浙教版2025年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末總復(fù)習(xí)（專題訓(xùn)練）專題03整式的乘除(考題猜想11大題型)(教師版)

/專題03整式的乘除（11大題型）題型一冪的混合運(yùn)算題型二與冪有關(guān)的新定義問題題型三比較冪的大小題型四整式的混合運(yùn)算題型五整式化簡問題題型六與整式乘法有關(guān)的不含/無關(guān)型問題題型七多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積題型八多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題題型九用乘法公式簡便運(yùn)算題型十平方差公式與幾何圖形的應(yīng)用題型十一完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用題型一冪的混合運(yùn)算1．（23-24七年級(jí)下·江蘇無錫·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了冪的運(yùn)算，掌握冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先算冪的乘方，再算同底數(shù)冪的乘法；（2）先算冪的乘方，再合并同類項(xiàng)；（3）先算積的乘方和同底數(shù)冪的乘法，再合并同類項(xiàng)；（4）先算冪的乘方，再乘同底數(shù)冪的乘法，最后合并同類項(xiàng)．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．2．（2022七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)0(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方以及合并同類項(xiàng)的計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的除法計(jì)算法則求解即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法計(jì)算法則求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的混合運(yùn)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．3．（23-24七年級(jí)下·安徽亳州·期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，6【分析】本題考查了冪的混合運(yùn)算，先根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪相乘，零次冪法則進(jìn)行化簡，再合并同類項(xiàng)，得出，然后把代入，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：把代入，得題型二與冪有關(guān)的新定義問題4．（22-23七年級(jí)下·浙江金華·期末）規(guī)定：若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則記作．(1）根據(jù)題意，，則．(2）若記，，則a，b，c三者之間的關(guān)系式是．【答案】3【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法公式的應(yīng)用，（1）根據(jù)定義可得，由即可得出．（2）由得，再用同底數(shù)冪的乘法公式可求得三者之間滿足的關(guān)系式．【詳解】解：（1）由定義可知即，∵，∴，（2）由定義可知：，，，∵，∴，∴，∴，故答案為3；．5．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）對(duì)正整數(shù)，規(guī)定，記對(duì)正整數(shù)n，規(guī)定，記，若正整數(shù)使得為完全平方數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的k的值：【答案】12（答案不唯一）【分析】本題考查完全平方數(shù)的知識(shí)，積的乘方逆用法則，根據(jù)題意把S分解成的形式，再根據(jù)完全平方數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：，，，，，，都為完全平方數(shù)，為完全平方數(shù)，的值可以是，故答案為：12（答案不唯一）．6．（20-21七年級(jí)下·浙江·期末）下列有四個(gè)結(jié)論:①若，則；②若，則的值為；③若規(guī)定:當(dāng)時(shí)，，若，則；④若，則可表示為，⑤已知多項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)．其中正確的是（填序號(hào)）【答案】③⑤【分析】①可以是零指數(shù)冪，可以是1的任何次冪，可以是-1的偶數(shù)次冪；②先求出ab的值，再求出a+b的值，最后代入代數(shù)式求值即可；③根據(jù)新定義列出方程求解即可；④把a(bǔ)，b先化成底數(shù)為2的式子，然后再求值；⑤根據(jù)完全平方公式判斷即可．【詳解】解：①可以分為三種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，為偶數(shù)時(shí)，，但不是偶數(shù)，舍去；綜上所述，或0．①不符合題意；②，，，，，，，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式，．