第04講 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示與6考點(diǎn)精講（解析版）-25新高二數(shù)學(xué)-高一升高二暑假預(yù)習(xí)課

第04講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示目錄TOC\o"1-2"\h\u第04講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示 1一、空間直角坐標(biāo)系 2基礎(chǔ)知識 2考點(diǎn)1求空間點(diǎn)坐標(biāo) 2二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 4基礎(chǔ)知識 4考點(diǎn)2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 4考點(diǎn)3空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示 5三、由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解相關(guān)幾何問題 8基礎(chǔ)知識 8考點(diǎn)4空間向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算 8考點(diǎn)5空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算 10考點(diǎn)6空間向量平行、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算 12四、課后作業(yè) 16單選題 16多選題 18填空題 19解答題 20

一、空間直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)知識1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念①空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個單位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系O-xyz.②相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．(2)右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間一點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點(diǎn)A，對應(yīng)一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．考點(diǎn)1求空間點(diǎn)坐標(biāo)【例1.1】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,1,1關(guān)于yOz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

A．(?2,1,1) B．(2,?1,1) C．(2,1,?1) D．(2,?1,?1)【解題思路】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(x,y,z)關(guān)于yOz平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(?x,y,z)．【解答過程】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,1,1)關(guān)于yOz平面對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2,1,1)．故選：A.【例1.2】（23-24高二上·安徽黃山·期末）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)M(3,4,?2)在坐標(biāo)平面Oyz內(nèi)的射影是點(diǎn)N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

）A．(0,?4,2) B．(3,4,0) C．(0,4,?2) D．(?3,0,2)【解題思路】點(diǎn)在平面Oyz內(nèi)的射影是y,z坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)為0的點(diǎn).【解答過程】點(diǎn)M(3,4,?2)在坐標(biāo)平面Oyz內(nèi)的射影是點(diǎn)N(0,4,?2)，故點(diǎn)N的坐標(biāo)是(0,4,?2)故選：C.【變式1.1】（23-24高二上·北京順義·期末）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，已知點(diǎn)A2,?3,0，若向量AB=1,2,?3，則點(diǎn)BA．?3,1,3 B．1,?5,3 C．3,?1,?3 D．?1,5,3【解題思路】設(shè)Bx,y,z，從而得到方程組，求出x=3,y=?1,z=?3【解答過程】設(shè)Bx,y,z，則AB故x?2=1,y+3=2,z=?3，解得x=3,y=?1,z=?3，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為3,?1,?3故選：C.【變式1.2】（23-24高二下·甘肅定西·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1,2,3在x軸上的射影和在xOz平面上的射影分別點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（

A．(0,2,3),(1,2,0) B．(1,0,0),(1,2,0)C．(0,2,3),(1,0,3) D．(1,0,0),(1,0,3)【解題思路】根據(jù)空間中點(diǎn)在坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面上的射影的特點(diǎn)進(jìn)行求解.【解答過程】點(diǎn)P1,2,3在x軸上的射影橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)為0，即M點(diǎn)P1,2,3在xOz平面上的射影橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為0，即N故選：D.

