2025數(shù)學(xué)考前補(bǔ)充【2025屆最后一發(fā)】南京教研室考前綜合

目錄附錄1:2025屆高三數(shù)學(xué)一些記號、概念的補(bǔ)充 21.導(dǎo)數(shù)概念 22.存在性命題 23.投影、投影向量的概念 24.兩個(gè)平面的夾角：人教版新教材選擇性必修一新增概念 35.概率統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)概念表示 46.利用直方圖、表計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù) 47.殘差分析 58.決定系數(shù)R 7附錄2:任子朝——新題型示例 附錄3:統(tǒng)計(jì)概率——說理問題 1附錄1:2025屆高三數(shù)學(xué)一些記號、概念的補(bǔ)充2.存在性命題含有存在量詞的命題，叫做特稱命題，也稱為存在性命題.3.投影、投影向量的概念3.1投影、投影向量：對于平面內(nèi)任意兩個(gè)非零向量a,b,設(shè)OA=a,OB=b,過點(diǎn)A作OB所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)A?,我們將上述由向量a得到向量OA?的變換稱為向量a向向量b投影，向量OA?為a在b方向上的投影向量.第四步，求投影向量的長度.方法1:設(shè)P是直線1外一點(diǎn)，A是1上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P和直線1確定的平面內(nèi)，取一個(gè)直線1的法向量n,則點(diǎn)P到直線l的距離方法2:設(shè)P是直線1外一點(diǎn)，A是1上任意一點(diǎn)，e為直線1的方向向量，則點(diǎn)P到直線1的距離d設(shè)A,P分別為異面直線a,b上的點(diǎn)，n是與直線a,b都垂直的向量，則異面直線的夾角為θ?.設(shè)斜線和平面內(nèi)這條直線的夾角為為θ,則cosθ=cosθ?cosθ?.m1,m的夾角或其補(bǔ)角。設(shè)平面a與平面B的夾角為0,則cs?=Icos<Kn)隨機(jī)變量X的均值(數(shù)學(xué)期望)表示為E(X)或μ;隨機(jī)變量X的方差記為D(X)或σ2,有時(shí)也記為Var(X);隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差記為\D(X)或σ;獨(dú)立性檢驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)量可以表示例1根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)對某小區(qū)100戶居民月均用水量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖，則估計(jì)此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A.2.25,2.5B.2.25,2.02C.2,2.5D.2.5,2.2500.511.522.533.544.5用水量(噸)【解析】由圖可知，前五組的頻率依次為0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,因此，前5組的頻次依次為4,8,15,22,25,而以后的各組的頻數(shù)均低于25,根據(jù)眾數(shù)的定義，眾數(shù)是頻數(shù)最多的數(shù)，在第5組中用組中值表示該組的值，故估計(jì)此樣本的眾數(shù)為2.25.根據(jù)中位數(shù)的定義，在樣本中有50%個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，也即位于中位數(shù)兩側(cè)的數(shù)據(jù)的頻率之和均為0.5.因?yàn)榍?組的頻率之和0.04+0.08+0.15+0.22=0.49<0.5,前5組的頻率之和大于0.5,所以中位數(shù)應(yīng)該在第5繼眾在直方圖中，無法知道每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是如何分布的，我們通常假設(shè)它們在組內(nèi)是均勻分布的，故若設(shè)中位數(shù)為x,則0.49+(x-2)×0.5=0.5,解得x=2.02.所以估計(jì)中位數(shù)為2.02,故選B.1249621試估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù).【答案】估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)為對于數(shù)據(jù)組(xi,y)(i=1,2,3,…,n),如果由線性回歸方程得到的對應(yīng)于自變量x?的估計(jì)值是yi,那稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi,y;)的殘差(residual),記為ε,.以自變量xi或因變量y為橫坐標(biāo)，對應(yīng)的殘差ε,為縱坐標(biāo)作點(diǎn)，我們將由此所作的圖形稱為殘差圖.通常情況下，殘差圖中的點(diǎn)列集中于靠近橫軸的較為狹窄的區(qū)域內(nèi)，且橫軸上下分布比較均勻時(shí)，這種模型的擬合效果較好.例題：下面給出了根據(jù)我國2012~2018年水果人均占有量(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和線性回歸方程的殘差圖.(2012~2018年的年份代碼x分別為1~7)(3)根據(jù)線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效附：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為所以y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān).所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=7.89x+121.87.(3)答案示例1:由殘差圖可以看出，圖中各點(diǎn)比較均勻地分布在數(shù)值0所在直線附近，帶狀區(qū)域很窄，說明對應(yīng)的回歸直線擬合效果較好.答案示例2:由題中所給的殘差圖知?dú)v年數(shù)據(jù)的殘差均在-2到2之間，說明線性回歸方程的擬合效果較好.