2018年北京春季高中會(huì)考數(shù)學(xué)合格考試卷（教師版）

1/112018北京春季高中會(huì)考數(shù)學(xué)一、在每個(gè)小題給出的四個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1．函數(shù)y=3sinx+2的最小正周期是（）A．1 B．2 C．π D．2π2．已知集合A={1，2}，B={1，m，3}，如果A∩B=A，那么實(shí)數(shù)m等于（）A．﹣1 B．0 C．2 D．43．如果向量，，那么等于（）A．（9，8） B．（﹣7，﹣4） C．（7，4） D．（﹣9，﹣8）4．在同一直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=cosx與y=﹣cosx的圖象之間的關(guān)系是（）A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱C．關(guān)于直線y=x對(duì)稱2 D．關(guān)于直線y=﹣x對(duì)稱5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖．當(dāng)輸入﹣2時(shí)，輸出的y值為（）A．﹣2 B．0 C．2 D．±26．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），且與直線2x﹣y+2=0平行，那么直線l的方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x﹣y﹣4=0 D．x﹣2y﹣4=07．某市共有初中學(xué)生270000人，其中初一年級(jí)，初二年級(jí)，初三年級(jí)學(xué)生人數(shù)分別為99000，90000，81000，為了解該市學(xué)生參加“開放性科學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)”的意向，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為3000的樣本，那么應(yīng)該抽取初三年級(jí)的人數(shù)為（）A．800 B．900 C．1000 D．11008．在△ABC中，∠C=60°，AC=2，BC=3，那么AB等于（）A． B． C． D．9．口袋中裝有大小、材質(zhì)都相同的6個(gè)小球，其中有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，那么摸到紅球或白球的概率是（）A． B． C． D．10．如果正方形ABCD的邊長為1，那么等于（）A．1 B． C． D．211．2015年9月3日，紀(jì)念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年大會(huì)在北京天安門廣場隆重舉行，大會(huì)中的閱兵活動(dòng)向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象，展示了科技強(qiáng)軍的偉大成就以及維護(hù)世界和平的堅(jiān)定決心，在閱兵活動(dòng)的訓(xùn)練工作中，不僅使用了北斗導(dǎo)航、電子沙盤、仿真系統(tǒng)、激光測距機(jī)、邁速表和高清攝像頭等新技術(shù)裝備，還通過管理中心對(duì)每天產(chǎn)生的大數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲(chǔ)、分析、有效保證了閱兵活動(dòng)的順利進(jìn)行，假如訓(xùn)練過程過程中第一天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為a，其后每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是前一天的q（q＞1）倍，那么訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為（）A．a(chǎn)qn﹣1 B．a(chǎn)qn C． D．12．已知，那么cos（﹣2α）等于（）A． B． C． D．13．在函數(shù)①y=x﹣1；②y=2x；③y=log2x；④y=tanx中，圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1）的函數(shù)的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④14．log42﹣log48等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．215．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是正方形，那么該幾何體的表面積是（）A．32 B．24 C． D．16．如果a＞b＞0，且a+b=1，那么在不等式①；②；③；④中，一定成立的不等式的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④17．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)推斷：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1其中推斷正確的序號(hào)是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④18．已知圓O1的方程為x2+y2=4，圓O2的方程為（x﹣a）2+y2=1，如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么a的所有取值構(gòu)成的集合是（）A．{1，﹣1} B．{3，﹣3} C．{1，﹣1，3，﹣3} D．{5，﹣5，3，﹣3}19．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（4，2）和B（0，b）滿足|BO|=|BA|，那么b的值為（）A．3 B．4 C．5 D．620．已知函數(shù)f（x）=ax，其中a＞0，且a≠1，如果以P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在y軸上，那么f（x1）?f（x2）等于（）A．1 B．a(chǎn) C．2 D．a(chǎn)221．已知點(diǎn)A（0，1），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足y≤|x|，那么|PA|的最小值是（）A． B． C． D．122．已知函數(shù)，關(guān)于f（x）的性質(zhì)，有以下四個(gè)推斷：①f（x）的定義域是（﹣∞，+∞）；②f（x）的值域是；③f（x）是奇函數(shù)；④f（x）是區(qū)間（0，2）上的增函數(shù)．