②不符合題意；③根據(jù)定義得：，解得：，③符合題意；④，，，④不符合題意；⑤是完全平方式，，⑤符合題意，故答案為：③⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查了零指數(shù)冪，完全平方公式，冪的運(yùn)算，綜合性比較強(qiáng)，解題時(shí)注意分類討論．題型三比較冪的大小7．（22-23七年級(jí)下·浙江金華·期中）冪的運(yùn)算逆向思維可以得到；；等，在解題過程中，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，逆向運(yùn)用冪的運(yùn)算法則，?？梢曰睘楹?，化難為易，使問題巧妙獲解．(1)若，求m的值；(2)比較大?。喝?，，，則a，b，c的大小關(guān)系是什么？【答案】(1)1(2)【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方及其逆用，有理數(shù)大小比較，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方進(jìn)行計(jì)算；（2）把、、換算成同指數(shù)冪，再按照有理數(shù)大小比較方法進(jìn)行比較．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，，，．8．（21-22七年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）閱讀：已知正整數(shù)a、b、c，顯然，當(dāng)同底數(shù)時(shí)，指數(shù)大的冪也大，若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪和，當(dāng)時(shí)，則有，根據(jù)上述材料，回答下列問題．(1)比較大小：（填寫>、<或=）；(2)比較與的大?。▽懗霰容^的具體過程）；(3)計(jì)算．【答案】(1)>(2)(3)4【分析】（1）根據(jù)所給的材料的方法進(jìn)行求解即可；（2）把指數(shù)轉(zhuǎn)為相同，再比較底數(shù)即可；（3）利用積的乘方的法則的逆運(yùn)用，進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：>；（2）解：∵233=（23）11=811，322=（32）11=911，∴811＜911，即233＜322；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查積的乘方法則，冪的大小的比較，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與運(yùn)用．9．（21-22七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）閱讀下面的材料：材料一：比較和的大小解：因?yàn)?，且，所以，即」小結(jié)：指數(shù)相同的情況下，通過比較底數(shù)的大小，來確定兩個(gè)冪的大小，材料二：比較和的大?。猓阂?yàn)?，且，所以，即，小結(jié)：底數(shù)相同的情況下，通過比較指數(shù)的大小，來確定兩個(gè)冪的大小解決下列問題：(1)比較、、的大?。?2)比較的大小：(3)比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，，，再比較底數(shù)的大小即可；（2）根據(jù)，，，再比較底數(shù)的大小即可；（3）根據(jù)，，再由，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∵，∴，即；（2）解：∵，，，∵，∴，即；（3）解：∵，，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方與積的乘方、有理數(shù)大小比較，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)大小的比較方法．題型四整式的混合運(yùn)算10．（22-23七年級(jí)下·浙江·期末）計(jì)算題．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)積的乘方和合并同類項(xiàng)的方法可以解答本題；（2）根據(jù)平方差公式將式子展開，然后合并同類項(xiàng)即可；（3）根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以解答本題；（4）根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以解答本題．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．11．（21-22七年級(jí)下·浙江寧波·期末）計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】此題考查了平方根、立方根、零次冪、負(fù)整指數(shù)冪以及整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．（1）根據(jù)零次冪以及負(fù)整指數(shù)冪、乘方的運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)積的乘方以及整式的運(yùn)算法則，求解即可．【詳解】（1）解：；（2）．12．（22-23八年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏?！るA段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先算乘方，再算乘法，再合并同類項(xiàng)即可得到答案；（2）先算乘方，再算乘法，最后再合并同類項(xiàng)即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的乘法，乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．