【說明】本題是一道關(guān)于線性回歸方程的殘差分析的問題，著重考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、直觀想象與數(shù)回歸方程，考查計(jì)算能力；第(3)問利用殘差圖分析線性回歸方程的擬合效果，考8.決定系數(shù)R2【問題】人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動(dòng)員稱為“百米飛人”.表1給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方.編號12345678記錄/s以成對數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo)，世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，得到圖1.在圖1中，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.用Y表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄，t表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份，利用一元線性回歸模型來刻畫世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系.根據(jù)最小二乘法，由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為將經(jīng)驗(yàn)回歸直線疊加到散點(diǎn)圖，得到圖2.【觀察】從圖2中可以看到，經(jīng)驗(yàn)回歸方程①較好地刻畫了散點(diǎn)的變化趨勢.請?jiān)僮屑?xì)觀察圖形，你能看出其中存在的問題嗎?以經(jīng)驗(yàn)回歸直線為參照，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的不足之處，以及散點(diǎn)的更為精細(xì)的分布特征.例如，第一個(gè)世界紀(jì)錄所對應(yīng)的散點(diǎn)遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)回歸直線，并且前后兩時(shí)間段中的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的上方，中間時(shí)間段的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的下方.這說明散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗(yàn)回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.【思考】你能對模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎?仔細(xì)觀察圖2,可以發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.回顧已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=—Inx的圖象具有類似的形狀特征.注意到100m短跑的第一個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線的周圍，其中c?和c?為未知的參數(shù)，且c?<0.用上述函數(shù)刻畫數(shù)據(jù)變化的趨勢，這是一個(gè)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)，其中ci,c2是待定參數(shù).現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為如何利用成對數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)c1和c?.為了利用一元線性回歸模型估計(jì)參數(shù)c1和c?,我們引進(jìn)一個(gè)中間變量x,x=ln(t-1895).通過x=ln(t—1895),將年份變量數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，得到新的成對數(shù)據(jù)(精確到0.01),如表3所示.表3編號12345678x圖4表明，經(jīng)驗(yàn)回歸方程(*)對于表2中的成對數(shù)據(jù)具有非常好的擬合精度.將圖4與圖2進(jìn)行對比，在同一直角坐標(biāo)系中畫出成對數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖、非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的圖象(藍(lán)色)以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的圖象(紅色),如圖5所示.我們發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)圖中各散點(diǎn)都非?？拷诘膱D象，表明非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)回歸方程①.下面通過殘差來比較這兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程對數(shù)據(jù)刻畫的好壞.在表1中，用ti表示編號為i的年份數(shù)據(jù)，用y表示編號為i的紀(jì)錄數(shù)據(jù)，則經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差計(jì)算公式分別為e;=y+0.02033743?-49.769130u=y+0.4264398ln(-1895)-11.8012653,i=1,2,…,8.兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差(精確到0.001)如表8.27所示.觀察各項(xiàng)殘差的絕對值，發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程②遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于①,即經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的擬合效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①.