）【答案】【解析】【分析】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，過點作，解，求出的長即可．【詳解】解：過點作，則：，在中，，，∴；故人字梯頂端離地面的高度是；故答案為：．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，用12個以點O為公共頂點的相似三角形組成形如海螺的圖案，若，，則點G的坐標(biāo)為________【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、解直角三角形和點的坐標(biāo)規(guī)律探求；先求得，然后解直角三角形分別求出，，，得到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律計算即可.【詳解】解：∵圖案是用12個以點O為公共頂點的相似三角形組成形如海螺的圖案，∴，∵，，∴，∵，∴，同理：，依次類推：；則點G的坐標(biāo)為；故答案為：.18.如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上運動（不與點A、D重合），，點F在射線上，且，連接，交于點G，連接．下列結(jié)論：①；②；③的面積最大值是2；④若，則點G是線段的中點．其中正確結(jié)論的序號是________．【答案】①③④【解析】【分析】過作，交的延長線于點，證明為等腰直角三角形，推出，進(jìn)而得到，證明，推出為等腰直角三角形，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到，判斷①；延長至點，使，連接，證明，再證明，得到，判斷②；設(shè)，則：，，將的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，判斷③；設(shè)，得到，在中，由勾股定理，求出的值，判斷④即可．【詳解】解：過作，交的延長線于點，則：，∵正方形，邊長為4，∴，，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴，∴，故①正確；延長至點，使，連接，∵，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；故②錯誤；設(shè)，則：，，∴的面積，∴當(dāng)時，的面積最大為2；故③正確；∵，∴，設(shè)，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：，∴，∴點G是線段的中點；故④正確；故答案為：①③④【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和特殊三角形，是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共8個小題，共78分．請把解答過程寫在答題卡相應(yīng)的位置上．19.（1）計算：（2）解方程：【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查實數(shù)的運算，解一元一次方程，熟練掌握相關(guān)運算法則，解一元一次方程的步驟，是解題的關(guān)鍵：（1）先開方，去絕對值，再進(jìn)行加減運算即可；（2）去括號，移項，合并，系數(shù)化1，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1）原式；（2）去括號，得：，移項，得：，合并，得：．20.先化簡，再求值：．其中x、y滿足【答案】，【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把小括號內(nèi)的式子通分化簡，再把除法變成乘法后約分化簡，最后代值計算即可得到答案．【詳解】解：，∵，，∴，∴，∴，∴原式．21.在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻擋之勢，深刻改變著我們的世界．某校社團(tuán)開展以“智能之光，照見未來”為主題的探究活動，推薦了當(dāng)前熱門的4類人工智能軟件A、B、C、D，每個學(xué)生可選擇其中1類學(xué)習(xí)使用．為了解學(xué)生對軟件的使用情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整統(tǒng)計圖：請根據(jù)圖中信息，完成下列問題：（1）這次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為________人；扇形統(tǒng)計圖中A類軟件所占圓心角為________度；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（3）社團(tuán)活動中表現(xiàn)最突出的有4人，其中有3人使用A類軟件，有1人使用B類軟件，現(xiàn)準(zhǔn)備從這4名學(xué)生中隨機(jī)選擇2人進(jìn)行學(xué)習(xí)成果展示，請用畫樹狀圖或列表法求出恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的概率．【答案】（1）200，144（2）圖見解析（3）【解析】【分析】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應(yīng)用，列表法求概率，從統(tǒng)計圖中有效的獲取信息，是解題的關(guān)鍵：（1）用軟件的人數(shù)除以所占的比例求出抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)，用360度乘以A類軟件的人數(shù)所占的比例求出圓心角的度數(shù)即可；（2）求出類軟件的人數(shù)，補(bǔ)全條形圖即可；（3）列出表格，利用概率公式進(jìn)行計算即可．【小問1詳解】解：（人）；；故答案為：200，144；【小問2詳解】軟件的人數(shù)為：（人）；補(bǔ)全條形圖如圖：【小問3詳解】由題意，列表如下：