13．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．（1）先化簡各式，再進(jìn)行加減計(jì)算即可；（2）先算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，．題型五整式化簡問題14．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·期末）（1）先化簡，再求值：，其中．（2）先化簡代數(shù)式，若是滿足的整數(shù)，從中選一個(gè)恰當(dāng)?shù)牡闹荡肭蟪龃鷶?shù)式的值．【答案】（1）；；（2）；當(dāng)時(shí)，原式或當(dāng)時(shí)，原式．（選其中一個(gè)作答即可）【分析】本題考查了整式的化簡求值，分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)完全平方公式、平方差公式、多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法計(jì)算，然后去括號(hào)合并同類項(xiàng)，最后把代入求值即可；（2）先把括號(hào)內(nèi)通分，根據(jù)完全平方公式和平方差公式化簡第二項(xiàng)，再進(jìn)行除法計(jì)算，化簡后取一個(gè)使分式有意義的數(shù)代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）原式，即原式（2）原式是滿足的整數(shù)，，0當(dāng)，時(shí)，分式無意義當(dāng)時(shí)，原式或當(dāng)時(shí)，原式．（選其中一個(gè)作答即可）15．（22-23七年級(jí)下·浙江寧波·期末）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，2【分析】利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，冪的乘方和積的乘方以及單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算，再將a，b代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．16．（22-23七年級(jí)下·浙江湖州·期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)整式運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：，把代入得，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算－求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式運(yùn)算法則和乘法公式進(jìn)行化簡，代入數(shù)值后準(zhǔn)確計(jì)算．題型六與整式乘法有關(guān)的不含/無關(guān)型問題17．（21-22七年級(jí)下·浙江杭州·期末）已知的結(jié)果中不含的一次項(xiàng)．(1)求的值；(2)化簡：，并在（1）的條件下求值．【答案】(1)(2)4a+5，17【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，然后結(jié)合結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)可進(jìn)行求解；（2）先對(duì)整式進(jìn)行計(jì)算，然后再代值求解即可．【詳解】（1）解：，∵不含的一次項(xiàng)，∴；（2）解：==；∴當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及乘法公式，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及乘法公式是解題的關(guān)鍵．18．（23-24八年級(jí)上·湖北黃岡·期末）已知的展開式中不含的二次項(xiàng)，，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式不含某一項(xiàng)，因式分解，以及非負(fù)性．（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，進(jìn)行化簡后，根據(jù)展開式中不含的二次項(xiàng)，得到的二次項(xiàng)的系數(shù)為0，求出的值，即可；（2）將等式的左邊進(jìn)行因式分解后，利用非負(fù)性求出的值，再將的值代入代數(shù)式求值即可．【詳解】（1）解：，∵展開式不含的二次項(xiàng)，∴，∴；（2），∴，∴，∴，∴，∴，∴．19．（23-24七年級(jí)上·四川成都·期末）若的積中不含x項(xiàng)與項(xiàng)．(1)求p、q的值；(2)求代數(shù)式的值．【答案】(1)；(2)36．【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則．（1）將原式根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開后合并同類項(xiàng)，由積中不含x項(xiàng)與項(xiàng)可知x項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)均等于0，可得關(guān)于p、q的方程組，解方程組即可；（2）由（1）中p、q的值得，將原式整理變形成再將p、q、的值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，∵積中不含x項(xiàng)與項(xiàng)，∴，解得：，；（2）解：∵，∴，∴．