2025年新高二數(shù)學(xué)（人教A版暑假銜接）復(fù)習(xí)重難點-第04講：平面向量與解三角形高頻考點突破（學(xué)生版）-新高二暑假銜接

第04講：平面向量與解三角形高頻考點突破【考點梳理】考點一．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0考點二.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb考點四：.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．考點五．平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共線?x1y2－x2y1＝0.考點六．向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：[0，π]．考點七：．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積考點八：.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|). (5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量數(shù)量積滿足的運算律(1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ為實數(shù))； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點間的距離AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)設(shè)兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(4)若a，b都是非零向量，θ是a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).考點九．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)考點十：角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．【題型梳理】題型一：平面向量的基本概念1．（2023春·上海浦東新·高一統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．若，則與的長度相等且方向相同或相反；B．若，且與的方向相同，則C．平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；D．若，則與方向相同或相反2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中正確的是（

）A．若，則或B．若，，則C．已知點，，則與向量平行的單位向量是D．已知向量與的夾角為，，，則在方向上的投影向量是3．（2022春·上海浦東新·高一上海中學(xué)東校?？计谀┫铝薪Y(jié)論中，正確的是（

）A．零向量只有大小沒有方向 B．C．對任一向量，總是成立的 D．與線段的長度不相等題型二：平面向量的線性運算4．（2023春·江蘇無錫·高一輔仁高中?？计谀┤鐖D，在中，點為邊的中點，為線段的中點，連接并延長交于點，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．5．（2021春·浙江·高一期末）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊形ABCDEFGH，其中，給出下列結(jié)論：①與的夾角為；②；③；④在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）．其中正確結(jié)論為（

）A．① B．② C．③ D．④6．（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┤鐖D，在中，，則（

）A． B． C． D．題型三：平面向量的基本定理7．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，點，分別在邊和邊上，，分別為和的三等分點，點靠近點，點靠近點，交于點，設(shè)，，則（

）

A． B．C． D．8．（2023秋·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，直線交于點，若，則（

）A． B． C． D．9．（2022春·福建福州·高一校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）.

A． B． C． D．題型四：平行向量的垂直和平行問題10．（2023秋·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，則為（

）A． B． C． D．11．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)?？计谀┮阎橇阆蛄?，滿足，，若，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．12．（2021秋·湖南長沙·高一長沙一中?？计谀┮阎茄L為的等腰直角三角形，點是斜邊的中點，點在上，且，則（

）A． B．C． D．題型五：平行向量數(shù)量積13．（2023春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．14．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┮阎蛄颗c的夾角為，且，，設(shè)，，則向量在方向上的投影向量為（

）A．2 B． C． D．15．（2022春·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．題型六：平面向量的綜合問題16．（2023春·四川成都·高一成都外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，在△OAB中，P為線段AB上的一個動點（不含端點），且滿足．(1)若，用向量，表示；(2)在（1）的條件下，若，，且，求的值17．（2022秋·遼寧沈陽·高一沈陽市回民中學(xué)?？计谀┢矫鎯?nèi)給定三個向量，，．(1)若，求實數(shù)；(2)若滿足，且，求的坐標(biāo)．18．（2022春·上海普陀·高一曹楊二中?？计谀┤鐖D，在中，為邊上一點，且．(1)設(shè)，求實數(shù)、的值；(2)若，求的值；(3)設(shè)點滿足，求證：．題型七：正余弦定理的基本計算19．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谀┰谥?，角A，B，C所對的邊分別是，a，b，c，，，，則（

）A． B． C． D．20．（2022春·吉林長春·高一長春市實驗中學(xué)?？计谀┮阎谥?，，，，且，則的面積為（

）A． B．3 C． D．21．（2022春·四川南充·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，則sin（B＋C）＝（

）A． B． C． D．題型八：邊角互化問題22．（2023春·江蘇常州·高一常州市第一中學(xué)?？计谀┤?，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形23．（2022春·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且，則（

）A．2 B．4 C．6 D．824．（2022春·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法中錯誤的是（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是鈍角三角形題型九:三角形的面積公式問題25．（2022春·湖南長沙·高一長沙一中?？计谀┰谥?，內(nèi)角的對邊分別為若的面積為，且，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．26．（2022春·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且AB邊上的中線，則面積的最大值為（

）A． B． C．3 D．27．（2022春·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若的面積為，且，，則的周長為（

）A． B． C． D．題型十：解三角形的綜合問題28．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，，求邊上中線的長.29．（2023春·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┰谥?，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大?。?2)若，求的取值范圍.30．（2023春·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，且．(1)求；(2)若，為的平分線，求的長；(3)若，且為銳角三角形，求面積的取值范圍．【專題突破】一、單選題31．（2023秋·云南昆明·高一云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎橇阆蛄浚瑒t“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件32．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)?？计谀┰谥校堑膶叿謩e為，已知，且，點滿足，，則的面積為A． B． C． D．33．（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽鐵路實驗中學(xué)校考期末）我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知，則（

）A． B． C． D．34．（2023春·江蘇無錫·高一輔仁高中校考期末）兩個粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為，，則在上的投影向量的長度為（

）A．10 B． C． D．235．（2023秋·遼寧沈陽·高一沈陽市第十中學(xué)校考期末）已知向量，，，若與共線，則（

）A．4 B．3 C．2 D．136．（2023秋·江蘇無錫·高一無錫市第一中學(xué)?？计谀┮阎饨訄A圓心為，半徑為，，且，則向量在向量上的投影向量為(

)A． B． C． D．37．（2023春·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）如圖，、、三點在半徑為的圓上運動，且，是圓外一點，，則的最大值是（

）

A． B． C． D．38．（2023春·江蘇南通·高一?？计谀┮阎c在所在的平面內(nèi)，滿足，則動點的軌跡一定通過的（

）A．內(nèi)心 B．垂心 C．外心 D．重心39．（2023春·四川成都·高一成都外國語學(xué)校?？计谀┯浀膬?nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，D是AC邊上一點，且滿足，．則ac的最小值為（

）A． B． C．4 D．840．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)?？计谀┮阎鞯膬?nèi)角所對的邊分別為，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．（，）二、多選題41．（2023春·江蘇南通·高一期末）下列命題為真命題的有（

）A．已知非零向量，，，若，，則B．若四邊形ABCD中有，則四邊形ABCD為平行四邊形C．已知，，，可以作為平面向量的一組基底D．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為42．（2023春·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）平面向量，，滿足，，與夾角為，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最大值為43．（2023春·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長為2，是正八邊形邊上任意一點，則下列說法正確的是（

）

A．若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為B．的最大值為C．在方向上的投影向量為D．44．（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）在中，，，分別為角，，的對邊，下列敘述正確的是（

）A．若，則為等腰三角形B．已知，，則C．若，則D．若，則為銳角三角形45．（2023春·福建南平·高一期末）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知，，且，則（

）A． B．C． D．三、填空題