01-02極限的概念章節(jié)課件

1.2極限的概念第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

基礎(chǔ)教學(xué)部數(shù)列極限的概念01函數(shù)極限的概念02目錄1.2.1數(shù)列的極限3為了求圓的面積，可以先作圓的內(nèi)接正四邊形并用此四邊形面積來作為圓面積的第一次近似．進(jìn)一步可作圓的內(nèi)接正八邊形，并記內(nèi)接正八邊形的面積為，作為圓面積的第二次近似．照此下去，可作圓的一系列內(nèi)接正邊形，依次可得相應(yīng)的面積為，，…，，…，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加時(shí)，其相應(yīng)的面積與圓的面積就越來越近，當(dāng)無限增大時(shí)，圓內(nèi)接正多邊形的面積就無限接近于圓面積．也即當(dāng)無限增大時(shí)，圓內(nèi)接正邊形面積也不斷增大，且在向某個(gè)定數(shù)（圓的面積）不斷接近．若將這一定數(shù)稱為的極限，則可以說：圓內(nèi)接正邊形面積的極限就是圓的面積．1.2.1數(shù)列的極限4一、數(shù)列定義1按一定順序排列起來的無窮多個(gè)數(shù)稱為無窮數(shù)列．記作，通常稱為數(shù)列的第一項(xiàng)，為第2項(xiàng)，…，為第項(xiàng)…．一般地，將數(shù)列的第項(xiàng)稱為通項(xiàng)（或一般項(xiàng)）．例如數(shù)列：1.2.1數(shù)列的極限5二、數(shù)列的極限考察數(shù)列：當(dāng)無限增大時(shí)，趨向于確定的常數(shù)1，或者說數(shù)列收斂于1，并稱1為該數(shù)列的極限．1.2.1數(shù)列的極限6二、數(shù)列的極限定義2如果當(dāng)無限增大時(shí)（記為），無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，我們就稱是數(shù)列

的極限，或稱趨于，記為當(dāng)時(shí)，如果不趨向于一個(gè)確定的常數(shù)，我們就說數(shù)列沒有極限．通常稱存在極限的數(shù)列為收斂數(shù)列，而不存在極限的數(shù)列為發(fā)散數(shù)列．1.2.1數(shù)列的極限7二、數(shù)列的極限例1討論數(shù)列、的極限．解當(dāng)時(shí)，數(shù)列由的兩側(cè)無限接近于1，因而該數(shù)列的極限為1，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列在

與

兩點(diǎn)來回跳動(dòng)，不接近于任何確定的常數(shù)，故數(shù)列為發(fā)散數(shù)列．?dāng)?shù)列極限的概念01函數(shù)極限的概念02目錄1.2.2函數(shù)的極限9極限的一種特殊類型．?dāng)?shù)列可以看作自變量取正整數(shù)的函數(shù)，數(shù)列的極限是函數(shù)（1）當(dāng)自變量的絕對(duì)值無限增大（記作）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的變化情形．（2）當(dāng)自變量無限接近（記作）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的變化情形．下面討論一般函數(shù)的極限．主要研究?jī)煞N情形：一確定的常數(shù)，就稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)以為極限．這樣一個(gè)變化過程中，函數(shù)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)；若無限接近某1.2.2函數(shù)的極限10一、時(shí)函數(shù)的極限若取正值且無限增大，記作，讀作“趨于正無窮大”；若取負(fù)值且其絕對(duì)值無限增大，記作，讀作“趨于負(fù)無窮大”；若既能取正值又能取負(fù)值且其絕對(duì)值無限增大，記作，讀作“趨于無窮大”；所謂“當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限”，就是討論當(dāng)自變量趨于無窮大1.2.2函數(shù)的極限11一、時(shí)函數(shù)的極限定義3一般地，設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作例如：當(dāng)時(shí)，，記作；當(dāng)時(shí)，，記作；當(dāng)時(shí)，，記作．1.2.2函數(shù)的極限12一、時(shí)函數(shù)的極限定義4一般地，設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作例如：當(dāng)時(shí)，，記作；當(dāng)時(shí)，，記作；當(dāng)時(shí)，，記作．1.2.2函數(shù)的極限13一、時(shí)函數(shù)的極限定義5一般地，設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作定理1的充要條件是．1.2.2函數(shù)的極限14二、時(shí)函數(shù)的極限例2設(shè)，試討論當(dāng)時(shí)函數(shù)的變化情況．x00.90.990.9990.99990.999990.999999…f（x）11.91.991.9991.99991.999991.999999…x21.11.011.0011.00011.000011.000001…f（x）32.12.012.0012.00012.000012.000001…當(dāng)越來越接近1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值越來越接近2．容易想到，當(dāng)無限接近于1時(shí)，函數(shù)的相應(yīng)的函數(shù)值將無限地接近于2．1.2.2函數(shù)的極限15二、時(shí)函數(shù)的極限例2設(shè)，試討論當(dāng)時(shí)函數(shù)的變化情況．曲線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)其此種情況，就稱當(dāng)時(shí)，函數(shù)以橫坐標(biāo)無限接近1時(shí)，即時(shí)，點(diǎn)將向定點(diǎn)無限接近，即．2為極限，并記作1.2.2函數(shù)的極限16二、時(shí)函數(shù)的極限例3設(shè)，試討論當(dāng)時(shí)函數(shù)的變化情況．函數(shù)中，，但是，當(dāng)時(shí)，也趨向于2，即函數(shù)當(dāng)時(shí)以2為極限，記作．1.2.2函數(shù)的極限17二、時(shí)函數(shù)的極限若，且趨于，記作；若，且趨于，記作．若和同時(shí)發(fā)生，則記作．定義7若當(dāng)時(shí)，函數(shù)趨于常數(shù)，則稱函數(shù)以為左極限，記作定義8若當(dāng)時(shí)，函數(shù)趨于常數(shù)，則稱函數(shù)以為右極限，記作函數(shù)在點(diǎn)的左極限和右極限也分別記作和．左極限和右極限統(tǒng)稱單側(cè)極限．1.2.2函數(shù)的極限18二、時(shí)函數(shù)的極限定義6設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作定理2的充要條件是．1.2.2函數(shù)的極限19二、時(shí)函數(shù)的極限解因?yàn)榧丛邳c(diǎn)的左右極限存在但不相等，因此

不存在．例3考察分段函數(shù)：在點(diǎn)處的極限.1.2.2函數(shù)的極限20二、時(shí)函數(shù)的極限不管數(shù)列還是函數(shù)，都是變量．因此對(duì)于求極限的方式包括，，，，，，等，都是對(duì)變量求極限．所以，以上學(xué)習(xí)的各種極限的定義可以統(tǒng)一于下面的定義之中：在自變量（可以是或）某一變化過程中，如果變量（可以是數(shù)列或函數(shù)）無限地接近于某個(gè)確定的常數(shù)，就稱變量以為極限，記為1.2.2函數(shù)的極限21三、函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的唯一性如果存在，則極限是唯一的．函數(shù)極限的局部有界性如果