20．（24-25八年級(jí)上·四川資陽·期末）如圖，某學(xué)校的廣場上有一塊長為米，寬為米的長方形地塊．中間有一塊邊長為米的正方形雕像，周圍剩余部分（陰影部分）種植了綠化，請(qǐng)回答以下問題：(1)綠化的面積是多少？(2)若，使代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，求綠化面積的值．【答案】(1)（平方米）(2)【分析】本題考查了整式混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）用大長方形面積減去小正方形面積即可得到綠化的面積；（2）根據(jù)題意求出，再代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：（平方米）；（2）解：原式，代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，，，，（平方米），綠化面積的值為．題型七多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積21．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·期末）一個(gè)長方形的長、寬分別為，如果將長方形的長和寬分別增加和．(1)新長方形的面積比原長方形的面積增加了多少？(2)若，求長方形增加的面積．(3)如果新長方形的面積是原長方形面積的2倍，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)12．【分析】本題考查的是多項(xiàng)式的乘法與圖形面積，求解代數(shù)式的值；（1）先分別計(jì)算新的長方形與原長方形的面積，再作差即可；（2）把代入（1）中的代數(shù)式，再計(jì)算即可；（3）由條件可得，再計(jì)算，最后整體代入即可；【詳解】（1）解：依據(jù)面積公式得，新長方形的面積為；原長方形的面積為所以；（2）解：當(dāng)時(shí)，∴；（3）解：∵，∴，∴；22．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·期末）根據(jù)素材，完成任務(wù)．利用現(xiàn)有木板制作長方體木箱問題素材1如圖長方體木箱的長、寬、高分別是厘米、厘米、b厘米．素材2現(xiàn)有甲、乙、丙三塊木板，甲塊木板鋸成兩塊剛好能做箱底和一個(gè)長側(cè)面，乙木板鋸成兩塊剛好能做一個(gè)長側(cè)面和一個(gè)短側(cè)面，丙塊木板鋸成兩塊剛好能做成箱蓋和剩下的一個(gè)短側(cè)面（厚度忽略不計(jì)）．問題解決任務(wù)1請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示這三塊木板的面積．任務(wù)2若長方體長側(cè)面周長和短側(cè)面周長差為3厘米，長側(cè)面周長和短側(cè)面周長之和為23厘米，則甲、乙、丙三塊木板的面積和是多少？任務(wù)3若甲木板面積是乙木板面積的3倍，求箱子側(cè)面積與表面積的比值．【答案】任務(wù)一：甲木板面積：平方厘米，乙木板面積：平方厘米，丙木板面積：平方厘米；任務(wù)二：；任務(wù)三：【分析】任務(wù)一：根據(jù)題意結(jié)合長方形的面積公式列式整理即可；任務(wù)二：由長方體長側(cè)面周長和短側(cè)面周長差為3厘米，長側(cè)面周長和短側(cè)面周長之和為23厘米，再建立方程組求解的值，再列式計(jì)算即可．任務(wù)三：由題意可得：，可得，再列式計(jì)算比值即可；【詳解】任務(wù)一：解：由題意得：甲木板面積：平方厘米，乙木板面積：平方厘米，丙木板面積：平方厘米；任務(wù)二：由題意可得：，解得：，∴甲、乙、丙三塊木板的面積和為；任務(wù)三：由題意可得：，整理得：，∴，∵，∴，∴；箱子側(cè)面積為：，箱子表面積為：；∴箱子側(cè)面積與表面積的比值為；【點(diǎn)睛】本題考查了整式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，因式分解的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出甲、乙、丙三塊木板面積的式子是解題的關(guān)鍵．23．（23-24七年級(jí)下·浙江紹興·期末）如圖，將一張長方形紙片按如圖所示分割成6塊，其中有兩塊是邊長為的正方形，一塊是邊長為的正方形（）．(1)觀察圖形，代數(shù)式可因式分解為______；(2)圖中陰影部分面積之和記作，非陰影部分面積之和記作．①用含的代數(shù)式表示；②若，求的值．【答案】(1)(2)①；②1【分析】本題主要考查了整式的乘法運(yùn)算與圖形，完全平方公式的應(yīng)用，分式的約分：（1）根據(jù)題意可得長方形紙片的面積為，或者表示為，即可求解；（2）①直接觀察圖形，即可求解；②根據(jù)，可得，從而得到，再代入，即可求解．【詳解】（1）解：觀察圖形得：長方形紙片分為2塊是邊長為的正方形，1塊是邊長為的正方形，3塊是長為y，寬為的長方形，所以長方形紙片的面積為，∵長方形紙片的長為，寬為，∴長方形紙片的面積為，∴，即代數(shù)式可因式分解為；故答案為：（2）解：①根據(jù)題意得：；②∵，∴，整理得：，∴，∴，即，∴24．（22-23七年級(jí)下·浙江湖州·期末）如圖為某社區(qū)的一塊方形空地，由四塊長為，究為的長方形空地與一塊小正方形水池拼接而成，為創(chuàng)建生態(tài)社區(qū)、小明為空地設(shè)計(jì)了甲、乙兩種綠化方案，其中陰影部分都用于綠化，已知分別表示圖甲、乙中綠化的面積．

