高中數(shù)學(xué)函數(shù)專題(文科)

專題1函數(shù)(文科)

一、考點(diǎn)回顧

1.理解函數(shù)的概念，/解映射的概念.

2.了解函數(shù)的單調(diào)性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性的方法.

3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).

4.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的概念，掌握有理指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

5.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

6.能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

二、經(jīng)典例題剖析

考點(diǎn)一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象

函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.在復(fù)習(xí)中要肯丁在對(duì)定義的深入理解上下

功夫.

復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證

明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化.

具體要求是：

I.正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟

練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.

2.從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對(duì)■函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)求函

數(shù)最大值和最小值的常用方法.

3.培養(yǎng)學(xué)牛用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題.樨高學(xué)牛用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能

力.

這部分內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解.

函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論.函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函

數(shù)值的變化趨勢(shì)，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是

對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制.

對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任

意一個(gè)x,都有f(—x)=f(x),f(—x)=—f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.這是函數(shù)具備奇偶性的

必要條件.稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x,都有f(x

+a)=f(a—x)成立.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映.

這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用.根據(jù)已知條件，調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q

問迤，是對(duì)學(xué)生能力的較高要求.

函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，函數(shù)的性質(zhì)可以通過函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來。

因此，掌握函數(shù)的圖像是學(xué)好函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，這也正是“數(shù)形結(jié)合思想”的體現(xiàn)。復(fù)習(xí)函數(shù)圖像要注意

以下方面。

i.掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法一一描點(diǎn)法和圖象變換法.

2.會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題.

3.用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題.

4.掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力.

以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節(jié)的重點(diǎn).

運(yùn)!IJ描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線.要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰

當(dāng)處.這就要求對(duì)所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢(shì)等作一個(gè)大概的研究.而這個(gè)研究要借助

于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn).用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的

圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換.這也是個(gè)難點(diǎn).

例I設(shè)a>0,求函數(shù)(x￡(0,—8))的單調(diào)區(qū)間.

分析：欲求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則須解不等式(遞增)及(遞減)。

———(x>0)

解：2Txx+a

當(dāng)a>0,x>0時(shí)

f((x)>0(x2+(2a-4)x+a2>0,

f((x)<0(x2+(2a—4)x+a2<0.

(i)當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)所有x>0,有

x2+(2a-4)x+a2>0,

即f((x)>0,此時(shí)f(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

(ii)當(dāng)a=l時(shí)，對(duì)xWl,有

x2+(2a—4)x+a2>0,

BPf((x)>0,此時(shí)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

又知函數(shù)f(x)在x=l處連續(xù)，因此，函數(shù)f(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

(iii)當(dāng)OVaVI時(shí)令f((x)>(),即

x24-(2a-4)x+a2>0,

解得，或.

因比，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增.

令f((x)VO,即x2+(2a-4)x+a2<0,

解得

2-a-2J1-〃<x<2-a+2\1-a

因比，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

點(diǎn)評(píng)：本小潁主要考杏導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研窮函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力.

例2已知，函數(shù)。設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。

(I)求’的方程；

(II)設(shè)與軸交點(diǎn)為。證明：

0<x2W—

①a；

②若，則

(I)分析：欲求切線1的方程，則須求出它的斜率，根據(jù)切線斜率的幾何意義便不難發(fā)現(xiàn)，問題歸結(jié)為求

曲線在點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值。

解：求的導(dǎo)數(shù)：，由此得切線的方程：

1一町I

y-(-----L)=一一)

X]X

0

(H)分析：①要求的變化范圍，則須找到使產(chǎn)生變化的原因，顯然，變化的根本原因可歸結(jié)為的變

化.因此，找到與的等量關(guān)系式，就成；②欲比較與的大小關(guān)系，判斷它們的差的符號(hào)即可。

證：依題意，切線方程中令y=0,

2

A:2=Xi(1-OTj)+(2-ax1),其中0<司<一

a

()v%v—,工2=X(2-町)，有&>及&=一。3-與+—

①由a--aa

工工,當(dāng)且僅為1時(shí)，^=—

aa-a

當(dāng)時(shí)，axi<b因此，JC,=X](2—ax])>不且由①，々v—

②a-a

所班<x2<—

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的方法，考杳不等式的基本性質(zhì)，以及分析和解決問題的能力。

解析一：該題考查對(duì)f(x)=圖象以及對(duì)坐標(biāo)平移公式的理解、將函數(shù)丫=的圖形變形到y(tǒng)=，即向右

平移一個(gè)單位，再變形到y(tǒng)=-即將前面圖形沿x軸翻轉(zhuǎn)，再變形到y(tǒng)=一+1,從而得到答案B.

