專題14函數的應用（一）（預備知識）

專題14函數的應用（一）1、會利用已知函數模型解決實際問題（一次函數、二次函數、分段函數模型）2、能建立函數模型解決實際問題3、運用函數思想理解和處理現實生活和社會中的簡單問題知識點一：常見幾類函數模型函數模型函數解析式一次函數模型二次函數模型分段函數模型冪函數模型知識點二：對鉤函數（耐克函數）對點集訓一：一次函數模型典型例題【知識點】分段函數模型的應用月份1月2月零售價（元）60006500月銷售量（臺）6055(1)若廠家某月將該按摩椅定價為6700元/臺，則該廠家這個月能銷售多少臺按摩椅？(2)若廠家生產一臺按摩椅的成本為4000元，則該廠家應該如何定價才能使廠家每月利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)53臺(2)當該按摩椅定價為8000元/臺時，月利潤最大，最大利潤為元【知識點】求二次函數的值域或最值、建立擬合函數模型解決實際問題、利用二次函數模型解決實際問題最大利潤為元．精練1．（多選）（2223高一·全國·單元測試）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數記為，關于的函數圖像如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達到預期，相關人員提出了兩種調整方案，圖（2）、圖（3）中的實線分別為調整后關于的函數圖像．給出下列四種說法，其中正確的說法是（

