湖南省沅澧共同體2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

沅澧共同體2025屆高三第一次模擬考試（試題卷）數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分命題單位：常德外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于（）A．-2 B． C．1 D．22．設(shè)集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A．6 B．5 C．4 D．33．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m的值為（）A．1 B．-3 C．-4 D．1或-34．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且為直角三角形，則m的值為（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差不為0，且成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．6．亭是我國(guó)古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場(chǎng)所，也是園林風(fēng)景的重要點(diǎn)綴．重檐圓亭（圖1）是常見(jiàn)的一類亭，其頂層部分可以看作是一個(gè)圓錐以及一個(gè)圓臺(tái)（圖2）的組合體．已知某重檐涼亭的圓臺(tái)部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺(tái)部分的側(cè)面積為（）A．B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，最高點(diǎn)，且滿足．若將的圖象向左平移1個(gè)單位得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則（）A．B．0C．D．8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則不等式在上的解集為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)1，2，3，5，8，9的中位數(shù)小于平均數(shù)B．?dāng)?shù)據(jù)0，0.2，0.3，0.7，0.8，1的標(biāo)準(zhǔn)差大于方差C．在相關(guān)分析中，樣本相關(guān)系數(shù)r越小，線性相關(guān)程度越弱D．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則10.中角所對(duì)的邊分別為、、，則“是直角三角形”的充分條件是（）A．B．C．D．11.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，則（）A．時(shí)，滿足的點(diǎn)有2個(gè)B．的周長(zhǎng)等于C．時(shí)，滿足的點(diǎn)有4個(gè)D．的最大值為a2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若非零向量滿足，，則．13.已知點(diǎn)在拋物線上，的焦點(diǎn)為，則．14..四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在2025年春節(jié)檔電影中，由餃子導(dǎo)演的《哪吒之魔童鬧?！冯娪霸趪?guó)內(nèi)外受到一致好評(píng)，票房也一路飆升到國(guó)內(nèi)第一，也是國(guó)內(nèi)首部百億票房，暫居全球票房第六．其中有不少觀眾對(duì)角色喜歡都有自己的見(jiàn)解．劉同學(xué)為了了解學(xué)生喜歡哪吒角色是否與性別有關(guān)，他對(duì)全班50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡哪吒角色不喜歡哪吒角色總計(jì)女生10男生5總計(jì)50已知從全班50人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡哪吒角色的學(xué)生的概率為0.6．（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，根據(jù)小概率值=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試判斷學(xué)生喜歡哪吒角色與性別是否有關(guān)；（2）從喜歡哪吒角色的同學(xué)中，按分層隨機(jī)抽樣的分式，隨機(jī)抽取6人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)選出3人采訪發(fā)言．設(shè)這3人中男生人數(shù)為，求的分布列及期望值．附：，.0.100.050.012.7063.8416.63516．（本小題滿分15分）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值．17．如圖1，平面四邊形為“箏型”，其中，將平面沿著翻折得到三棱錐（如圖2），為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）如圖2，若，，求平面與平面的夾角的正弦值．18．（本小題滿分17分）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，離心率為2.（1）求雙曲線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交雙曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第二象限），直線交雙曲線于點(diǎn)，證明：.19．（本小題滿分17分）已知函數(shù),．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（3）求證：.沅澧共同體2025年上學(xué)期高三第一次模擬考試（答案）數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分命題單位：常德外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)12345678答案CCACBBDA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)91011答案ABDBDACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.113.214.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）解：（1）因?yàn)閺娜?0人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡哪吒角色的學(xué)生的概率為0.6，所以喜歡哪吒角色的學(xué)生人數(shù)為，其中女生10人，則男生20人.不喜歡哪吒角色的人數(shù)為，其中男生5人，則女生15人（含填表）……3分列聯(lián)表補(bǔ)充如下，喜歡哪吒角色不喜歡哪吒角色總計(jì)女生101525男生20525總計(jì)302050零假設(shè)為：學(xué)生喜歡哪吒角色與性別無(wú)關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算可得，……5分根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生喜歡哪吒角色與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.……6分（2）由題意，按分層隨機(jī)抽樣抽取的6人中，男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.……7分表示從這6人中隨機(jī)選出3人中男生的人數(shù)，所以的所有可能取值為1，2，3.……8分則，，.……11分所以的分布列為123數(shù)學(xué)期望.……13分16.（本小題滿分15分）解：（1）由正弦定理及，得，……2分，……4分，，……6分，……7分（2）設(shè)的外接圓半徑為，由及正弦定理，得……8分，.……10分由余弦定理得，，……13分，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，周長(zhǎng)的最大值為9.……15分17.（本小題滿分15分）解：（1），，D為的中點(diǎn)，，，……2分，平面，平面，平面.……4分又平面，平面平面.……6分（2）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC所在直線為軸、軸，過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.取中點(diǎn)，連接PE，，.由（1）可知平面，平面，……7分又，平面，平面，故平面……8分，，D為的中點(diǎn)，.又，E為的中點(diǎn)，.則，，，，，，所以，，，……9分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以.……11分設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以.……13分設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以.所以，平面與平面的夾角的正弦值是.……15分18.（本小題滿分17分）解：（1）由題意可得……3分解得，，……5分所以雙曲線的方程為.……6分（2）證明：設(shè)直線，點(diǎn)，，則.聯(lián)立，得，……9分，……11分，，則，……13分，，……16分所以.……17分19.（本小題滿分17分）解：（1）因?yàn)?，所以，，…?分所以切線斜率為，……4分所以函數(shù)的在處的切線方程為，即；……5分（2）要證，只需要證明，其中，設(shè)，，……6分設(shè)，……7分因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為減函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減……8分因?yàn)?，，所以，，使得，?dāng).時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在