編號12345678t^一0.196u一0.018一0.021一0.022在一般情況下，直接比較兩個(gè)模型的殘差比較困難，因?yàn)樵谀承┥Ⅻc(diǎn)上一個(gè)模型的殘差的絕對值比另一個(gè)模型的小，而另一些散點(diǎn)的情況則相反.可以通過比較殘差的平方和來比較兩個(gè)模型的效果.由可知Q?小于Q1.因此在殘羞平方和最小的標(biāo)準(zhǔn)下，非線性回歸模型的擬合效果要優(yōu)于一元線性回歸模型的擬合效果.也可以用決定系數(shù)R2來比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2的計(jì)算公式為在R2表達(dá)式中，與經(jīng)驗(yàn)回歸方程無關(guān)，殘差平方和與經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān).因此R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，表示殘差平方和越合效果越差.由表4容易算出經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的R2分別約為0.7325和0.9983,因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多.另外，我們還可以用新的觀測數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果.事實(shí)上，我們還有1968年之后的男子短跑100m世界紀(jì)錄數(shù)據(jù)，如表5所示編號9t編號t在散點(diǎn)圖6中，繪制表5中的散點(diǎn)(綠色),再添加經(jīng)驗(yàn)回歸方程①所對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線(紅色),以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程②所對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸曲線(藍(lán)色),得到圖6.顯然綠色散點(diǎn)分布在藍(lán)色經(jīng)驗(yàn)回歸曲線的附近，遠(yuǎn)離紅色經(jīng)驗(yàn)回歸直線，表明經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對于新數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①.例題某興趣小組研究光照時(shí)長x(h)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y(顆)之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點(diǎn)圖.若去掉D(10,2)后，下列說法正確的是()A.相關(guān)系數(shù)r變小B.決定系數(shù)R2變小C.殘差平方和變大D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)可x【解析】從圖中可以看出D(10,2)較其他點(diǎn)偏離直線遠(yuǎn)，故去掉D(10,2)后，回歸效果更好.對于選項(xiàng)A,相關(guān)系數(shù)|r|越接近于1,模型的擬合效果越好，若去掉D(10,2)后，相關(guān)系數(shù)r變大，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B,決定系數(shù)R2越接近于1,模型的擬合效果越好，若去掉D(10,2)后，決定系數(shù)R2變大，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C,殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉D(10,2)后，殘差平方和變小，故C錯(cuò)對于選項(xiàng)D,若去掉D(10,2)后，解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)，且是正相關(guān)，故D正確.附錄2:任子朝——新題型示例例1多項(xiàng)選擇題：某城市為促進(jìn)家庭節(jié)約用電，計(jì)劃制定階梯電價(jià)，階梯電價(jià)按年月均用電量從低到高分為一、二、三、四檔，屬于第一檔電價(jià)的家庭約占10,屬于第二檔電價(jià)的家庭約占40,屬于第三檔電價(jià)的家庭約占30,屬于第四檔電價(jià)的家庭約占20.為確定各檔之間的界限，從該市的家庭中抽查了部分家庭，調(diào)查了他們上一年度的年月均用電量(單位：千瓦時(shí)),由調(diào)查結(jié)果得如圖的直方圖.A.年月均用電量不超過80千瓦時(shí)的家庭屬于第一檔B.年月均用電量低于200千瓦時(shí)，且超過80千瓦時(shí)的家庭屬于第二檔C.年月均用電量超過240千瓦時(shí)的家庭屬于第四檔D.該市家庭的年月均用電量的平均數(shù)大于年月均用電量的中位數(shù)【解析】根據(jù)頻率分布直方圖，得：對于A,年月均用電量不超過80千瓦時(shí)的家庭頻率是0.0025×40=0.1,屬于第一檔，是正確的；對于B,年月均用電量低于200千瓦時(shí)，且超過80千瓦時(shí)的家庭的頻率是0.0040×40+0.0060×40+0.0045×40=0.58>0.40,屬于第二檔，是錯(cuò)誤的；對于C,年月均用電量超過240千瓦時(shí)的家庭的頻率是0.0020×40+0.0010×40×3=0.20,屬于第四檔，是正確的；對于D,由頻率分布直方圖知，該組數(shù)據(jù)多集中在200以前的小數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)應(yīng)較小，平均數(shù)因受極大值的影響，平均數(shù)應(yīng)大于中位數(shù)，是正確的.綜上，判斷正確的是ACD.【說明】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合題意進(jìn)行解答.例2邏輯題：甲、乙、丙、丁四人商量去看電影.甲說：乙去我才去；乙說：丙去我才去；丙說：甲不去我就不去；丁說：乙不去我就不去.最后有人去看電影，有人沒去看電影，則不去的人是【解析】由題意，丙去，則甲乙去，丁不去，符合題意，故答案為丁.【說明】本題著重考查邏輯推理素養(yǎng)，體現(xiàn)分類討論的思想.