其中推斷正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．423．為應(yīng)對(duì)我國人口老齡化問題，某研究院設(shè)計(jì)了延遲退休方案，第一步：2017年女干部和女工人退休年齡統(tǒng)一規(guī)定為55歲；第二步：從2018年開始，女性退休年齡每3年延遲1歲，至2045年時(shí)，退休年齡統(tǒng)一規(guī)定為65歲，小明的母親是出生于1964年的女干部，據(jù)此方案，她退休的年份是（）A．2019 B．2020 C．2021 D．202224．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，其中a∈R，b∈R，如果對(duì)任意x∈R，都有f（x）≠2，那么在不等式①﹣4＜a+b＜4；②﹣4＜a﹣b＜4；③a2+b2＜2；④a2+b2＜4中，一定成立的不等式的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④25．我國古代數(shù)學(xué)名著《續(xù)古摘奇算法》（楊輝）一書中有關(guān)于三階幻方的問題：將1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填入3×3的方格中，使得每一行，每一列及對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等（如圖所示），我們規(guī)定：只要兩個(gè)幻方的對(duì)應(yīng)位置（如每行第一列的方格）中的數(shù)字不全相同，就稱為不同的幻方，那么所有不同的三階幻方的個(gè)數(shù)是（）834159672A．9 B．8 C．6 D．4二.解答題（每小題5分，共25分）26．已知，且．（Ⅰ）tanθ=；（Ⅱ）求的值．27．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=2，BC=?=1，D是棱A1B1上一點(diǎn)．（Ⅰ）證明：BC⊥AD；（Ⅱ）求三棱錐B﹣ACD的體積．28．已知直線l：x+y=1與y軸交于點(diǎn)P，圓O的方程為x2+y2=r2（r＞0）．（Ⅰ）如果直線l與圓O相切，那么r=；（將結(jié)果直接填寫在答題卡的相應(yīng)位置上）（Ⅱ）如果直線l與圓O交于A，B兩點(diǎn)，且，求r的值．29．?dāng)?shù)列{an}滿足，n=1，2，3，…，{an}的前n項(xiàng)和記為Sn．（Ⅰ）當(dāng)a1=2時(shí)，a2=；（Ⅱ）數(shù)列{an}是否可能為等比數(shù)列？證明你的推斷；（Ⅲ）如果a1≠0，證明：．30．已知函數(shù)f（x）=2ax2+bx﹣a+1，其中a∈R，b∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）的零點(diǎn)為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，如果存在x0∈R，使得f（x0）＜0，試求a的取值范圍；（Ⅲ）如果對(duì)于任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥0成立，試求a+b的最大值．

參考答案一、在每個(gè)小題給出的四個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期為，求得結(jié)果．【解答】解：函數(shù)y=3sinx+2的最小正周期為2π，故選：D．2．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】由A∩B=A，得出A?B，即可得出m．【解答】解：∵A∩B=A，∴A?B．∵A={1，2}，B={1，m，3}，∴m=2．故選C．3．【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：向量，，則于=（1，2）﹣2（4，3）=（1，2）﹣（8，6）=（1﹣8，2﹣6）=（﹣7，﹣4），故選：B．4．【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)當(dāng)自變量相同時(shí)，它們的函數(shù)值相反，可得它們的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．【解答】解：由于當(dāng)自變量相同時(shí)，它們的函數(shù)值相反，故它們的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故選：A．5．【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)題意，模擬程序框圖的運(yùn)行過程，即可得出輸出的結(jié)果．【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程，如下；x=﹣2，x≥0？，否；y=﹣（﹣2）=2，輸出y的值為2．故選：C．6．【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】設(shè)所求的方程為x﹣y+c=0，代點(diǎn)可得關(guān)于c的方程，解之代入可得．【解答】解：由題意可設(shè)所求的方程為2x﹣y+c=0，代入已知點(diǎn)（2，1），可得4﹣1+c=0，即c=﹣3，故所求直線的方程為：2x﹣y﹣3=0，故選：A．7．【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【分析】先求出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，用每層的個(gè)體數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于該層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)．【解答】解：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于=，則抽取初三年級(jí)的人數(shù)應(yīng)為81000×=900人，故選：B．8．【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理即可求值得解．【解答】解：∵∠C=60°，AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB===．故選：C．9．