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冀教版2024教材數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)11.3.2解一元一次不等式授課教師:********班級(jí):********時(shí)間:********第十一章一元一次不等式和一元一次不等式組學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握解一元一次不等式的一般步驟,會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式,并能和解一元一次方程的過(guò)程進(jìn)行類比,體會(huì)類比思想,提高運(yùn)算能力.一、教學(xué)目標(biāo)學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解一元一次不等式的概念,識(shí)別其特征。熟練掌握一元一次不等式的解法,能正確求解并在數(shù)軸上表示解集。通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的分析,建立一元一次不等式模型,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式的過(guò)程,體會(huì)數(shù)學(xué)中的建模思想,提升學(xué)生的邏輯思維能力。二、教學(xué)重難點(diǎn)(一)教學(xué)重點(diǎn)一元一次不等式的概念。一元一次不等式的解法步驟及在數(shù)軸上表示解集。運(yùn)用一元一次不等式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。(二)教學(xué)難點(diǎn)正確理解不等式的性質(zhì),尤其是不等式兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)方向改變這一性質(zhì)的應(yīng)用。從實(shí)際問(wèn)題中找出不等關(guān)系,建立一元一次不等式模型。三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程(一)導(dǎo)入(5分鐘)展示生活中的一些場(chǎng)景圖片,如限速標(biāo)志(如最高限速60km/h)、購(gòu)物滿減活動(dòng)(如滿200元減50元)等。提出問(wèn)題:“同學(xué)們,在這些場(chǎng)景中,我們能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)量關(guān)系呢?”引導(dǎo)學(xué)生思考并回答,引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的不等式相關(guān)內(nèi)容。(二)新授(25分鐘)不等式的概念給出一些不等式的例子,如3x>5,2y-1≤7等,讓學(xué)生觀察這些式子與等式的區(qū)別??偨Y(jié)不等式的定義:用不等號(hào)(大于“>”、小于“<”、大于等于“≥”、小于等于“≤”)表示不等關(guān)系的式子叫做不等式。舉例讓學(xué)生判斷哪些式子是不等式,如5+3=8(不是),a+2>5(是)等,加深學(xué)生對(duì)不等式概念的理解。一元一次不等式的概念展示幾個(gè)特殊的不等式:2x-3>1,-3y+5≤2y等,引導(dǎo)學(xué)生觀察這些不等式中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)。給出一元一次不等式的定義:只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不為0,左右兩邊為整式的不等式,叫做一元一次不等式。強(qiáng)調(diào)概念中的關(guān)鍵要素:一個(gè)未知數(shù)、次數(shù)為1、整式等。通過(guò)舉例讓學(xué)生判斷,如x2+1>2x(不是,未知數(shù)次數(shù)是2),1/x<3(不是,不是整式),3x-5>0(是),強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的掌握。不等式的性質(zhì)回顧等式的基本性質(zhì),如等式兩邊同時(shí)加(或減)同一個(gè)數(shù),等式仍然成立;等式兩邊同時(shí)乘(或除以)同一個(gè)不為0的數(shù),等式仍然成立。通過(guò)具體例子,如比較5和3的大小,5>3,那么5+2>3+2,5-1>3-1,探究不等式兩邊同時(shí)加(或減)同一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向的變化情況,得出不等式性質(zhì)1:不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變。類似地,對(duì)于不等式兩邊同時(shí)乘(或除以)同一個(gè)數(shù)的情況,分正數(shù)和負(fù)數(shù)兩種情況討論。例如,2<3,2×2<3×2,2÷2<3÷2,得到不等式兩邊同時(shí)乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變;再如,2<3,2×(-1)>3×(-1),2÷(-2)>3÷(-2),得出不等式性質(zhì)2:不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變;不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。通過(guò)一些簡(jiǎn)單的練習(xí),如若a>b,那么a+3___b+3,-2a___-2b(填“>”或“<”),讓學(xué)生鞏固對(duì)不等式性質(zhì)的理解。一元一次不等式的解法以不等式2x-3>1為例,講解一元一次不等式的解法步驟。移項(xiàng):將常數(shù)項(xiàng)移到一邊,含未知數(shù)的項(xiàng)移到另一邊,得到2x>1+3。這里向?qū)W生強(qiáng)調(diào)移項(xiàng)要變號(hào),與等式移項(xiàng)規(guī)則相同,其依據(jù)是不等式性質(zhì)1。合并同類項(xiàng):計(jì)算得到2x>4。系數(shù)化為1:兩邊同時(shí)除以2,得到x>2。此時(shí)提醒學(xué)生注意,因?yàn)槌缘氖钦龜?shù)2,所以不等號(hào)方向不變,依據(jù)是不等式性質(zhì)2。