2024北京廣渠門(mén)中學(xué)高二9月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京廣渠門(mén)中學(xué)高二9月月考數(shù)學(xué)一、選擇題(每小題4分，共40分)1．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，﹣2），（1，2），則下列不在直線l上的點(diǎn)是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（2，1）2．直線ax+by+c＝0同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則a，b，c應(yīng)滿足（）A．a(chǎn)b＞0，bc＜0 B．a(chǎn)b＜0，bc＞0 C．a(chǎn)b＞0，bc＞0 D．a(chǎn)b＜0，bc＜03．已知＝（2，1，﹣3），＝（﹣1，2，3），＝（7，6，λ），若，，共面，則λ等于（）A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．94．若關(guān)于x，y的方程組（a∈R）無(wú)解，則a＝（）A．2 B． C．1 D．5．如圖底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD，EC＝2PE，若，則x+y+z＝（）A．1 B．2 C． D．6．“m＝2”是“直線l1：（m﹣3）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m﹣1）y﹣2＝0互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設(shè)直線l的方程為x﹣ysinθ﹣2＝0，則直線l的傾斜角α的范圍是（）A．[0，π] B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2＝0的距離．當(dāng)θ、m變化時(shí)，d的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，三棱錐A﹣BCD中，AB＝BC＝AC＝DB＝DC，且平面ABC與底面BCD垂直，E為BC中點(diǎn)，EF∥AD，則平面ADB與平面ABF夾角的余弦值為（）A． B． C． D．10．“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時(shí)常用的幾何體實(shí)物模型，圖①是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素描作品．“十字貫穿體”是由兩個(gè)完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個(gè)四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個(gè)四棱柱分別有兩條相對(duì)的側(cè)棱交于兩點(diǎn)，另外兩條相對(duì)的側(cè)棱交于一點(diǎn)（該點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)）．若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”有兩個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，在其直觀圖中建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系，則（）A． B．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，2，2） C．O，E，F(xiàn)，A四點(diǎn)共面 D．直線CE與直線DG所成角的余弦值為二、填空題(每小題5分，共30分)11．（5分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣4，2，x），且∥，則x＝．12．（5分）過(guò)點(diǎn)（﹣1，3）且平行于直線x﹣2y+3的直線方程為．13．（5分）若，，則以為鄰邊的平行四邊形面積為．14．（5分）已知A（2，1，3），B（2，﹣2，6），C（3，3，6），則向量在上的投影向量坐標(biāo)為．15．（5分）若直線l：+＝1（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），則直線l在x軸和y軸的截距之和的最小值是．16．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，點(diǎn)P滿足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，則下列說(shuō)法中，正確的有.