）A．圖（2）對應的方案是：提高票價，并提高固定成本B．圖（2）對應的方案是：保持票價不變，并降低固定成本C．圖（3）對應的方案是：提高票價，并保持固定成本不變D．圖（3）對應的方案是：提高票價，并降低固定成本【答案】BC【知識點】函數圖象的應用由圖（2）知，直線向上平移，不變，即票價不變，變大，則變小，固定成本減小，故A錯誤，B正確；由圖（3）知，直線與軸的交點不變，直線斜率變大，即變大，票價提高，不變，即不變，固定成本不變，故C正確，D錯誤；故選：BC．2．（2324高一·上?！ふn堂例題）某物流公司在上海及杭州的倉庫分別有某機器12臺和6臺，現決定銷售給A市10臺、B市8臺．已知上海調運一臺機器到A、B市的運費分別為400元和800元；杭州調運一臺機器到A、B市的運費分別為300元和500元．設從上海調運x臺機器往A市，求總運費y（單位：元）關于x（單位：臺）的函數關系．【知識點】建立擬合函數模型解決實際問題對點集訓二：二次函數模型典型例題(2)當該產品的年產量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？(2)年產量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元【知識點】分式型函數模型的應用、基本（均值）不等式的應用、求二次函數的值域或最值、分段函數模型的應用最大利潤是1680萬元．(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？(2)該公司第幾年年平均利潤最大，最大是多少？【答案】(1)第3年(2)第7年平均利潤最大，為12萬元【知識點】基本（均值）不等式的應用、利用二次函數模型解決實際問題【分析】（1）先求得利潤的表達式，由此列不等式來求得正確答案.（2）先求得平均利潤的表達式，然后利用基本不等式求得正確答案.綜上，第7年，平均利潤最大，為12萬元.精練1．（2324高一上·浙江臺州·開學考試）某公司生產的某種時令商品每件成本為22元，經過市場調研發(fā)現，這種商品在未來40天內的日銷售量（件）與（天）的關系如表：時間（天）1361036日銷售量（件）9490847624(1)請利用一次函數，二次函數，反比例函數的知識，直接寫出日銷售量與時間（天）之間的關系式；(2)請預測示來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少?(2)第18天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為450元；【知識點】待定系數法、利用二次函數模型解決實際問題【分析】（1）利用待定系數法求解即可；【詳解】（1）通過表格可知m與x之間的關系為一次函數，（2）設銷售利潤為W元，∴未來40天中第18天日銷售利潤最大，最大日銷售利潤為450元；(1)寫出y與x之間的函數關系式；(2)從第幾年開始，使用該設備開始盈利?(2)第三年【知識點】利用二次函數模型解決實際問題、解不含參數的一元二次不等式【分析】（1）根據題意，即可得出函數；(2)當生產多少臺該設備時，該企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少萬元？(2)生產60臺該設備時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為820萬元．【知識點】求分段函數解析式或求函數的值、基本不等式求和的最小值、求二次函數的值域或最值、分段函數模型的應用（2）根據（1）求得的利潤函數，分段求出每段函數的最大值，比較即得最大利潤.所以該企業(yè)生產20臺該設備時，所獲利潤為400萬元．對點集訓三：分式函數模型（基本不等式工具）典型例題(2)當年產量為多少時，年利潤最大？并求出最大年利潤.【知識點】求分段函數解析式或求函數的值、求二次函數的值域或最值、基本（均值）不等式的應用、分段函數的值域或最值(2)如果你作為公司的決策人，為使公司獲得的年利潤最大，每年應生產多少萬件該芯片？(2)公司獲得的年利潤最大，每年應生產9萬件該芯片【知識點】分段函數模型的應用、基本（均值）不等式的應用（2）結合二次函數及基本不等式求出函數的最大值，即可得解.【詳解】（1）根據題意得，即為使公司獲得的年利潤最大，每年應生產萬件該芯片．精練1．（2324高一上·上海浦東新·期末）要建造一個高為3米，容積為48立方米的無蓋長方體蓄水池.已知池底的造價為每平方米1500米，池壁的造價為每平方米1000元.該蓄水池的總造價（元）關于池底一邊的長度（米）的函數關系為：.【知識點】建立擬合函數模型解決實際問題【分析】根據條件便可得到池底面積為4平方米，底面的另一邊長，從而便可得到總造價與的解析式.【詳解】根據條件，該蓄水池的總造價元，池底一邊的長度米，底面另一邊長為米,(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；(2)當年產量為多少千件時，企業(yè)所獲得年利潤最大？最大利潤是多少？(2)當年產量為千件時，年利潤最大，最大值為萬元【知識點】分段函數模型的應用、基本不等式求和的最小值、求二次函數的值域或最值【分析】（1）根據題意，分段求出年利潤即可求解；（2）對每一段函數求出最大值，再進行比較即可求解.(1)求口罩銷售利潤（萬元）關于產量（萬箱）的函數關系式；（銷售利潤銷售總價固定成本生產成本）(2)當產量為多少萬箱時，該口罩生產廠所獲得利潤最大，最大利潤值是多少（萬元）？(2)當產量為60萬箱時，該口罩生產廠所獲得利潤最大，最大利潤值是580萬元【知識點】求二次函數的值域或最值、分段函數模型的應用、基本（均值）不等式的應用綜上，當產量為60萬箱時，該口罩生產廠所獲得利潤最大，最大利潤值是580萬元．對點集訓四：分段函數模型典型例題(1)試寫出關于的函數關系，并求該函數的最大值；(2)若該顧客這次購物所享受到的優(yōu)惠超過九折，且不超過八五折，求的取值范圍.【知識點】分段函數模型的應用、方程與不等式、函數【分析】（1）根據題意列出分段函數式，根據函數單調性即可求解最值；（2）根據關于的函數關系式，得到不等式，即可求解.綜上，該函數的最大值為.(1)將利潤（單位：萬元）表示為月產量的函數；(2)為了讓公司所獲得利潤不低于10萬元，求月產量的取值范圍．【知識點】利用二次函數模型解決實際問題、分段函數模型的應用、建立擬合函數模型解決實際問題、解不含參數的一元二次不等式【詳解】（1）由題可知利潤表示總收入減去固定成本和投入成本所得，精練(1)求一年中最高月利潤及對應的月份；(2)求該飲料月利潤超過3萬元的月份.【答案】(1)第8個月的月利潤最大，為7萬元(2)第6，7，8，9，10月.【知識點】利用函數單調性求最值或值域、利用二次函數模型解決實際問題、分段函數模型的應用、解不含參數的一元二次不等式【分析】（1）對分段函數進行分段考慮，運用換元法和配方法分別求出的最大值，最后綜合比較即得；綜上，第8個月的月利潤最大，為7萬元.（2）由（1）可知前5個月中，最大月利潤為第3個月的3萬元，故超過3萬元的月份只可能在后面的7個月里，故月利潤超過3萬元的月份有第6，7，8，9，10月.2．（2324高一上·浙江嘉興·期中）我國是用水相對貧乏的國家，據統(tǒng)計，我國的人均水資源僅為世界平均水平的．因此我國在制定用水政策時明確提出“優(yōu)先滿足城鄉(xiāng)居民生活用水”，同時為了更好地提倡節(jié)約用水，對水資源使用進行合理配置，對居民自來水用水收費采用階梯收費．某市經物價部門批準，對居民生活用水收費如下：第一檔，每戶每月用水不超過立方米，則水價為每立方米元；第二檔，若每戶每月用水超過立方米，但不超過立方米，則超過部分水價為每立方米元；第三檔，若每戶每月用水超過立方米，則超過部分水價為每立方米元，同時征收其全月水費的用水調節(jié)稅．設某戶某月用水立方米，水費為元．(1)試求關于的函數；(2)若該用戶當月水費為元，試求該年度的用水量；(2)立方米(3)元【知識點】常見（一次函數、二次函數、反比例函數等）的函數值域、求分段函數解析式或求函數的值、分段函數模型的應用【詳解】（1）因為某戶該月用水立方米，（2）由題可得，當該用戶水費為元時，處于第二檔，所以該月的用水量為立方米．【知識點】求分段函數解析式或求函數的值、分段函數模型的應用、解分段函數不等式（2）解分段函數不等式，即可求出.對點集訓五：對鉤函數及其應用典型例題(1)怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸（單位：），能使整個矩形海報面積最小，并求最小值；(2)如果要求矩形欄目的寬度不小于高度的倍，那么怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸（單位：），能使整個矩形海報面積最小，并求最小值.【知識點】基本不等式求和的最小值、對勾函數求最值【詳解】（1）解：設矩形欄目的高為，寬為，（2）若公共通道DE每米造價2000元，請你做一下預算，求出該通道造價最大值和最小值及對應的x值.【知識點】三角形面積公式及其應用、對勾函數求最值、余弦定理解三角形精練(1)當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價；【答案】(1)4米，28800元【知識點】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的應用、對勾函數求最值【分析】(1)建立函數模型，利用基本不等式求最小值;(2)根據不等式的恒成立問題求參數的取值范圍.【詳解】（1）設甲工程隊的總造價為元，即當左右兩側墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為28800元.(1)求的取值范圍；(2)最大值為【知識點】對勾函數求最值、解不含參數的一元一次不等式一、單選題A．1.5min B．2min C．3min D．4min【答案】D【知識點】分段函數模型的應用所以需要等待的時間為4min．故選：D