二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算基礎(chǔ)知識1．空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3考點(diǎn)2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例1.1】（23-24高二上·天津·期末）已知空間向量a=1,2,?3，b=2,?1,1，則A．?3,4,?5 B．5,0,?5C．3,1,?2 D．?1,3,?4【解題思路】直接由空間向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算即可得解.【解答過程】由題意空間向量a=1,2,?3，則a?2故選：A.【例1.2】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知a=1,?2,1，a?b=?1,2,?1A．2,?4,2 B．?2,4,?2 C．?2,0,?2 D．2,1,?3【解題思路】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可.【解答過程】∵a?b故選：A.【變式1.1】（23-24高二上·北京·期中）已知點(diǎn)A?2,3,0，B1,3,2，AP=2AB，則點(diǎn)A．4,3,4 B．?4,?1,?4C．?1,6,2 D．?5,3,?2【解題思路】設(shè)Px,y,z，表示出AP、AB【解答過程】設(shè)Px,y,z，則AP=x+2,y?3,z因為AP=2AB，所以所以x+2=6y?3=0z=4，解得x=4y=3故選：A.【變式1.2】（23-24高三·甘肅武威·單元測試）已知向量a=2,3,?4,b=A．0,3,?6 B．0,6,?20 C．0,6,?6 D．6,6,?6【解題思路】推導(dǎo)出c=4【解答過程】∵向量a=∴c=4故選：B.考點(diǎn)3空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例2.1】（23-24高二上·河北石家莊·期中）已知向量a=1,?1,?2,b=A．1,3,6 B．?3 C．4 D．10【解題思路】利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【解答過程】因為向量a=所以a?故選：D.【例2.2】（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知向量a=x,1,?1，b=2,1,x，若a?A．?2 B．?1 C．0 D．1【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，列式計算，即得答案.【解答過程】由題意知向量a=x,1,?1，b=故2x+1?x=2,∴x=1，故選：D.【變式2.1】（23-24高二上·河北·階段練習(xí)）若a=?1,2,?1，b=1,3,?2，則A．22 B．?22 C．?29 D．29【解題思路】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求值.【解答過程】由a=?1,2,?1，得a+b=所以a+故選：C．【變式2.2】（23-24高二上·北京順義·期末）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P是棱CCA．4 B．22 C．2 【解題思路】畫出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可【解答過程】如圖，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz，因為正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為2，點(diǎn)所以A2,0,0，O1,1,0AP=?2,2,zAP故選：A.

三、由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解相關(guān)幾何問題基礎(chǔ)知識1．空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有當(dāng)b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).3．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以求得．考點(diǎn)4空間向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算【例1.1】（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知空間向量a=1,n,2，b=?2,1,2，若2a?bA．532 C．372 D．【解題思路】借助空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的性質(zhì)計算可得n的值，再利用模長公式計算即可得解.【解答過程】因為a=1,n,2，b=因為2a?b與b垂直，所以2解得n=52，所以a=故選：B.【例1.2】（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）已知AB=1,2,3，AC=a,b,b?2，若點(diǎn)A,B,C共線，則A．14 B．214 C．314 【解題思路】根據(jù)A,B,C共線得到方程，求出a=?2，b=?4，求出BC=【解答過程】因為點(diǎn)A,B,C共線，所以AB與AC共線，所以a1=b2=故AC=?2,?4,?6，BC=故選：C.【變式1.1】（23-24高二上·江西·期中）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，空間向量OA=1,1,2,OB=?1,3,4,OC=A．92 B．8 C．3 【解題思路】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】由題意得D0,2,3，所以CD=?2,?2,?1故選：C.【變式1.2】（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，點(diǎn)P為棱AC的中點(diǎn)，E,F分別為直線DP,AB上的動點(diǎn)，則線段EF的最小值為（