AAABA

A，AA，AA，BAA，A

A，AA，BAA，AA，A

A，BBB，AB，AB，A

共12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的情況有6種，故.22.如圖，為的直徑，點C為圓上一點，過點C作的切線，交延長線于點D，過點B作，交于點E，連接．（1）求證：；（2）若，的半徑為2，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵：（1）連接，，，等邊對等角，得到，切線推出，直徑得到，進(jìn)而得到，推出，平行線的性質(zhì)，結(jié)合圓周角定理得到，等角對等弧，即可得證；（2）延長交于點，連接，由（1）可推出是含30度角的直角三角形，利用三角函數(shù)進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】證明：連接，，，則：，∴，∵是的切線，∴，∴，∵為直徑，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：延長交于點，連接，則：為的直徑，∴，∵的半徑為2，∴∴，由（1）知：，∴，∴，∴．23.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點，與x軸交于點C，點D與點A關(guān)于點O對稱，連接．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式：（2）點P在x軸的負(fù)半軸上，且與相似，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1）一次函數(shù)解析式為：，反比例函數(shù)解析式為．（2）點P的坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）利用系數(shù)待定法分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式即可．（2）先求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點求出點D，設(shè)，再根據(jù)直角坐標(biāo)系兩點之間的距離公式分別求出，，，由對頂角相等得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分兩種情況或代入求解即可．【小問1詳解】解：把代入反比例函數(shù)，則，則反比例函數(shù)解析式為：，把代入，則，∴，再把，代入，則，解得：，則一次函數(shù)的解析式為：．【小問2詳解】解：令時，則，∴，∵點D與點A關(guān)于點O對稱，∴設(shè)點，∵，∴又∵，，∴，，，∵與相似，，∴分兩種情況：或，當(dāng)時，即，解得：，此時，點，當(dāng)，即，解得：，此時，綜上：當(dāng)點P在x軸的負(fù)半軸上，且與相似，點P的坐標(biāo)為或【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，相似三角形的性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．24.國家衛(wèi)健委在全民健康調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，近年來肥胖人群快速增長，為加強(qiáng)對健康飲食的重視，特發(fā)布各地區(qū)四季健康飲食食譜．現(xiàn)有A、B兩種食品，每份食品的質(zhì)量為，其核心營養(yǎng)素如下：食品類別能量（單位：）蛋白質(zhì)（單位：）脂肪（單位：）碳水化合物（單位：）A240127.529.8B28013927.6（1）若要從這兩種食品中攝入能量和蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A、B兩種食品各多少份？（2）若每份午餐選用這兩種食品共，從A、B兩種食品中攝入的蛋白質(zhì)總量不低于，且能量最低，應(yīng)選用A、B兩種食品各多少份？【答案】（1）選用A、B兩種食品分別為份和2份；（2）應(yīng)選用A、B兩種食品分別為2份和份；【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先設(shè)選用A、B兩種食品分別為份和份，結(jié)合選用A、B兩種食品分別為份和份，列出方程組，進(jìn)行計算，即可作答．（2）結(jié)合每份食品的質(zhì)量為，每份午餐選用這兩種食品共，則選用B種食品份，再列出不等式，得，然后設(shè)能量為，則，運用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行作答即可．【小問1詳解】解：設(shè)選用A、B兩種食品分別為份和份，∵這兩種食品中攝入能量和蛋白質(zhì)，∴，∴，∴選用A、B兩種食品分別為份和2份；【小問2詳解】解：設(shè)選用A種食品份，依題意，，即選用B種食品份，則，解得，設(shè)能量為，則∵，∴隨的增大而減小，∴當(dāng)時能量最低，即，∴應(yīng)選用A、B兩種食品分別為2份和份．25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線關(guān)于直線對稱，與x軸交于、B兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線對稱軸上一點，連接，將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B的對應(yīng)點D恰好落在拋物線上，求此時點P的坐標(biāo)；（3）在線段上是否存在點Q，使存在最小值？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)及最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）或（3）存在，，的最小值為【解析】【分析】（1）對稱性求出點坐標(biāo)，兩點式寫出函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)對稱軸與軸交于點，設(shè)，，分點在軸上方和點在軸下方兩種情況進(jìn)行討論求解即可；（3）在軸上取點，連接，過點作于點，交軸于，過點作于點，易得為等腰直角三角形，進(jìn)而得到，推出，得到當(dāng)點與點重合時，的值最小為的長，等積法求出的長，證明為等腰直角三角形，求出點坐標(biāo)即可．【小問1詳解】解：∵拋物線關(guān)于直線對稱，與x軸交于、B兩點，∴，∴拋物線的解析式為：；【小問2詳解】∵點在對稱軸上，設(shè)對稱軸與軸交于點∴設(shè)，；∵旋轉(zhuǎn)，∴，當(dāng)點在軸上方時，∵關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴當(dāng)時，滿足題意，此時點與點重合，，∵，，∴，∴，∴；當(dāng)點在軸下方時，如圖，作對稱軸于點，則：，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，把代入，得：，解得：或（舍去）；∴；綜上：或；【小問3詳解】存在；在軸上取點，連接，過點作于點，交軸于，過點作于點，則：，，∵，∴當(dāng)時，，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴當(dāng)點與點重合時，的值最小為的長，∵，∴，，∵，∴，∴，∴的最小值為，在中，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴；綜上：，的最小值為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．2