(1)_______________，_______________（用的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）為四個(gè)直角三角形的面積和；為大正方形的面積減四個(gè)小直角三角形的面積減小正方形的面積；（2）根據(jù)已知以及（1）的結(jié)論求得，代入計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：；，故答案為：；；（2）解：∵，∴，解得（負(fù)值已舍），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用，分式的約分化簡，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．題型八多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題25．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·期末）材料閱讀：若一個(gè)整數(shù)能表示成（是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如：因?yàn)椋?3是“完美數(shù)”；再如：因?yàn)椋ㄊ钦麛?shù)），所以是“完美數(shù)”．根據(jù)上面的材料，解決下列問題：(1)請(qǐng)直接寫出一個(gè)不大于5的“完美數(shù)”，這個(gè)“完美數(shù)”是______．(2)試判斷（是整數(shù)）是否為“完美數(shù)”，并說明理由．(3)已知（是整數(shù)，為常數(shù)），要使為“完美數(shù)”，試求出符合條件的值，并說明理由．【答案】(1)2（答案不唯一）(2)是完美數(shù)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義，判斷，并寫出一個(gè)小于10的“完美數(shù)”即可求解；（2）根據(jù)新定義根據(jù)多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，然后因式分解成兩個(gè)平方和的形式即可求解；（3）先運(yùn)用完全平方公式將進(jìn)行化簡，再根據(jù)“完美數(shù)”的定義計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，是“完美數(shù)”，故答案為：2（答案不唯一）．（2）解：，是“完美數(shù)”．（3）解：，為“完美數(shù)”，，．26．（22-23七年級(jí)下·浙江湖州·期末）七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組成員在研究我國數(shù)學(xué)發(fā)展的時(shí)候查閱到了一位杰出的數(shù)學(xué)家，他們決定對(duì)其的發(fā)現(xiàn)展開微項(xiàng)目探索，請(qǐng)你跟隨探索腳步，根據(jù)素材，完成【任務(wù)規(guī)劃】和【項(xiàng)目成效】．【驅(qū)動(dòng)問題】探索楊輝三角和多項(xiàng)式乘法計(jì)算結(jié)果中各項(xiàng)系數(shù)間的奧秘【核心概念】：素材1：楊輝是我國南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，在其所著的《詳解九章算法》中有記載了如圖1，源于北宋時(shí)期數(shù)學(xué)家賈憲的“開方作法本源圖”，我們把這個(gè)表叫做“楊輝三角”．素材2：我們知道，．利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，還可以得到：．當(dāng)時(shí)，將計(jì)算結(jié)果中多項(xiàng)式（以a降次排序）各項(xiàng)的系數(shù)排列成表，可得到如圖2：

【任務(wù)規(guī)劃】（1）任務(wù)1：請(qǐng)根據(jù)素材1和素材2直接寫出的計(jì)算結(jié)果；（2）任務(wù)2：將（其中）的計(jì)算結(jié)果以a降次排序后，請(qǐng)推導(dǎo)出第三項(xiàng)的系數(shù)m（用含n的代數(shù)式表示）．【項(xiàng)目成效】（3）成果展示：請(qǐng)計(jì)算中含的項(xiàng)的系數(shù)是多少．【答案】（1）；（2）；（3）系數(shù)為80【分析】本題考查了圖形的數(shù)字規(guī)律：（1）根據(jù)每一行兩端的系數(shù)都為1，中間部分系數(shù)分別為上一行相鄰兩系數(shù)的和計(jì)算求值即可；（2）求出n取2，3，4，5時(shí)計(jì)算結(jié)果中第三項(xiàng)的系數(shù)，由此得出規(guī)律，即可求解；（3）由（2）得：中含的項(xiàng)的系數(shù)即為計(jì)算結(jié)果中第三項(xiàng)的系數(shù)，即可求解．【詳解】解：（1）；（2），第三項(xiàng)的系數(shù)為；，第三項(xiàng)的系數(shù)為；，第三項(xiàng)的系數(shù)為，，第三項(xiàng)的系數(shù)為，……，，第三項(xiàng)的系數(shù)為；（3）由（2）得：中含的項(xiàng)的系數(shù)是．27．（20-21七年級(jí)下·浙江·期末）回答下列問題：（1）填空：________；________；_________．（2）猜想：____________．（其中為正整數(shù)，且）；（3）利用（2）猜想的結(jié)論計(jì)算：（結(jié)果保留乘方）①；②．【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①211-2；②【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；（3）利用得出的規(guī)律將原式變形，計(jì)算即可求出值．