第14講 雙曲線(xiàn)與9考點(diǎn)精講（學(xué)生版）-25新高二數(shù)學(xué)-高一升高二暑假預(yù)習(xí)

第14講雙曲線(xiàn)目錄TOC\o"1-2"\h\u第14講雙曲線(xiàn) 1一、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 2基礎(chǔ)知識(shí) 2考點(diǎn)1雙曲線(xiàn)定義 3考點(diǎn)2曲線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn) 3考點(diǎn)3求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 4考點(diǎn)4求雙曲線(xiàn)的軌跡方程 4二、雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 6基礎(chǔ)知識(shí) 6考點(diǎn)5由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 7考點(diǎn)6雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程 7考點(diǎn)7雙曲線(xiàn)的離心率 8考點(diǎn)8雙曲線(xiàn)中的最值 9考點(diǎn)9雙曲線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用 9三、課后作業(yè) 11單選題 11多選題 12填空題 12解答題 13

一、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)知識(shí)1．雙曲線(xiàn)的定義雙曲線(xiàn)的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線(xiàn).這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線(xiàn)的焦距.2．雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：雙曲線(xiàn)在坐標(biāo)系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．雙曲線(xiàn)方程的求解(1)用定義法求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線(xiàn)的方程設(shè)為或，再根據(jù)條件求解.考點(diǎn)1\o"橢圓定義及辨析"\t"/gzsx/zj165990/_blank"雙曲線(xiàn)定義【例1.1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）設(shè)雙曲線(xiàn)y216?x264=1的焦點(diǎn)為F1,F2A．22 B．14 C．10 D．2【例1.2】（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）雙曲線(xiàn)C：x2a2?y212=1a>0的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1與A．9 B．9或1 C．1 D．6【變式1.1】（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)x29?y24=1，F(xiàn)1,F2A．10 B．15 C．25 D．【變式1.2】（23-24高二上·重慶·期末）如果雙曲線(xiàn)x24?y212=1上一點(diǎn)PA．4 B．12 C．4或12 D．不確定考點(diǎn)2曲線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)【例2.1】（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）對(duì)于常數(shù)a，b，“ab<0”是“方程ax2+bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【例2.2】（23-24高二上·安徽蚌埠·階段練習(xí)）方程x22sinA．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn) D．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)【變式2.1】（2023高二上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知方程x2k?5?y2A．k>5 B．k>5或?2<k<2C．k>2或k<?2 D．?2<k<2【變式2.2】（23-24高三上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）“m<1”是“方程x2m+2+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)3求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程【例3.1】（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)分別是F1(?13,0)，A．x25?y212=1 B．【例3.2】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線(xiàn)的下、上焦點(diǎn)分別為F10,?3，F(xiàn)20,3，P是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)且A．x24?C．y24?【變式3.1】（23-24高二上·寧夏吳忠·期末）已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)為?4,0,A．x24?C．x2?y【變式3.2】（23-24高三上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）以橢圓x2a2A．x2a2C．x2a2考點(diǎn)4求雙曲線(xiàn)的軌跡方程【例4.1】（23-24高三·四川·對(duì)口高考）已知y軸上兩點(diǎn)F10,?5，F(xiàn)2A．x29?C．x29+【例4.2】（23-24高二上·廣東東莞·期中）設(shè)F1、F2是兩定點(diǎn)，F(xiàn)1F2=6，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足A．雙曲線(xiàn) B．雙曲線(xiàn)的一支 C．一條射線(xiàn) D．軌跡不存在【變式4.1】（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知圓C1:x+22+y2=25A．x2?y2C．x2?y2【變式4.2】（23-24高二上·天津北辰·階段練習(xí)）已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(?2,0)、(2,0)，且AC，BC所在直線(xiàn)的斜率之積等于2，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（

）A．x24?y28C．x24?y28

二、雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)1．雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線(xiàn)的一些幾何性質(zhì)：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍x≥a或x≤-a,y∈Ry≥a或y≤-a,x∈R對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)半軸長(zhǎng)實(shí)半軸長(zhǎng)為a,虛半軸長(zhǎng)為b離心率漸近線(xiàn)方程2．雙曲線(xiàn)的離心率(1)定義：雙曲線(xiàn)的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫作雙曲線(xiàn)的離心率.

(2)雙曲線(xiàn)離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線(xiàn)斜率的大小，從而決定了雙曲線(xiàn)的開(kāi)口大小.

因?yàn)?，所以e越大，越大，則雙曲線(xiàn)的開(kāi)口越大.