例3數(shù)據(jù)分析題：為了比較兩種復(fù)合材料制造的軸承(分別稱為類型I軸承和類型Ⅱ軸承)的使用壽命，檢驗(yàn)了兩種類型軸承各30個(gè)，它們的使用壽命(單位：百萬圈)如下表：類型I類型Ⅱ根據(jù)上述表中的數(shù)據(jù)回答下列問題：(1)對于類型I軸承，應(yīng)該用平均數(shù)還是中位數(shù)度量其壽命分布的中心?說明理由；(2)若需要使用壽命盡可能大的軸承，從中位數(shù)或平均數(shù)的角度判斷：應(yīng)選哪種軸承?說明理由；(3)若需要使用壽命的波動(dòng)性盡可能小的軸承，應(yīng)選哪種軸承?說明理由.解：(1)由于類型I軸承的使用壽命數(shù)據(jù)中的6.2,6.4與其他數(shù)據(jù)有明顯的差異，所以應(yīng)該用中位數(shù)度量其壽命分布的中心.(2)由上表可知類型I軸承的使用壽命按由小到大排序，排在15,16位是11.8,12.2,故中位數(shù)為12;類型Ⅱ軸承的使用壽命按由小到大排序，排在15,16位是10.4,10.6,故中位數(shù)為10.5.因?yàn)?2>10.5,所以應(yīng)選類型I軸承.型Ⅱ軸承穩(wěn)定性較好，波動(dòng)性較小，所以應(yīng)選類型Ⅱ軸承.【說明】本題考查了樣本的數(shù)字特征，著重考查了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，考查了分析與解決問題的能力.例4判斷題：設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則總有a+b>c.由正弦定理得sinA+sinB>sinC.由如果不正確，請舉出反例，并指出推導(dǎo)過程中的錯(cuò)誤.解：上述結(jié)論不正確.錯(cuò)誤：求導(dǎo)運(yùn)算不保證不等式關(guān)系不變.即用了一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論“由f(x)>g(x),得出f(x)>g(x)”.【說明】本題考查了類比推理，需要注意的是類比推理的結(jié)論不一定正確.若要說明結(jié)論成立，需要進(jìn)行證明；若要說明結(jié)論不成立，則需舉出反例.例5開放題：類似于圓的切線，將與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為橢圓的切線.已知橢圓C:的中心為0,右頂點(diǎn)為A,在線段OA上任意選定一點(diǎn)M(m,0)(0<m<2),過點(diǎn)M作與x軸垂直的直線交C于P,Q兩點(diǎn).(I)設(shè)m=1,在OM的延長線上求一點(diǎn)N,使得|OM|,|OA|,|ON再加以證明.因?yàn)椤?4-4=0,③所以直線GN為所求的切線.附錄3:統(tǒng)計(jì)概率——說理問題1.為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別為甲藥比乙藥更有效”的概率，則po=0,ps=1,pi=api-1+1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.【答案】見解析【解析】(1)解：X的所有可能取值為一1,0,1.P(X=-1)=(1-a)β,P(X=0)=aβ+(1-a)(1-β),P(X=1)所以X的分布列為：X01P(2)(i)證明：因?yàn)棣?0.5,β=0.8,因此pi=0.4p-1+0.5pi+0.1p:+故0.1(pi+1-p)=0.4(pi-Pi-1),即(pi+1-pi)=4(pi-Pi-1),又因?yàn)閜i-po=pi≠0,所以{Pi+1-pi}(i=0,1,2,...,7)為公比為4,首項(xiàng)為p?的等比數(shù)列；(①)解：由可得，因?yàn)閜s=1,由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為P?=(2)解法1:po+pIx+pzx2+px3-x=0,x>0.令fx)=po+px+pzx2+psx3-x,f'(x)=pi+2pzx+3psx2-1,f"(x)=2p?+6psx≥0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.①當(dāng)E(X)=pi+2p?+3p?≤1時(shí)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)≤f(1)=pi+2p?+②當(dāng)E(X)=pi+2p?+3p3>1時(shí)，注意到f(0)=p1-1<0,f(1)=pi+2p?+3p?-1>0,f(x)在(0,+因?yàn)閒(0)=po>0,f(1)=0,所以f(xo)<f(1)=0,所以f(x)在(0,xo)上有唯一零點(diǎn)解法2:由題意知po+pi+p?+p?=1,E(X)=pi+2p?+3p.由po+px+pzx2+p3x3=x,得po+pzx2+px3-(1-pi)x=0,即p注意到f(0)=-po<0,f(1)=2p?+p?-po=pi+3.最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗(yàn)結(jié)果為成功或不成功，且試驗(yàn)成功的概率為p(0<p<1).現(xiàn)對該產(chǎn)品進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，試驗(yàn)結(jié)束；若試驗(yàn)不成功，則繼續(xù)試驗(yàn)，且最多試驗(yàn)10次.記X為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，且每次試驗(yàn)的成本為a(a>0)元.(1①寫出X的分布列；(2)某公司意向投資該產(chǎn)品.若p=0.25,且試驗(yàn)成功則獲利5a元，則該公司如何決策投資，并說明理解：(1①當(dāng)1≤X≤9時(shí)，P(X=則S=1+2(1-p)+3(1-p)2+…+8(1-p)?+9(1-p)?,(1-p所以因?yàn)?<p<1,所以0<1—(1-p)1?<1,所以該公司可以考慮投資該產(chǎn)品.4.人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個(gè)基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，然后通過計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.基于這一基本其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球；乙袋中有2