【詳解】解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2；（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4；（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn；（3）①原式=210+29+28+…+23+22+2=（2-1）?（210+29?1+28?12+…+23?16+22?18+2?19+110）-110=211-111-1=211-2；②=====【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的規(guī)律和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．.28．（21-22七年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）你能求的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，從簡單的情形入手，先分別計(jì)算下列各式的值．①②③…(1)由此我們可以得到：=．(2)請(qǐng)你利用上面的結(jié)論，再完成下面兩題：①若，求的值；②計(jì)算：．【答案】(1)(2)①-1；②【分析】（1）觀察已知等式得到一般性規(guī)律，寫出即可；（2）①原式變形后，利用得出的規(guī)律化簡，計(jì)算即可求出值；②式子轉(zhuǎn)化為-(-4-1)×[]，再計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由此我們可以得到：=；故答案為：；（2）解：①∵，=0，∴=1，則x=±1，∵=0，∴x＜0，∴x=-1，∴=-1；②原式=-(-4-1)×[]=-[-1]=．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式和數(shù)字的變化規(guī)律，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．題型九用乘法公式簡便運(yùn)算29．（21-22八年級(jí)上·河北保定·期末）計(jì)算：利用平方差公式可以進(jìn)行簡便計(jì)算：例如：請(qǐng)你參考上述算法，運(yùn)用平方差公式簡便計(jì)算：【答案】【分析】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，把第一個(gè)括號(hào)內(nèi)提，然后利用平方差公式計(jì)算．【詳解】解：．30．（23-24六年級(jí)下·山東東營·期末）（1）先化簡，再求值：，其中，；（2）用乘法公式簡便計(jì)算：．【答案】（1），；（2）【分析】本題考查了整式的化簡求值，乘法公式，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵．（1）括號(hào)內(nèi)根據(jù)完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式展開化簡，再計(jì)算除法，然后將、的值代入計(jì)算即可；（2）利用平方差公式簡便計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，當(dāng)，時(shí)，原式．（2）解：．31．（23-24七年級(jí)下·廣東揭陽·期末）從邊長為a的正方形中減掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．

B．

C．(2)應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知求的值；②簡便計(jì)算：．【答案】(1)B(2)①3②【分析】（1）根據(jù)題意，得剪去小正方形后余下圖形的面積為；重新拼圖后得到一個(gè)長為，寬為得長方形，根據(jù)面積不變性質(zhì)，建立等式解答即可．（2）①根據(jù)，結(jié)合已知求的值即可．②根據(jù)題意，得，解答即可．本題考查了平方差公式的幾何意義，及其應(yīng)用，正確理解意義，靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得剪去小正方形后余下圖形的面積為；重新拼圖后得到一個(gè)長為，寬為得長方形，根據(jù)面積不變性質(zhì)，建立等式得．故選B．（2）①根據(jù)，且故．②根據(jù)題意，得．32．（22-23八年級(jí)下·山東棗莊·期末）（1）已知：，，求的值.（2）用簡便方法計(jì)算：①；②.【答案】（1）30；（2）①10000；②33000【分析】（1）由，相加減可得，，即可求解；（2）①利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；②利用乘法分配律及平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，即：，，即：，∴；（2）①；②．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式及完全平方公式，熟記平方差公式及完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵．題型十平方差公式與幾何圖形的應(yīng)用33．（22-23七年級(jí)下·浙江湖州·期末）若圖1正方形框中陰影部分（由邊長為a和b的正方形圍成）的面積與圖2平行四邊形的面積相等，求平行四邊形的高h(yuǎn)（結(jié)果用含，b的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】此題考查了平方差公式幾何背景問題的解決能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形準(zhǔn)確列式．由題意得，圖①中陰影部分面積為：，圖②平行四邊形的面積是，進(jìn)而列出等式即可解決問題．【詳解】解：∵