（請(qǐng)?zhí)钊胨姓_說(shuō)法的序號(hào)）①當(dāng)λ＝1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值；②當(dāng)μ＝1時(shí)，三棱錐P﹣A1BC的體積為定值；③當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P⊥BP；④當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P．三、解答題（共50分）17．（12分）已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A（2，4），B（7，﹣1），C（﹣6，1）．（Ⅰ）求BC邊的中線AD所在直線的方程；（Ⅱ）求BC邊的垂直平分線DE的方程．18．（12分）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°．（Ⅰ）求BD1的長(zhǎng)；（Ⅱ）求A1到直線BC的距離；（Ⅲ）動(dòng)點(diǎn)P在線段CD1上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．19．（12分）如圖，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)．在五棱錐P﹣ABCDE中，F(xiàn)為棱PE上一點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H．（Ⅰ）求證：AB∥FG；（Ⅱ）若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，直線BC與平面ABF所成角為．（i）確定點(diǎn)F的位置，并說(shuō)明理由；（ii）求線段PH的長(zhǎng)．20．（14分）設(shè)正整數(shù)n≥3，集合A＝{a|a＝（x1，x2，…，xn），xk∈R，k＝1，2，…，n}，對(duì)應(yīng)集合A中的任意元素a＝（x1，x2，...xn）和b＝（y1，y2，...yn），及實(shí)數(shù)λ，定義：當(dāng)且僅當(dāng)xk＝y(tǒng)k（k＝1，2，…，n）時(shí)a＝b；a+b＝（x1+y1，x2+y2，...xn+yn）；λa＝（λx1，λx2，...λxn）．若A的子集B＝{a1，a2，a3}滿足：當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝λ3＝0時(shí)，λ1a1+λ2a2+λ3a3＝（0，0，…，0），則稱B為A的完美子集．（Ⅰ）當(dāng)n＝3時(shí)，已知集合B1＝{（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}，B2＝{（1，2，3），（2，3，4），（4，5，6）}，分別判斷這兩個(gè)集合是否為A的完美子集，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）當(dāng)n＝3時(shí)，已知集合B＝{（2m，m，m﹣1），（m，2m，m﹣1），（m，m﹣1，2m）}．若B不是A的完美子集，求m的值；（Ⅲ）已知集合B＝{a1，a2，a3}?A，其中ai＝（xi1，xi2，...xin）（i＝1，2，3）．若2|xii|＞|x1i|+|x2i|+|x3i|對(duì)任意i＝1，2，3都成立，判斷B是否一定為A的完美子集．若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)給出反例．

參考答案一、選擇題(每小題4分，共40分)1．【答案】D【解答】解：由直線的兩點(diǎn)式方程，得直線l的方程為，即x﹣y+1＝0，將各個(gè)選項(xiàng)中的坐標(biāo)代入直線方程，可知點(diǎn)（﹣2，﹣1），（﹣1，0），（0，1）都在直線l上，點(diǎn)（2，1）不在直線l上．故選：D．2．【答案】A【解答】解：由于直線ax+by+c＝0同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，故斜率小于0，在y軸上的截距大于0，故，故ab＞0，bc＜0，故選：A．3．【答案】C【解答】解：＝（2，1，﹣3），＝（﹣1，2，3），＝（7，6，λ），∵，，共面，∴設(shè)＝m，則（2，1，﹣3）＝（﹣m+7n，2m+6n，3m+λn），∴，解得m＝﹣，n＝，解得λ＝﹣9．故選：C．4．【答案】C【解答】解：∵關(guān)于x，y的方程組（a∈R）無(wú)解，∴直線4x+2y+1＝0與直線2x+ay+1＝0平行，∴，解得a＝1．故選：C．5．【答案】A【解答】解：由題意，＝++＝﹣++＝＝，又因?yàn)椋詘＝1，，，所以x+y+z＝1．故選：A．6．【答案】A【解答】解：由題意兩條直線垂直時(shí)，則m（m﹣3）+m（m﹣1）＝0，即2m2﹣4m＝0，解得m＝0或m＝2，所以“m＝2”是“直線l1：（m﹣3）x+my+1＝0與直線l2：mx+（m﹣1）y﹣2＝0互相垂直”的充分不必要條件．故選：A．7．