【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】根據(jù)題意，易得口袋中有6個(gè)球，其中紅球和白球共有4個(gè)，由古典概型公式，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，口袋中有6個(gè)球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，則紅球和白球共有4個(gè)，故從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，那么摸到紅球或白球的概率是=；故選D．10．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】求出的模長和夾角，代入數(shù)量積公式計(jì)算．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為1，∴||=1，||=，∠BAC=，∴=||?||?cos=1．故選：A．11．【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由已知得訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為Sn=a+aq+aq2+…+aqn﹣1，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵訓(xùn)練過程中第一天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為a，其后每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是前一天的q（q＞1）倍，∴那么訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為：Sn=a+aq+aq2+…+aqn﹣1=．故選：D．12．【考點(diǎn)】二倍角的余弦．【分析】利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可求值得解．【解答】解：∵，∴cos（﹣2α）=cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故選：B．13．【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】把點(diǎn)（1，1）代入各個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)，可得結(jié)論．【解答】解：把點(diǎn)（1，1）代入各個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)，可得只有y=x﹣1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1），故選：A．14．【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：log42﹣log48=log4=log44﹣1=﹣1，故選：B．15．【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由幾何體的三視圖得出原幾何體一個(gè)底面為正方形的長方體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的表面積．【解答】解：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為正方形的長方體，長方體的底面正方形的對(duì)角線長為2，長方體的高是3；所以，底面正方形的邊長為=，該長方體的表面積為2×+4×3×=4+12．故選：C．16．【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)．【分析】通過特殊值判斷①②，通過通分判斷③，通過基本不等式的性質(zhì)判斷④．【解答】解：如果a＞b＞0，且a+b=1，那么①，②，令a=0.8，b=0.2，顯然不成立，故①②錯(cuò)誤；③+==，故錯(cuò)誤；④1=a+b＞2，故，故④正確，故選：D．17．【考點(diǎn)】平面與平面平行的判定；直線與平面平行的判定．【分析】由FG∥BC1，BC1∥AD1，得FG∥AD1，從而FG∥平面BC1D1，F(xiàn)G∥平面AA1D1D；由EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，從而EF與平面BC1D1相交，進(jìn)而平面EFG與平面BC1D1相交．【解答】解：∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正確；∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故②錯(cuò)誤；∵E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故③正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故④錯(cuò)誤．故選：A．18．【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)圓內(nèi)切或外切，分別求出a，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴兩個(gè)圓內(nèi)切或外切，內(nèi)切時(shí)，|a|=1，外切時(shí)，|a|=3，∴實(shí)數(shù)a的取值集合是{1，﹣1，3，﹣3}．故選：C．19．【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用．【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示|BO|=|BA|，即可求出b的值．【解答】解：∵點(diǎn)A（4，2）和B（0，b）滿足|BO|=|BA|，∴b2=42+（2﹣b）2，∴b=5．故選：C．20．【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】由已知可得x1+x2=0，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案．【解答】解：∵以P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在y軸上，∴x1+x2=0，又∵f（x）=ax，∴f（x1）?f（x2）=ax1+ax2=ax1+x2=a0=1，故選：A．21．【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【分析】作出平面區(qū)域，根據(jù)圖形找出PA的最小值．【解答】解：作出平面區(qū)域如圖，則|PA|的最小值為A（0，1）到直線x﹣y=0的距離d==．故選：B．22．