16.3 角的平分線 課件

16.3角的平分線學(xué)習(xí)目標1.掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.（重點）3.能利用尺規(guī)作出一個已知角的平分線.（重點）2.能利用角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理證明相關(guān)結(jié)論.（難點）1.下圖中表示點P到直線l的距離的是

.線段PC的長PlABCD點到直線的距離是指：點到直線的垂線段的長度.新課導(dǎo)入2.本章中，從哪些方面學(xué)習(xí)線段的垂直平分線？①線段的垂直平分線的定義③線段的垂直平分線的性質(zhì)定理④線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理⑤線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖類似地，今天我們將從這些角度學(xué)習(xí)角的平分線的相關(guān)知識......②線段的軸對稱性新課導(dǎo)入問題1角是軸對稱圖形嗎？將∠AOB對折，你發(fā)現(xiàn)了什么？ABO歸納：角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸.新知探究問題2OC是∠AOB的平分線，在角平分線OC上任意選一點P，在邊OA上取點D，邊OB上取點E，怎樣才能使PD=PE?同學(xué)們拿出課前準備好的∠AOB，用折紙的方法確定D、E的位置.CABO新知探究有可能出現(xiàn)的情況很多，我們選擇兩種來展示，展開后的圖形如下：.CABPODE猜想：PD與PE有何數(shù)量關(guān)系呢？PD=PE.CABPODE新知探究PAOBCDE已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E.你能用什么方法說明你的結(jié)論是正確的？求證：PD=PE.新知探究用刻度尺測量PD,PE，得到兩條線段的長度相等.PAOBCDE方法一：方法二：利用角的對稱性，當沿OC所在的直線對折時，PD與PE重合，因此PD=PE.新知探究PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90

°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.方法三：新知探究

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.用途：

證明兩條垂線段相等.BADOPEC試一試：請你用語言描述你所得到的結(jié)論.角平分線的性質(zhì)定理新知探究幾何語言：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE.PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC注意：一定要表明是兩條垂線段.新知探究（1）∵如圖，AD平分∠BAC（已知）∴

=

，()角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC判斷下列的寫法是否正確？理由：沒有垂直，不能確定BD,CD是點D到角兩邊的距離.練一練（2）∵

如圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

，()角內(nèi)任意一條線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCDBADC理由：無法確定點D在∠BAC的平分線上.×練一練線段的垂直平分線的性質(zhì)定理有逆定理，角的平分線的性質(zhì)定理是否也有逆定理呢？請你說出角平分線的性質(zhì)定理的逆命題.如果一個點到角兩邊的距離相等，那么這個點在角的平分線上.新知探究角平分線性質(zhì)定理的逆定理到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE用途：

證明點在角平分線上，即可以判定角平分線.在17章進行證明新知探究例

如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.A

B

C

PN

M典型例題D

E

F

A

B

C

P

N

M

證明：過點P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.典型例題思考：點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點P在∠A的平分線上.D

E

F

A

B

C

P

N

M

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點，這點到三角形三邊的距離相等.新知探究如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?CADBCE兩個三角形三邊對應(yīng)相等，兩個三角形全等，兩全等三角形的對應(yīng)角相等.所以AE就是角平分線.想一想：能夠運用這種方法作出任意角的角平分線嗎？新知探究用尺規(guī)作已知角的角平分線ABMNCO已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點M,N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.新知探究ABMNCO證明：連接CM,CN由作圖過程知，OM=ON,CM=CN,又OC=OC∴△OMC≌△ONC,∴∠AOC=∠BOC.即OC是∠AOB的平分線.試一試：在練習(xí)本上分別作銳角，鈍角，平角的角平分線.角平分線作法的依據(jù)新知探究1.如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，則四邊形ABCD的面積是______.D

A

B

C

BA.24B.30C.36D.42課堂練習(xí)2.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA課堂練習(xí)125°3.如圖，O是△ABC內(nèi)一點，且點O到三邊AB,BC,AC的距離OF=OD=OE，若∠BAC=70°，則∠BOC=______.F

D

E

A

B

C

O

課堂練習(xí)4.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．

證明：過點F分別作FG⊥AE于點G，F(xiàn)H⊥AD于點H，F(xiàn)M⊥BC于點M.∵點F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC.∴FG＝FM.又∵點F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