解析二：可利用特殊值法，取x=0,此時(shí)y=l,取x=2,此時(shí)y=0.因此選B.

答案：B

點(diǎn)評(píng)：1.選擇題要注意利用特值排除法、估值排除法等。

2.處理函數(shù)圖像的平移變換及伸縮變化等問題的一般方法為：分判斷出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)模型.并用換元法將問

題復(fù)合、化歸為所確定的標(biāo)準(zhǔn)模型。

考點(diǎn)二：二次函數(shù)

二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延.作為最基本的初等函數(shù)，可以以

它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；

作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系.這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層

出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題.同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入

高校繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ).因此，從這個(gè)意義上說，有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足

為奇了.

學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征.從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推

理.這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)索養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然

結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法.

例4設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足.當(dāng)時(shí)，證明.

分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)

的表達(dá)式.

證明：由題意可知.

0cxVX]<x,<—

a

?a(x-)(x-x2)>0

???當(dāng)時(shí)，.

qf(x)-X1=a(x_Xx—)+為一=(X一工1)(《次一辦2+0

x-x}v0,fiav-ax2+1>1-ax2>0,

綜上可知，所給問題狹證.

點(diǎn)評(píng)：本題主要利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫出二次函數(shù)的零點(diǎn)式。

例,已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和.

(I)如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：；

(2)如果，，求的取值范圍.

分析：條件實(shí)際上給出了的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化.

解：設(shè)，則的二根為和.

(I)由及，可得，即，即

3+3---<0,

2a4a

'4、b3c

-4-2---+—<0,

2a4a

兩式相加得，所以，；

(2)由，可得.

又，所以同號(hào).

???，等價(jià)于或，

g(2)>0以-2)>0

<g(0)>0g(0)>0

2〃+1=Js-l)"

b<-b>-

解之得4或4.

點(diǎn)評(píng)：在處理一元二次方程根的問題時(shí)，考察該方程所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像特征的充要條件是解決問題的

關(guān)健。

考點(diǎn)三：抽象函數(shù)

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的

定義域，解析遞推式，特定點(diǎn)的函數(shù)值，特定的運(yùn)算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)

函數(shù)部分的?個(gè)銜接點(diǎn)，由于抽象函數(shù)沒有M體的解析表達(dá)式作為載體，因此理解研究起來比較困難.但由

于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，乂能考查學(xué)生的思維能力，所以備受命題者的青睞，那么，怎樣

求解抽象函數(shù)問題呢，我們可以利用特殊模型法，函數(shù)性質(zhì)法，特殊化方法，聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法，等多種方法

從多角度，多層面去分析研究抽象函數(shù)問題，

(-)函數(shù)性質(zhì)法

函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性，單調(diào)性周期性，特殊點(diǎn)等)反應(yīng)出來的，抽象函數(shù)也是如此，只有充分

挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化，化難為易，常用的解題

方法有：1,利用奇偶性整體思考2利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化;3,利用周期性回歸已知4;利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合;5,

借助特殊點(diǎn)，布列方程等.

(二)特殊化方法

I.在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一般用代換的方法，將x換成一X等

2.在求函數(shù)值時(shí)，可用特殊值代入

3.研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題，填空題，或由具體模型函數(shù)對(duì)綜合題，的解答提供思路

和方法.

總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難湊效，但我們?nèi)绻芡ㄟ^對(duì)題目的信息分析與研究，采用

特殊的方法和手段求解，往往會(huì)收到事半功倍之功效，真有些山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明乂一村的快感.

例6.設(shè)f(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，且對(duì)任意的x,y￡(0,+8),都有f(xy)=f(x)+f(y)。

(I)求證:當(dāng)x￡(1,+°°)時(shí),f(x)>0；且f()=f(x)—f(y).