A．

B．

C．

D．

【答案】D【知識點】函數圖像的識別、二次函數的圖象分析與判斷故選：D.A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【知識點】求二次函數的值域或最值、利用二次函數模型解決實際問題、二次函數的圖象分析與判斷【分析】利用配方法，求二次函數最大值及相應值即可.故選：A.A．當生產萬件時，當月能獲得最大總利潤萬元B．當生產萬件時，當月能獲得最大總利潤萬元C．當生產萬件時，當月能獲得單件平均利潤最大為元D．當生產萬件時，當月能獲得單件平均利潤最大為元【答案】D【知識點】利用二次函數模型解決實際問題、基本（均值）不等式的應用因此，當生產萬件時，當月能獲得最大總利潤萬元，當生產萬件時，當月能獲得單件平均利潤最大為元.故選：D.A．5小時 B．6小時 C．7小時 D．8小時【答案】C【知識點】利用給定函數模型解決實際問題、解分段函數不等式、分段函數模型的應用故選:CA．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元【答案】B【知識點】利用二次函數模型解決實際問題【分析】先建立二次函數模型，再由二次函數的性質求解【詳解】設燈具商店每月的利潤為z元，故選：BA．135 B．149C．165 D．195【答案】B【知識點】分式型函數模型的應用、基本不等式求和的最小值【分析】把給定函數變形，利用基本不等式即可得解.所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為149.故選：BA．18萬件 B．20萬件 C．16萬件 D．8萬件【答案】A【知識點】利用二次函數模型解決實際問題【分析】先求得利潤的表達式，然后結合二次函數的性質求得利潤取得最大值時對應的生產數量.故選：A【點睛】本小題主要考查二次函數模型的應用，屬于基礎題.二、多選題【答案】AC【知識點】分段函數模型的應用【分析】分別計算不同選項兩個商場的優(yōu)惠判斷即可.所以選項A正確；所以乙商場費用低，故在乙商場購物，故選項D錯誤.故選：AC10．（多選）一水池有兩個進水口，一個出水口，每個水口的進、出水量與時間的關系如圖①②.某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖③.則下列說法中一定正確的有（

）A．0點到3點只進水不出水 B．3點到4點不進水只出水C．3點到4點總蓄水量降低 D．4點到6點不進水不出水【答案】AC【知識點】函數圖象的應用【分析】結合函數圖象分析得進水速度是出水速度的，從而分段分析第3個圖形的進水與出水情況，從而得解.【詳解】由①②兩圖知，進水速度是出水速度的，所以由圖③可知，0點到3點不出水，A正確；3點到4點一個進水口進水，一個出水口出水，總蓄水量降低，B錯誤，C正確；4點到6點也可能兩個進水口進水，一個出水口出水，D錯誤.故選：AC.三、填空題【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值故答案為:.【答案】【知識點】分段函數模型的應用【分析】根據二次函數的單調性和反比例函數的單調性進行求解即可.故答案為：.四、解答題(1)設2024年該童裝生產線的利潤為W（2024年利潤=總收入生產線的成本物料及人工等成本合計），求：W的函數解析式及其定義域；(2)請問2025年生產多少萬套童裝時，使得生產線利潤最大，最大利潤為多少？(2)40萬套，520萬元【知識點】分段函數模型的應用、基本（均值）不等式的應用（2）利用二次函數的性質和基本不等式分段求最值，再進一步比較即可.綜上所述，2025年生產40萬套童裝時，使得生產線利潤最大，最大利潤為520萬元(2)當2025年游客數量為多少時，該項目所獲利潤最大？最大利潤是多少？(2)當游客量為60萬臺時，該項目年利潤最大，最大利潤為350萬元.