(4)等軸雙曲線(xiàn)的兩漸近線(xiàn)互相垂直，離心率e=.3．雙曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題求解此類(lèi)問(wèn)題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線(xiàn)的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.考點(diǎn)5由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【例1.1】（23-24高三上·山東臨沂·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)C:y2a2?x2A．y2?x24=1 B．y【例1.2】（23-24高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)中心在原點(diǎn)，一頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,4，且漸近線(xiàn)方程為x=±2y，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．y216?C．x2?y【變式1.1】（2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）以橢圓x28+A．x24?y24=1 B．【變式1.2】（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的2倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．x24?y2C．y24?x2考點(diǎn)6雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程【例2.1】（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:x2?y2b2A．2x+y=0 B．x+2y=0 C．2x+y?1=0 D．x+2y?1=0【例2.2】（23-24高三上·海南·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1A．y=±3x C．y=±2x 【變式2.1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知平行于x軸的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C:y2a2?x2b2=1a>0,b>0A．y=±33x B．y=±3x 【變式2.2】（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A．x±y=0 B．x±2y=0 C．x±3考點(diǎn)7雙曲線(xiàn)的離心率【例3.1】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知雙曲線(xiàn)C:x2?y2A．52 B．32 C．5【例3.2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2A．2 B．2 C．5 D．3【變式3.1】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）雙曲線(xiàn)C：x2a2?y23=1（a>0）的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支相交于AA．2 B．3 C．2 D．3【變式3.2】（23-24高二上·湖北鄂州·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1a>0,b>0的焦距為2c，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn).設(shè)A，B到雙曲線(xiàn)的同一條漸近線(xiàn)的距離分別為A．1,233 B．233,+考點(diǎn)8雙曲線(xiàn)中的最值【例4.1】（2024·青海玉樹(shù)·模擬預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C:x24?y22A．16 B．18 C．8+42 D．【例4.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知A0,4，雙曲線(xiàn)x24?y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為A．5 B．7 C．9 D．11【變式4.1】（23-24高二上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:y24?x25=1的下焦點(diǎn)為F，A3,7A．不存在 B．8 C．7 D．6【變式4.2】（23-24高二上·浙江金華·階段練習(xí)）已知圓C:x2+(y?4)2=1上有一動(dòng)點(diǎn)P，雙曲線(xiàn)M:x29A．42?1 B．42?5 C．考點(diǎn)9雙曲線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用【例5.1】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線(xiàn)形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬AB=205米，若水面上升5米，則水面寬為（

A．102米 B．152米 C．123【例5.2】（2024·湖北荊州·一模）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其它兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離是1020m.則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（

）處.（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340A．西偏北45°方向，距離68010m B．東偏南45°C．西偏北45°方向，距離6805m D．東偏南45°【變式5.1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線(xiàn)電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，即從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)都經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，已知雙曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)

A．2 B．2 C．72 D．【變式5.2】（23-24高二上·江西·期中）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線(xiàn)型塔筒，該塔筒是由離心率為10的雙曲線(xiàn)的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為62cm，下底直徑為92cm，喉部（中間最細(xì)處）的直徑為A．272cm B．18cm C．27

三、課后作業(yè)單選題1．（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期末）已知雙曲線(xiàn)的方程為x25?A．2 B．4 C．25 2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B兩個(gè)哨所，聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s，已知聲速是340m/s，炮彈爆炸點(diǎn)一定在曲線(xiàn)（

）的方程上.A．x2260100?y2229900=1C．y=0(x≤?700或x≥700) D．x3．（23-24高二上·廣東茂名·期末）如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱(chēng)為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線(xiàn)C:x2a2?y2b2

A．90cm B．100cm C．110cm4．（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知等軸雙曲線(xiàn)的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)為F1，焦距為4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)，P為雙曲線(xiàn)右支上一動(dòng)點(diǎn)，則PA．22 B．17 C．22+15．（23-24高二上·湖北恩施·階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的焦距為23A．x22?C．y2?x6．（23-24高二上·上?！て谀┓匠蘹2λ2?4+A．1 B．?4或1 C．?2或?4 D．?2或17．（23-24高二上·安徽阜陽(yáng)·期末）若雙曲線(xiàn)x2m2+1?y2A．3 B．2 C．94 D．8．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．1,2 B．2,+∞ C．1,多選題9．（23-24高二上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知曲線(xiàn)C:x2m?2+y24?mA．若m=3，則C為圓B．若2<m<4，則C為橢圓C．若m<2，則C為雙曲線(xiàn)D．若C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，則m>410．（23-24高二上·陜西榆林·期中）已知直線(xiàn)y=kxk≠0與雙曲線(xiàn)x2a2?y2b2=1a>0，b>0A．雙曲線(xiàn)的離心率為5 B．雙曲線(xiàn)的離心率為10C．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±62x填空題11．（23-24高二上·廣東中山·階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C:x264?y236=1，雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)12．（23-24高二下·上?！て谀┮阎p曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)F1的直線(xiàn)與左支交于A,B兩點(diǎn)，若AB=5，且雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為8解答題13．（23-24高二上·全國(guó)·單元