【答案】C【解答】解：當(dāng)sinθ＝0時(shí)，則直線的斜率不存在，這時(shí)直線的傾斜角為，當(dāng)sinθ≠0時(shí)，則直線的斜率k＝，當(dāng)0＜sinθ≤1時(shí)，則k∈[1，+∞），這時(shí)直線的傾斜角為[，），當(dāng)﹣1≤sinθ＜0，則k∈（﹣∞，﹣1]，這時(shí)直線的傾斜角為（，]，綜上所述：直線的傾斜角的范圍為[，]．故選：C．8．【答案】C【解答】解：由題意d＝＝，∴當(dāng)sin（θ﹣α）＝﹣1時(shí)，dmax＝1+≤3．∴d的最大值為3．故選：C．9．【答案】B【解答】解：如圖，連接AE，DE，因?yàn)锳B＝BC＝AC＝DB＝DC，E為BC中點(diǎn)，所以AE⊥BC，DE⊥BC，又平面ABC⊥底面BCD，平面ABC∩底面BCD＝BC，AE?平面ABC，所以AE⊥平面BCD，故ED，EB，EA兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，由EF∥AD，可得，，B（0，1，0），，則，，，設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為，則有，令x＝1，得，z＝1，則，設(shè)平面ABF的一個(gè)法向量為，則有，令c＝1，得a＝0，b＝，得，則，則平面ADB與平面ABF夾角的余弦值為．故選：B．10．【答案】C【解答】解：由題意正方形ABCD的對(duì)角線，則，，則，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，則，，，所以，又O為三個(gè)向量的公共起點(diǎn)，所以O(shè)，E，F(xiàn)，A四點(diǎn)共面，故C正確；由，得，則，，則，所以直線CE與直線DG所成角的余弦值為，故D錯(cuò)誤．故選：C．二、填空題(每小題5分，共30分)11．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：因?yàn)椋遥源嬖趯?shí)數(shù)λ使得即解得x＝﹣6．故答案為﹣6．12．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)要求的直線方程為：x﹣2y+m＝0，把點(diǎn)（﹣1，3）代入上述方程可得：﹣1﹣2×3+m＝0，解得m＝7．∴要求的直線方程為：x﹣2y+7＝0，故答案為：x﹣2y+7＝0．13．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)向量的夾角為θ，∵，，∴cosθ＝＝＝﹣，由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得sinθ＝＝，∴以為鄰邊的平行四邊形面積為S＝?sinθ＝××＝6，故答案為：6．14．【答案】（0，﹣，）．【解答】解：因?yàn)锳（2，1，3），B（2，﹣2，6），C（3，3，6），所以＝（1，2，3），＝（0，﹣3，3），所以?＝﹣6+9＝3，所以向量在上的投影向量坐標(biāo)為?＝?＝（0，﹣，）．故答案為：（0，﹣，）．15．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵直線l：（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）∴＝1，∴a+b＝（a+b）（）＝3+≥3+2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時(shí)上式等號(hào)成立．∴直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為3+2．故答案為：3+2．16．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得：，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，所以P為正方形BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)，①當(dāng)λ＝1時(shí)，，即＝，μ∈[0，1]，所以P在線段CC1上，所以△AB1P周長(zhǎng)為AB1+AP+B1P，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在P1，P2處時(shí)，B1P1+AP1≠B1P2+AP2，故①錯(cuò)誤；②如圖2，當(dāng)μ＝1時(shí)，即＝λ+，即，λ∈[0，1]，所以P在B1C1上，VP﹣A1BC＝S△A1BC?h，因?yàn)锽1C1∥BC，B1C1?平面A1BC?，BC?平面A1BC，所以點(diǎn)P到平面A1BC距離不變，即h不變，故②正確；③當(dāng)λ＝時(shí)，即＝+，如圖3，M為B1C1中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，P是MN上一動(dòng)點(diǎn)，易知當(dāng)μ＝0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點(diǎn)，所以AN⊥BC，又AA1⊥BC，AA1∩AN＝A，所以BN⊥平面ANMA1，因?yàn)锳1P?