高等代數(shù)選講題目及答案

高等代數(shù)選講題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)可逆，則\(A\)的秩為（）A.0B.行數(shù)C.列數(shù)D.不確定2.\(n\)維向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充要條件是（）A.\(s>n\)B.有一個(gè)零向量C.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示D.向量組中任意兩個(gè)向量線性相關(guān)3.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda\)滿足（）A.\(|\lambdaE-A|=0\)B.\(|\lambdaA-E|=0\)C.\(|A-\lambdaE|=0\)D.\(|A+\lambdaE|=0\)4.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣\(A\)一定（）A.可相似對(duì)角化B.正交相似于上三角矩陣C.不可逆D.特征值全為05.若\(f(x),g(x)\)是數(shù)域\(P\)上的多項(xiàng)式，且\((f(x),g(x))=1\)，則（）A.\(f(x)g(x)=1\)B.存在\(u(x),v(x)\)使得\(u(x)f(x)+v(x)g(x)=1\)C.\(f(x)\)與\(g(x)\)次數(shù)相同D.\(f(x)\)與\(g(x)\)至少有一個(gè)是常數(shù)6.設(shè)\(V\)是\(n\)維線性空間，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(V\)的一組基，\(\beta\inV\)，則\(\beta\)在這組基下的坐標(biāo)（）A.唯一B.不唯一C.可能不存在D.有無(wú)數(shù)組7.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(A+B=0\)D.\(A\)與\(B\)都不可逆8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩陣是（）A.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)9.已知矩陣\(A\)的特征多項(xiàng)式為\(f(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2\)，則\(A\)的特征值為（）A.1,2B.-1,-2C.1,-2D.-1,210.設(shè)\(W_1,W_2\)是線性空間\(V\)的子空間，且\(W_1\subseteqW_2\)，則\(\dimW_1\)與\(\dimW_2\)的關(guān)系是（）A.\(\dimW_1>\dimW_2\)B.\(\dimW_1=\dimW_2\)C.\(\dimW_1<\dimW_2\)D.\(\dimW_1\leqslant\dimW_2\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣的說(shuō)法正確的是（）A.可逆矩陣一定滿秩B.對(duì)稱(chēng)矩陣的轉(zhuǎn)置等于它本身C.兩個(gè)可逆矩陣的乘積仍可逆D.矩陣的秩等于它的非零子式的最高階數(shù)2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無(wú)關(guān)的充分條件有（）A.向量組中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示B.向量組的秩等于向量個(gè)數(shù)\(s\)C.向量組的極大線性無(wú)關(guān)組就是其本身D.向量組中不含零向量3.關(guān)于矩陣的特征值與特征向量，下列說(shuō)法正確的是（）A.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)B.一個(gè)特征值可以對(duì)應(yīng)多個(gè)特征向量C.矩陣的屬于同一特征值的特征向量的線性組合仍是該特征值的特征向量D.特征值為\(0\)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量一定是零向量4.下列屬于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣性質(zhì)的有（）A.特征值全為實(shí)數(shù)B.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交C.一定正交相似于對(duì)角矩陣D.特征向量一定是單位向量5.設(shè)\(f(x),g(x),h(x)\)是數(shù)域\(P\)上的多項(xiàng)式，以下說(shuō)法正確的是（）A.若\(f(x)\midg(x)h(x)\)，則\(f(x)\midg(x)\)或\(f(x)\midh(x)\)B.若\((f(x),g(x))=1\)且\(f(x)\midg(x)h(x)\)，則\(f(x)\midh(x)\)C.若\(f(x)\midg(x)\)且\(g(x)\midf(x)\)，則\(f(x)=kg(x)\)，\(k\inP,k\neq0\)D.\((f(x),g(x))=(g(x),f(x))\)6.在線性空間\(V\)中，設(shè)\(\alpha,\beta,\gamma\inV\)，\(k,l\inP\)，則下列運(yùn)算律正確的是（）A.\(\alpha+\beta=\beta+\alpha\)B.\(k(l\alpha)=(kl)\alpha\)C.\(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta\)D.\(\alpha+0=\alpha\)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，以下哪些條件等價(jià)于\(A\)可逆（）A.\(|A|\neq0\)B.\(A\)的列向量組線性無(wú)關(guān)C.\(A\)的行向量組線性無(wú)關(guān)D.存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)8.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為對(duì)稱(chēng)矩陣）正定的充要條件有（）A.