∴∴34．（20-21七年級(jí)下·浙江·期末）邊長為的正方形剪掉一個(gè)邊長為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是_________（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）；A．

B．

C．（2）若，求的值；（3）計(jì)算：【答案】（1）B；（2）3；（3）【分析】（1）結(jié)合圖1和圖2陰影部分面積相等建立等式即可．（2）利用平方差公式計(jì)算即可．（3）利用平方差公式展開計(jì)算化簡，最后求值．【詳解】解：（1）邊長為的正方形面積是，邊長為的正方形面積是，剩余部分面積為；圖（2）長方形面積為；驗(yàn)證的等式是，故答案為：B．（2），且，；（3）【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．35．（24-25八年級(jí)上·浙江·期末）通常情況下，用兩種不同的方法計(jì)算一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．如圖1，在①中邊長為的正方形中剪掉一個(gè)邊長為的小正方形，再將陰影部分沿虛線剪開，可拼成②中的長方形．（1）寫出圖1所表示的數(shù)學(xué)等式：__________；如圖2，大正方形的面積有兩種表示方法，由此可以說明__________（填公式）【問題探究】（2）①已知，則的值為__________；②如圖2，若，則__________．【拓展計(jì)算】（3）．【答案】（1），；（2）①12②74；（3）【分析】本題考查乘法公式與幾何圖形的面積，熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想，是解題的關(guān)鍵：（1）利用兩種方法表示出陰影部分的面積，寫出圖1的等式，利用正方形的面積公式以及分割法求圖形的面積，表示出數(shù)學(xué)公式即可；（2）①利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；②利用完全平方公式的變形進(jìn)行求解即可；（3）利用平方差公式進(jìn)行展開，再進(jìn)行約分化簡即可．【詳解】解：（1）陰影部分的面積可以用：，也可以用來表示，∴圖1所表示的數(shù)學(xué)等式為：；大正方形的面積可以用：，也可以用表示，∴可以說明；（2）①∵，∴；故答案為：12；②∵，∵，∴；故答案為：74；（3）原式．題型十一完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用36．（23-24七年級(jí)下·浙江湖州·期末）某小區(qū)要修建一個(gè)長為米，寬為米的長方形休閑場所．長方形內(nèi)建一個(gè)正方形活動(dòng)區(qū)和連結(jié)活動(dòng)區(qū)到長方形四邊的四條筆直小路（如下圖），正方形活動(dòng)區(qū)的邊長為米，小路的寬均為米．活動(dòng)區(qū)與小路鋪設(shè)鵝卵石，其他地方鋪設(shè)草坪．(1)求四條小路的面積；（用含a，b的代數(shù)式表示）(2)求鋪設(shè)草坪的面積．（用含a，b的代數(shù)式表示）【答案】(1)平方米(2)平方米【分析】本題考查列代數(shù)式，整式運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用：（1）長方形的長減去正方形的邊長，乘以小路的寬，加上長方形的寬減去正方形的邊長，乘以小路的寬，即可；（2）用長方形的面積減去正方形的面積再減去小路的面積即可．【詳解】（1）解：四條小路的面積為平方米．（2）鋪設(shè)草坪的面積為平方米．37．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期末）【綜合與實(shí)踐】制作靠墊面子．材料準(zhǔn)備：兩塊完全相同的長方形布料（），其它若干布料．【操作1】小江把長方形布料裁成形狀、大小都相同的四塊（如圖①），拼成如圖②的大正方形靠墊面子，其中，正中部分從其它布料處裁得．求從其它布料處裁得的正中部分的小正方形布料的面積．（裁剪、接縫處布料忽略不計(jì)，結(jié)果用a，b表示）【操作2】小濱把長方形布料裁成如圖③形狀的四塊，每一塊形狀、大小都相同，拼成如圖④的大正方形靠墊面子，其中，正中部分從其它布料處裁得（裁剪、接縫處布料忽略不計(jì)）．若原長方形布料的面積為90平方分米，圖②中的大正方形靠墊面子的面積為106平方分米，試求圖④中的大正方形靠墊面子的面積．【答案】操作1：小正方形布料的面積為，詳見解析；操作2：圖④中的大正方形靠墊面子的面積為平方分米，詳見解析【分析】本題主要考查了代數(shù)式的應(yīng)用，勾股定理，完全平方公式應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，操作1：根據(jù)圖形和數(shù)據(jù)求出大正方形的面積和四個(gè)直角三角形的面積，再作差即可；操作2：根據(jù)長方形布料的面積為90平方分米，圖②中的大正方形靠墊面子的面積為106平方分米列出方程組，求出的值，再根據(jù)圖④求正方形的面積；關(guān)鍵是掌握矩形的面積、正方形的面積和直角三角形的面積公式．【詳解】操作1：∵圖②大正方形的邊長為，∴圖②大正方形的面積為，∴圖②中間小正方形的面積為；操作2：根據(jù)題意得：，得：，解得（負(fù)值已舍去），∴③，把③代入①得：，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，，∴圖④大正方形面積為（平方分米）．38．（23-24七年級(jí)下·江西撫州·階段練習(xí)）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的