平面ANMA1，則BP⊥A1P，當(dāng)μ＝1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，可證明出A1M⊥平面BCC1B1，而B(niǎo)M?平面BCC1B1，則A1M⊥BM，即A1P⊥BP，故③錯(cuò)誤；④，當(dāng)μ＝時(shí)，即＝+，如圖4所示，D為BB1的中點(diǎn)，E為CC1的中點(diǎn)，則P為DE上一動(dòng)點(diǎn)，易知A1B⊥AB1，若A1B⊥平面AB1P，只需A1B⊥B1P即可，取B1C1的中點(diǎn)F，連接A1F，BF，又因?yàn)锳1F⊥平面BCC1B1，所以A1F⊥PB1，若A1B⊥PB1，只需B1P⊥平面A1FB，即B1P⊥FB即可，如圖5，易知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，B1P⊥FB故只有一個(gè)點(diǎn)P符合要求，使得A1B⊥平面AB1P，故④正確．故答案為：②④．三、解答題（共50分）17．【答案】（Ⅰ）8x﹣3y﹣4＝0；（Ⅱ）26x﹣4y﹣13＝0．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x0，y0），則x0＝＝，y0＝＝0，∵BC邊的中線AD過(guò)點(diǎn)A（2，4），D（，0）兩點(diǎn)，∴AD所在直線方程為y﹣0＝（x﹣），即8x﹣3y﹣4＝0；（Ⅱ）∵BC的斜率k＝＝﹣，∴BC的垂直平分線DE的斜率k1＝，∴直線DE的方程為y﹣0＝（x﹣），即26x﹣4y﹣13＝0．18．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2；（Ⅲ）﹣．【解答】解：（Ⅰ）AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，因?yàn)椋?+＝﹣++，所以||＝＝而?＝||?|cos60°＝2×1×＝1，?＝||?|cos60°＝2×2×＝2，?＝||?|cos60°＝1×2×＝1，所以||＝＝，即BD1的長(zhǎng)度為；（Ⅱ）因?yàn)锳D＝AA1cos60°＝2×＝1，所以A1D⊥AD，AD∥BC，所以A1D⊥BC，在△ABD中，BD＝＝＝，所以AD2+BD2＝AB2，即BD⊥BC，又因?yàn)锳1D∩BD＝D，所以BC⊥平面A1BD，而A1B?平面A1BD，所以A1B⊥BC，即A1B為A1到直線BC的距離，而AA1＝AB＝2，∠A1AB＝60°，所以三角形AA1B為等邊三角形，即A1B＝2，即A1到直線BC的距離為2；（Ⅲ）設(shè)＝λ，則?＝＝＝＝[（λ﹣1）﹣λ﹣]?λ（﹣）＝λ[（λ﹣1）2﹣（λ﹣1）?﹣λ?+λ2﹣?+?]＝λ[（λ﹣1）×22﹣（2λ﹣1）||?||cos60°+λ×22﹣||?||cos60°+||?||cos60°]＝λ[4（λ﹣1）﹣（2λ﹣1）×2×2×+4λ﹣1×2×+1×2×]＝4λ2﹣2λ＝4（λ﹣）2﹣，當(dāng)λ＝時(shí)，這時(shí)的最小值為．19．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解答；（Ⅱ）（i）F為PE中點(diǎn)；（ii）2．【解答】（Ⅰ）證明：在正方形AMDE中，AB∥DE，又AB?平面PDE，DE?平面PDE，所以AB∥平面PDE，又AB?平面ABFG，平面ABFG∩平面PDE＝FG，則AB∥FG；（Ⅱ）解：（i）當(dāng)F為PE中點(diǎn)時(shí)，有直線BC與平面ABF所成角為，證明如下：由PA⊥平面ABCDE，可得PA⊥AB，PA⊥AE，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，如圖所示：則A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），又F為PE中點(diǎn)，則F（0，1，1），，，，設(shè)平面ABF的一個(gè)法向量為，則有，即，令z＝1，則y＝﹣1，則平面ABF的一個(gè)法向量為，設(shè)直線BC與平面ABF所成角為α，則＝＝，故當(dāng)F為PE中點(diǎn)時(shí)，直線BC與平面ABF所成角的大小為．（ii）設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（u，v，w），因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上，所以可設(shè)（0＜λ＜1），即（u，v，w﹣2）＝λ（2，1，﹣2），所以u(píng)＝2λ，v＝λ，w＝2﹣2λ，因?yàn)槭瞧矫鍭BFGH的法向量，所以，即（0，﹣1，1）?（2λ，λ，2﹣2λ）＝0，解得，故H，則，所以．20．【答案】（Ⅰ）B1是A的