(2)若t(2)=I,解不等式f(x+2)-f(2x)>2.

分析：由f(xy)=f(x)+(y),不難想到f(x)應(yīng)為對(duì)數(shù)函數(shù)形式,所以f(l)=0,由題意條件，f(x)為增函數(shù),據(jù)此

不難求解。

解:(1)令x=y=I,則由f(xy)=f(x)+f(y)得f(lXl)=f(l)+f(l).

UPf(l)=2f(l),f(l)=0,又由于函數(shù)f(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，所以對(duì)任意x￡(1,+8),有f(x)>f(l)

=0,故f(x)>0.

設(shè)x,y￡(0,+8),則有G(0,+8),于是f(x)=f(y)=f()+

f(y),即f()=f(x)-f(y).

(2)由于f(2)=l,所以f=f(2)+f(2)=f(2X2)=f(4),由f(x+2)-f(2x)>2,f(x+2)>f(2x)+f(4),f(x+2)

>f(8x),又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，所以x+2>8x,因x￡(0,+°0)

2

所以0<x<7.

考點(diǎn)四：函數(shù)的綜合應(yīng)用

函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、思想和方法綜合解決問題.函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系,

是對(duì)問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特

征,建立函數(shù)關(guān)系.因此，運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)是運(yùn)用函

數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識(shí)是

運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵.

例7設(shè)函數(shù).

(I)求)(X)的最小值”?)；

(H)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：(【),

當(dāng)時(shí)，取最小值，

即〃(，)=一〃+.

(H)令，

由得，

(不合題

意，舍去).

當(dāng)變化時(shí)

(0,1)1(1,2)

,的變化

情況如下

表：

t

g'⑺+0—

極大值

g⑴遞增遞減

1—m

在內(nèi)有最大值.

在內(nèi)恒成立等價(jià)于在內(nèi)恒成立，

即等價(jià)于，

所以的取值范圍為.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能

力.

例8甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)

的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，比

例系數(shù)為b；固定部分為a元.

①把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；

②為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

分析：幾個(gè)變量（運(yùn)輸成本、速度、固定部分）有相互的關(guān)聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系，并求函數(shù)的最小值.

解：（讀題）由主要關(guān)系：運(yùn)輸總成本=每小時(shí)運(yùn)輸成本X時(shí)間，

S_

（建模）有y=（a+bv2）v

（解題）所以全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式是：

y=S（+bv）,其中函數(shù)的定義域是v￡（0,c].

整理函數(shù)有y=S（+bv）=S（v+）,

由兩數(shù)y=x+（k>0）的單調(diào)性而得：

當(dāng)Vc時(shí)，則v=時(shí),y取最小值；

當(dāng)2c時(shí)，則v=c時(shí),y取最小值.

綜上所述，為使全程成本y最小，當(dāng)Vc時(shí)，行駛速度應(yīng)為v=；當(dāng)2c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v=c.

點(diǎn)評(píng)：1.對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，可以通過建立目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用解（證）不等式的方法求出函數(shù)的最大值或

最小值，其中要特別注意蘊(yùn)涵的制約關(guān)系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應(yīng)

用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.

方法總結(jié)與2012年高考預(yù)測(cè)

（-）思想方法總結(jié)

1.數(shù)形結(jié)合

2.分類討論

3.函數(shù)與方程

（二）2012年高考預(yù)測(cè)

1.考查有關(guān)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的試題，從試題上看，抽象函數(shù)和具體函數(shù)都有，有向抽象函數(shù)發(fā)展的趨

勢(shì).另外試題注重對(duì)轉(zhuǎn)化思想的考查，且都綜合地考查單調(diào)性與奇偶性.

2.考查與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中（或列表中）讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對(duì)稱

變換，注意函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)值的變化趨勢(shì)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題的能力.

3.考查與反函數(shù)有關(guān)的試題，大多是求函數(shù)的解析式，定義域、值域或函數(shù)圖象等，一般不需求出反函數(shù),

只需將問題轉(zhuǎn)化為與原函數(shù)有關(guān)的問題即可解決.