\(A\)的所有順序主子式都大于\(0\)B.\(A\)的特征值全大于\(0\)C.對(duì)任意非零向量\(X\)，都有\(zhòng)(f(X)>0\)D.\(A\)合同于單位矩陣9.設(shè)\(W_1,W_2\)是線性空間\(V\)的子空間，則（）A.\(W_1\capW_2\)是\(V\)的子空間B.\(W_1+W_2\)是\(V\)的子空間C.\(\dim(W_1+W_2)=\dimW_1+\dimW_2\)D.\(\dim(W_1\capW_2)+\dim(W_1+W_2)=\dimW_1+\dimW_2\)10.關(guān)于多項(xiàng)式的最大公因式，下列說(shuō)法正確的是（）A.兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式不唯一B.兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式一定存在C.若\(d(x)\)是\(f(x),g(x)\)的最大公因式，則\(d(x)\)能整除\(f(x)\)和\(g(x)\)D.兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因式是\(0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)的行列式\(|A|=0\)，則\(A\)的列向量組一定線性相關(guān)。（）2.線性空間中不同基下向量的坐標(biāo)是相同的。（）3.若\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對(duì)應(yīng)的特征向量，則\(A\xi=\lambda\xi\)。（）4.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定是正定矩陣。（）5.兩個(gè)多項(xiàng)式的和的次數(shù)等于這兩個(gè)多項(xiàng)式次數(shù)的和。（）6.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)，則存在一組全不為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)。（）7.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+x_3^2\)是正定二次型。（）9.數(shù)域\(P\)上的\(n\)維線性空間\(V\)中任意\(n+1\)個(gè)向量一定線性相關(guān)。（）10.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。答：矩陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)；或\(A\)滿秩；或\(A\)的列（行）向量組線性無(wú)關(guān)；或存在矩陣\(B\)使得\(AB=BA=E\)。2.如何判斷向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)是否線性相關(guān)？答：可通過(guò)計(jì)算向量組的秩，若秩小于向量個(gè)數(shù)\(s\)則線性相關(guān)；或看是否存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，若存在則線性相關(guān)。3.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似對(duì)角化的步驟是什么？答：先求矩陣\(A\)的特征值，再對(duì)每個(gè)特征值求對(duì)應(yīng)的特征向量，將重特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交化、單位化，最后以這些單位正交特征向量為列構(gòu)成正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對(duì)角矩陣。4.簡(jiǎn)述多項(xiàng)式的帶余除法。答：設(shè)\(f(x),g(x)\)是數(shù)域\(P\)上的多項(xiàng)式，且\(g(x)\neq0\)，則存在唯一的多項(xiàng)式\(q(x)\)和\(r(x)\)，使得\(f(x)=q(x)g(x)+r(x)\)，其中\(zhòng)(\deg(r(x))<\deg(g(x))\)或\(r(x)=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的相似與合同的關(guān)系。答：相似矩陣具有相同的特征值等性質(zhì)，合同矩陣具有相同的秩和正慣性指數(shù)。相似矩陣不一定合同，合同矩陣不一定相似，但實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣相似必合同，合同不一定相似。相似變換用可逆矩陣\(P\)，合同變換用可逆矩陣\(C\)，二者有不同應(yīng)用場(chǎng)景。2.在線性空間中，子空間的交與和有什么重要意義？答：子空間的交是同時(shí)屬于多個(gè)子空間的向量構(gòu)成的子空間，體現(xiàn)了子空間間的公共部分。子空間的和是由兩個(gè)子空間向量的線性組合構(gòu)成的子空間，拓展了空間范圍。它們?cè)谘芯烤€性空間結(jié)構(gòu)、向量的表示等方面有重要作用，且滿足維數(shù)公式。3.如何根據(jù)二次型的矩陣判斷二次型的正定性？答：可通過(guò)二次型矩陣\(A\)的順序主子式全大于\(0\)來(lái)判斷正定；或看\(A\)的特征值全大于\(0\)。若順序主子式有小于等于\(0\)的，則非正定；若特征值有非正的，也非正定。正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣在優(yōu)化等問(wèn)題中有重要應(yīng)用。4.結(jié)合多項(xiàng)式理論，談?wù)勔蚴椒纸獾奈ㄒ恍栽诟叩却鷶?shù)中的作用。答：多項(xiàng)式因式分解唯一性保證了多項(xiàng)式分解結(jié)果的確定性。在研究多項(xiàng)式整除、最大公因式等問(wèn)題時(shí)提供基礎(chǔ)，便于對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行分類(lèi)和性質(zhì)研究。例如在解多項(xiàng)式方程、判斷多項(xiàng)式相等關(guān)系等方面都依賴(lài)因式分解唯一