A．24 B．22 C．104【解題思路】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量建立EF的函數(shù)關(guān)系求解即可.【解答過程】三棱錐A?BCD中，過C作Cz⊥平面BCD，由∠BCD=π2，知以C為原點(diǎn)，直線CD,CB,Cz分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由AB⊥平面BCD，得AB//Cz，則C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,2,0),A(0,2,1),P(0,1,1令DE=tDP=t(?1,1,12于是|EF當(dāng)且僅當(dāng)t=32,m=t2故選：B.考點(diǎn)5空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算【例2.1】（23-24高二上·新疆和田·期末）已知空間向量a=3,0,1,b=?2,1,?4，則向量A．21021 B．?21021 C．7【解題思路】由題意直接由空間向量夾角的余弦值公式運(yùn)算即可.【解答過程】由題意空間向量a=所以向量a與b的夾角的余弦值為3×?2+0×1+1×故選：B.【例2.2】（23-24高二上·湖北黃石·期中）已知向量a=1,2,3，b=?2,?4,?6，c=14，若a+A．30° B．60°C．120° D．150°【解題思路】根據(jù)已知結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出a+b=?【解答過程】由已知可得a+b=又a+所以?a?c所以，cosa又0°≤a故選：C.【變式2.1】（23-24高二上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）若空間向量a=(1,?2,x)與b=(?1,2,3)的夾角為銳角，則x的取值范圍是（A．?3<x<53 B．x<?3 C．x>5【解題思路】根據(jù)給定條件，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)關(guān)系求解即得.【解答過程】由空間向量a=(1,?2,x)與b=(?1,2,3)的夾角為銳角，得a?b>0于是1×(?1)+(?2)×2+3x>0，解得x>53，此時x3>0，而1?1所以x的取值范圍是x>5故選：C.【變式2.2】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知A0,0,?x，B1,2,2，Cx,2,2三點(diǎn)，點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，O是平面ABC外一點(diǎn)，且OM=xOA+2xOB+A．π6 B．π4 C．π3【解題思路】由四點(diǎn)共面可得x+2x+4=1，即可求x，進(jìn)而可求AB、AC，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求AB與AC的夾角余弦值，進(jìn)而確定其大小.【解答過程】因為A,B,C,M四點(diǎn)共面，又OM=x所以x+2x+4=1，可得x=?1，所以A則AB=(1,2,1)所以AB?AC=(1,2,1)?(?1,所以cos<AB,所以<AB,AC>=π故選：C.考點(diǎn)6空間向量平行、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算【例3.1】（23-24高二上·陜西漢中·期末）已知空間向量a=(1)若a//b，求實(shí)數(shù)m與(2)若c=2,m,?1，且b⊥【解題思路】（1）由共線向量定理得：b=k（2）由于b⊥c，則b?c=0【解答過程】（1）根據(jù)題意a//b，故可設(shè)則m+1=3k2=k(2n+1)2m=?k，解得（2）因為b=m+1,2,2m,所以b?c=2得b=0,2,?2，所以【例3.2】（23-24高二上·北京海淀·階段練習(xí)）已知空間向量a=2,4,?2，b=(1)若a//c，求(2)若b⊥c，求【解題思路】（1）利用空間向量共線定理，列式求解x的值，由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求出x的值，從而得到c=【解答過程】（1）空間向量a=2,4,?2，b=因為a//c，所以存在實(shí)數(shù)k，使得所以x=2k2=4k?1=?2k，解得則c=（2）因為b⊥c，則b?所以c=故cosa【變式3.1】（23-24高二上·安徽亳州·開學(xué)考試）已知空間三點(diǎn)A?2,0,2,B?1,1,2(1)若c=3，c//BC(2)求a與b的夾角的余弦值；(3)若ka+b與k【解題思路】（1）根據(jù)向量共線設(shè)出向量c的坐標(biāo)，由模長公式列出方程，求解即可；（2）利用向量的坐標(biāo)公式和向量的夾角公式即可得出；（3）根據(jù)向量垂直時數(shù)量積為0，結(jié)合向量的平方即為模的平方，計算即可得到k．【解答過程】（1）因為B?1,1,2所以BC=?2,?1,2，又因為所以c=?2λ,?λ,2λ，又因為所以?2λ2因此c=?2,?1,2或（2）因為a所以a與b的夾角的余弦值為a?（3）因為ka+b所以k?k=?52或【變式3.2】（23-24高二上·上?！て谥校┮阎臻g三點(diǎn)A?2,1,2、B(1)若AD=2DB，求點(diǎn)(2)若向量ka+b與k(3)若向量λa?b與a【解題思路】（1）設(shè)Dx,y,z，求出AD，DB，根據(jù)AD（2）求出向量ka+b（3）求出向量λa?b、a【解答過程】（1）設(shè)Dx,y,z，則AD=x+2,y?1,z?2由AD=2DB，得解得x=?43y=（2）由a=AB=則ka+b因為向量ka+b所以ka+b解得k=?52或（3）由（2）知，a=1,1,0，所以λa?b因為向量λa?b與a則λ+1=m1+λλ=m?2=?2λm

四、課后作業(yè)單選題1．（23-24高二下·重慶·期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知A?1,?1,3，則點(diǎn)A關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