4.考查與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的試題.對(duì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托,

結(jié)合運(yùn)算推理來解決.

5加強(qiáng)函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想的考查是高考的一個(gè)重點(diǎn).善于轉(zhuǎn)化自題，引進(jìn)變最建立函數(shù)，運(yùn)用變化的方法、

觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)試題以提高數(shù)學(xué)意識(shí)，發(fā)展能力.

6注意與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查函數(shù)的性質(zhì).

一、強(qiáng)化訓(xùn)練

選擇題

I.函數(shù)y=2—x+1（x>0）的反函數(shù)是（)

A.y=log2(1,2)B.y=—lug2,xe(1,2)

C.y=log2,xG(1,2D.y=—Iog2,x￡(1,2

2.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是

⑻畤4，i)

（A）（0』）(D)7

3.在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì):“對(duì)于區(qū)間上的任意，恒成立”的只有

(B)小)不?（C）/（工）=2、（D）/（%）二尸

4.已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)則

(A)a<b<c(B)b<a<c(C)c<b<a(D)c<a<b

2

3r

/(x)=-?=+lg(3x+l)

5.函數(shù)GJ的定義域是

A......B.......C.....D.

6.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)乂是減函數(shù)的是

A.“.B?■■C...D?

>I

7、函數(shù)的反函數(shù)）幻的圖像與）'軸交于點(diǎn).y

（如右圖所示），則方程在上的根是

A???????B?????????????D?1

8、設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是

（B），（力依-到是奇1?3

（A）/（X）/（-X）是奇函數(shù)

（C）/*）_/（一均是偶函數(shù)（D）〃幻十"一為是偶函數(shù)

9、已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則

A.B.

C.D.

2eTx<2,

/'(幻=<則/V⑵)的值為

log(x2-l),x>2.

10、設(shè)3

(A)0(B)l(C)2(D)3

ll*ja,bR,記max{a,b)=,函數(shù)f(x)=max{|x+l|,|x—2|)(xR)的最小值是

3

(A)0(B)2(C)2(D)3

12.關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；

其中假命題的個(gè)數(shù)是

A.OB.1C.2D.3

填空題

13.函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則1

e\x<0.

g(x)=?g（g（3）=

Inx,x>0.

14,設(shè)則

15.已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則o

16,設(shè)，函數(shù)有最小值，則不等式的解集

解答題

17,設(shè)函數(shù).

（I）在區(qū)間［一2,6］上畫出函數(shù)/（X）的圖像；

（2）設(shè)集合.試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.

18、已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+2,x￡[—5,5]

(I)當(dāng)a=—l時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；

(II)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f(X)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù).

19,已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。

(I)求“力的值；

(II)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

20.設(shè)函數(shù)f(x)=/+如+?！渲衋為實(shí)數(shù).

(I)若f(x)的定義域?yàn)镽,求a的取值范圍;

(II)當(dāng)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí),求f(x)的單減區(qū)間.

21.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中.設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同.

(I)用表示，并求的最大值；

(II)求證：().

22.已知函數(shù).星方程f(x)=0的兩個(gè)根.是f(x)的導(dǎo)數(shù)：設(shè).(n=1.2.……)

(1)求名’的值：

(2)證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,都有>a；

(3)記(n=l,2,……)，求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn。

創(chuàng)新試題

I.下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖

中分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過路段、、的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)(假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路

段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等)，.

(、)%>工2>七(上)%>七>々?)々>芻>玉(口)芻>%>%

2.設(shè)函數(shù)f(x)=3sinx+2cusx+1。若實(shí)數(shù)a、b、c使得af(x)十

bf(x<)=l對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則的值等于..)

A.B.C.-1D.1

解答：

一、選擇題

I解：找到原函數(shù)的定義域和值域,x￡[0,+8),y￡(1,2)

又「原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域，

???反函數(shù)的定義域x￡(1,2),,??C.D不對(duì).

而l〈xV2,???。。一1<1,>1.

又log2>0,即y>()，A正確.

2解：依題意,有O(a(l且3a—1(0,解得O(a(,又當(dāng)x(l時(shí),(3a—1)x+4a(7a—1,當(dāng)x(l時(shí),logax(0,所

以7a—1(0解得x(故選C

3解：|(1(1(|(|xl—x2做選A

4解：已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，V0,???，選D.