【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】根據(jù)f（x）的表達(dá)式求出其定義域，判斷①正確；根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出f（x）的值域，判斷②正確；根據(jù)奇偶性的定義，判斷③正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷④錯(cuò)誤．【解答】解：①∵函數(shù)，∴f（x）的定義域是（﹣∞，+∞），故①正確；②f（x）=，x＞0時(shí)：f（x）≤，x＜0時(shí)：f（x）≥﹣，故f（x）的值域是，故②正確；③f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函數(shù)，故③正確；④由f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜﹣1，∴f（x）在區(qū)間（0，2）上先增后減，故④錯(cuò)誤；故選：C．23．【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】按原來的退休政策，她應(yīng)該于：1964+55=2019年退休，再據(jù)此方案，能求出她退休的年份．【解答】解：∵小明的母親是出生于1964年的女干部，∴按原來的退休政策，她應(yīng)該于：1964+55=2019年退休，∵從2018年開始，女性退休年齡每3年延遲1歲，∴據(jù)此方案，她退休的年份是2020年．故選：B．24．【考點(diǎn)】兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】需要分類討論，當(dāng)a=0時(shí)，和當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=sin（x+θ），其中tanθ=，然后比較計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=bcosx，∵x∈R，都有f（x）≠2，∴|b|＜1，∴﹣1＜a+b＜1，﹣1＜a﹣b＜1，a2+b2＜1，當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=sin（x+θ），其中tanθ=，∵x∈R，都有f（x）≠2，∴＜2，即a2+b2＜4，綜上所示，只有④一定成立，故選：D．25．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】列舉所有排法，即可得出結(jié)論．【解答】解：三階幻方，是最簡單的幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9．其中有8種排法492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672．故選：B．二.解答題（每小題5分，共25分）26．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】（Ⅰ）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得cosθ的值，可得tanθ的值．（Ⅱ）由條件利用兩角和的余弦公式，求得的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，且，∴cosθ=﹣=﹣，∴，故答案為：﹣．（Ⅱ）∵=cosθcos﹣sinθsin=﹣?﹣?=﹣．27．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明BC⊥平面ABB1A1，即可證明：BC⊥AD；（Ⅱ）利用轉(zhuǎn)化法結(jié)合三棱錐的體積公式即可求三棱錐B﹣ACD的體積．【解答】證明：（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∴BC⊥AB，∵BB1⊥平面ABC，BZ?平面ABC，∴BB1⊥BC，∵BB1∩AB=B，∴BC⊥平面ABB1A1，∵AD?平面ABB1A1，∴BC⊥AD．（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC是三棱錐C﹣ABD的高，則VB﹣ACD=VC﹣ABD=S△ABD?BC=AB?BB1?BC=×2×1=，即．28．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）如果直線l與圓O相切，圓心到直線的距離d=r；（Ⅱ）如果直線l與圓O交于A，B兩點(diǎn)，且，分類討論，利用相交弦定理、勾股定理求r的值．【解答】解：（Ⅰ）圓心到直線的距離d==，∴…（Ⅱ）設(shè)|PA|=x，則|PB|=2x．圓心到直線的距離d=．①點(diǎn)P在圓內(nèi)，|AB|=3x，則x?2x=（r﹣1）（r+1），∴x2=（r2﹣1），∴r2=（r2﹣1）+，∴r=；②點(diǎn)P在圓外，則x?2x=（1﹣r）（r+1），∴x2=（1﹣r2），∴r2=（1﹣r2）+，∴r=；∴r的值為或…故答案為：．29．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a1=2時(shí)，代入計(jì)算，可得a2；（Ⅱ）利用反證法判斷數(shù)列{an}不可能為等比數(shù)列；（Ⅲ）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a1=2時(shí)，；（Ⅱ）設(shè)公比為q，則∵，∴+1=，∴q=1，此時(shí)an=0，矛盾∴數(shù)列{an}不可能為等比數(shù)列；（Ⅲ）n=1時(shí)，左邊=a1，右邊===a1，成立；假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，則Sk=，n=k+1時(shí)，左邊=Sk+ak+1=+ak+1=右邊===∴左邊=右邊，綜上，．故答案為：．30．【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（I）令f（x）=0解出；（II）根據(jù)f（x）的函數(shù)類型和圖象開口討論，只需fmin（x）＜0即可；（III）對(duì)函數(shù)類型，開口方向，單調(diào)性進(jìn)行討論，令fmin（x）≥0列出不等式，根據(jù)不等式的性質(zhì)得出a+b的范圍．【解答】解：（I）a=b=1時(shí)，f（x）=2x2+x，令f（x）=0，解得x=0或x=﹣．∴f（x）的零點(diǎn)為0，﹣．（II）當(dāng)b=時(shí)，f（x）=2ax2+x﹣a+1，①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=+1，f（x）為R上的增函數(shù)，f（﹣）=0，∴當(dāng)x0＜﹣時(shí)，f（x0）＜0，符合題意；