A．1,1,?3 B．1,?1,3 C．1,1,3 D．?1,1,3【解題思路】結(jié)合空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱性即可求得.【解答過程】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對稱性可得:A?1,?1,3關(guān)于yOz即所求的坐標(biāo)為1,?1,3.故選：B.2．（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知點(diǎn)B3,?1,0,AB=?2,?5,3A．1,?6,3 B．5,4,?3C．?1,6,?3 D．2,5,?3【解題思路】根據(jù)終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即為所求向量的坐標(biāo)，即可得解.【解答過程】設(shè)Ax,y,z則AB=所以3?x=?2?1?y=?5?z=3，解得所以點(diǎn)A坐標(biāo)為5,4,?3.故選：B.3．（2024高二·全國·專題練習(xí)）若向量a=2,0,?1，向量b=0,1,?2，則A．?4,1,0 B．?4,1,?4C．4,?1,0 D．4,?1,?4【解題思路】根據(jù)向量的加減法法則求解即可.【解答過程】因為向量a=2,0,?1，向量所以2a故選：C.4．（23-24高二上·廣東中山·期中）已知向量a=(?1,0,3),b=(1,?1,1),c=(?1,2x,1)A．14 B．?14 C．1【解題思路】利用向量平行的坐標(biāo)表示可得答案.【解答過程】a?b=因為(a→?b→故選：A.5．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知a=2,3,1，b=?4,2,x，且a⊥A．1 B．2 C．3 D．?1【解題思路】由向量垂直的坐標(biāo)表示列出式子直接得出答案.【解答過程】∵a=2,3,1，b∴a解得：x=2，故選：B.6．（23-24高二下·江蘇·單元測試）若向量a=(1,λ,2),b=(2,?1,2)，且a與b的夾角的余弦值為89，則A．2 B．?2C．?2或255 D．2或【解題思路】根據(jù)向量的夾角公式的坐標(biāo)形式，列式求解，即可得答案.【解答過程】由題意，向量a=(1,λ,2),得cosa,b=a故選：C.7．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）設(shè)m,n是實(shí)數(shù)，已知點(diǎn)A2,?5,?1,B?1,?4,?2,Cm+3,?3,nA．10 B．-10 C．-15 D．20【解題思路】三點(diǎn)在同一條直線上，即向量AB與BC共線，利用向量共線定理即可得出．【解答過程】m，n是實(shí)數(shù)，若點(diǎn)A2,?5,?1則向量AB與BC共線．∵AB=(?3,1,?1)，BC=(m+4,1,∴m+4?3=11=∴m+n=?10．故選：B.8．（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知向量a=(2,1,0),b=(1,?1,3)A．22 B．23 C．8【解題思路】首先求出a+【解答過程】由于a=(2,1,0),則a+于是|a故選：B.多選題9．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，給出以下結(jié)論：其中正確的是（）A．點(diǎn)A1,?3,4關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為?1,?3,?4B．點(diǎn)P?1,2,3關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是1,?2,?3C．點(diǎn)P?1,2,3關(guān)于xOz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是?1,?2,3D．已知點(diǎn)A?3,1,5與點(diǎn)B4,3,1，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是【解題思路】根據(jù)已知條件及對稱性，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【解答過程】A選項，點(diǎn)A1,?3,4關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為?1,3,?4B選項，點(diǎn)P?1,2,3關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是1,2,?3C選項，點(diǎn)P?1,2,3關(guān)于xOz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是?1,?2,3D選項，已知點(diǎn)A?3,1,5與點(diǎn)B4,3,1，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是1故選：CD.10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知空間向量a=2,1,?1，b=A．5a=3C．a(chǎn)⊥5a?6b D．【解題思路】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，驗證向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解決.【解答過程】因為|a|=6由題得2a+b=7,6,3因為a?因為a在b上的投影向量為a?故選：AC.填空題11．（23-24高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知a=(?1,2,1),b=(2,0,1)，則(2a【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.【解答過程】由題意得，2a則(2a故答案為：?4.12．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎臻g向量a=x,1,?2與b=1,?1,2夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