5解：由，故選B.

6解：B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不是

奇函數(shù)，是減函數(shù);故選A.

7解：的根是2,故選C

8解:A中則，

即函數(shù)為偶函數(shù),B中,此時(shí)與的關(guān)系不能確定，即函數(shù)的奇偶性不確定，

C中，，即函數(shù)為奇函數(shù),D中，，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選擇答案D。

9解：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以是的反函數(shù)，即=,J，選D.

10解:f(f⑵)=f(1)=2,選C

11解：當(dāng)x(—1時(shí),|x+l|=-x-l,|x-2|=2-x,因?yàn)?-X-1)-(2-x)=-3(0,所以2-x(-x-l；

當(dāng)一1(x(Ht,|x+l|=x+l,|x—2|=2—x,因?yàn)?x+1)—(2—x)=2x—1(0,x+1(2—x；當(dāng)(x(2時(shí)，x+

1(2—x；當(dāng)x(2時(shí),|x+l|=x+1,|x—2|=x—2,顯然x+l(x—2；

2-X(XG(-co,-l)

/W=2

x+l(xe[-,2))

23

故[X+1(XG[2,+OO))據(jù)此求得最小值為5。選c

12解：關(guān)于x的方程可化為…(1)

x2-1)+(丁-1)+2=0

(―1<x<!)(2)

當(dāng)k=—2時(shí)，方程(1)的解為(，方程(2)無解,原方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根

當(dāng)1<=時(shí)，方程(1)有兩個(gè)不同的實(shí)根(，方程(2)有兩個(gè)不同的實(shí)根(，即原方程恰有4個(gè)不同的實(shí)

根

當(dāng)k=0時(shí)，方程(1)的解為一I,+1,(,方程(2)的解為x=0,原方程恰有5個(gè)不同的實(shí)艱

當(dāng)1<=時(shí)，方程(1)的解為(,(,方程(2)的解為(，(，即原方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根

選A

二、填空題。

13解：由得，所以，則。

14解：.

15解：函數(shù)若為奇函數(shù)，則，即，a=.

16解：由，函數(shù)有最小值可知a(l,所以不等式可化為即x(2.

三、解答題

17解：⑴

(2)方程的解分別是和，由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因此

A=(-oo,2-V14]U[O,4]U[2+V14,+oo)

..由于.

(3)[解法一]當(dāng)時(shí)，.

g(x)=k(x+3)-(-Jr2+4x+5)

=x2+(k-4)x+(3k-5)

.又，

①當(dāng)，即時(shí)，取，

k--20k+36--[（A:-10）2-64]

g（X）min4

...則.

②當(dāng)，即時(shí)，取，=.

由①、②可知.當(dāng)時(shí)...

因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.

［解法二］當(dāng)時(shí)，.

由得，

令，解得或，

在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點(diǎn).當(dāng)忖，的圖像與函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn).

如空可知，由于直線過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線是由直線繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到.因此，在區(qū)間上,

的圖像位于函數(shù)圖像的上方.

18解：(I)當(dāng)a=-l時(shí)，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,［-5.5］

AK=1時(shí),f(x)的最小值為1

x=-5時(shí),f(x)的最大值為37

(II)函數(shù)f(x)=(x+a)2+2—a2圖象的對(duì)稱軸為x=-a

Vf(x)在區(qū)間［-5,5］上是單調(diào)函數(shù)

-aW-5或一a25

故a的取值范圍是aW—5或a25.

19解：(1)因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以=0,即

又由f(1)=-f(-1)知。+4。+1

(II)解法一：由(I)知，易知在上

為減函數(shù)。又因是奇函數(shù)，從而不等式：

等價(jià)于，因?yàn)闇p函數(shù)，由上式推得：

.即對(duì)一切有：，

△=4+12%<()=>%<——.

從而判別式3

解去二：由(I)知.又由題設(shè)條件得：

即：，

整理得2/-2j>1,因底數(shù)2>1,故：3"-2t-k>o

上式對(duì)一切均成立，從而判別式

20解：(I