講解如何在數(shù)軸上表示不等式的解集,先畫出數(shù)軸,找到表示2的點(diǎn),因?yàn)閤>2,所以在2這個(gè)點(diǎn)處畫空心圓圈(表示不包含2這個(gè)值),然后向右畫一條線,表示x的取值范圍是大于2的所有數(shù)。再舉一例,如-3x+5≤2x-1,讓學(xué)生在練習(xí)本上按照步驟求解,并請(qǐng)一位同學(xué)上臺(tái)板演,教師巡視指導(dǎo),及時(shí)糾正學(xué)生可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤,如移項(xiàng)變號(hào)錯(cuò)誤、系數(shù)化為1時(shí)不等號(hào)方向出錯(cuò)等。(三)練習(xí)(15分鐘)判斷下列式子哪些是一元一次不等式:2x+3y<1x2-5>03-2x≥4x+1解下列一元一次不等式,并在數(shù)軸上表示解集:4x-7>3x+25-2x≤1-3x實(shí)際問(wèn)題:某商店以每臺(tái)2500元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批彩電,如果每臺(tái)售價(jià)定為2700元,可賣出400臺(tái),以每100元為一個(gè)價(jià)格單位,若將每臺(tái)提高一個(gè)單位價(jià)格,則會(huì)少賣出50臺(tái),要使利潤(rùn)不低于50萬(wàn)元,每臺(tái)彩電的最高售價(jià)應(yīng)定為多少元?(設(shè)每臺(tái)彩電提高x個(gè)100元)引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的數(shù)量關(guān)系,找出不等關(guān)系,列出一元一次不等式,然后求解。讓學(xué)生板演,教師巡視指導(dǎo),針對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng),強(qiáng)調(diào)解題規(guī)范和注意事項(xiàng)。(四)課堂小結(jié)(8分鐘)與學(xué)生一起回顧一元一次不等式的概念、不等式的性質(zhì)以及一元一次不等式的解法步驟。強(qiáng)調(diào)在解一元一次不等式時(shí),每一步的依據(jù)和注意事項(xiàng),特別是不等式性質(zhì)2中不等號(hào)方向改變的情況??偨Y(jié)從實(shí)際問(wèn)題中建立一元一次不等式模型的關(guān)鍵是找出題目中的不等關(guān)系。(五)作業(yè)布置(2分鐘)課本課后習(xí)題。讓學(xué)生尋找生活中可以用一元一次不等式解決的實(shí)際問(wèn)題,下節(jié)課分享。五、教學(xué)反思在教學(xué)過(guò)程中,要注重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比等式的相關(guān)知識(shí)來(lái)理解不等式,利用實(shí)例幫助學(xué)生掌握不等式的性質(zhì)和一元一次不等式的解法。對(duì)于不等式性質(zhì)中不等號(hào)方向改變的情況,要多舉例子讓學(xué)生強(qiáng)化理解。在實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)中,要培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、找出不等關(guān)系的能力,提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的素養(yǎng)。同時(shí),關(guān)注學(xué)生在練習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤,及時(shí)進(jìn)行針對(duì)性輔導(dǎo)。學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理問(wèn)題1:你還記得解一元一次方程的步驟嗎?我們一起來(lái)通過(guò)解一元一次方程
回顧一下.解:去分母,得
4(x-1)-3(2x-3)=12.
去括號(hào),得
4x-4-6x+9=12.
移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得
-2x=7.
兩邊同除以-2,將系數(shù)化為1,得
x=.去分母
去括號(hào)
移項(xiàng)
合并同類項(xiàng)
系數(shù)化為1解一元一次不等式的一般步驟通過(guò)以上復(fù)習(xí),我們對(duì)解不等式有了初步認(rèn)識(shí),接下來(lái)我們通過(guò)實(shí)例系統(tǒng)學(xué)習(xí)如何解復(fù)雜不等式.問(wèn)題2:那么如何求得不等式75+25x≤1200
的解集呢?將①式移項(xiàng),得將②式兩邊都除以25(即將x的系數(shù)化為1),
25x≤1125.②得
x≤45.問(wèn)題3:那么如何求得不等式的解集呢?解不等式:4x-1<5x+15解方程:4x-1=5x+15解:移項(xiàng),得4x-5x=15+1.合并同類項(xiàng),得-x=16.系數(shù)化為1,得x=-16.解:移項(xiàng),得4x-5x<15+1.合并同類項(xiàng),得-x<16.系數(shù)化為1,得x>-16.知識(shí)點(diǎn)1
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式與解一元一次方程的依據(jù)和步驟有什么異同點(diǎn)?
它們的依據(jù)不相同.解一元一次方程的依據(jù)是等式的性質(zhì),解一元一次不等式的依據(jù)是不等式的性質(zhì).
它們的步驟基本相同,都是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知數(shù)的系數(shù)化為1.
這些步驟中,要特別注意的是:不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),必須改變不等號(hào)的方向.這是與解一元一次方程不同的地方.知識(shí)點(diǎn)1
一元一次不等式的解法例1
解下列一元一次不等式:(1)2-5x<8-6x;(2).解:(1)原不等式為2-5x<8-6x,
將同類項(xiàng)放在一起即
x<6.
移項(xiàng),得
-5x+6x<8-2,計(jì)算結(jié)果知識(shí)點(diǎn)1
一元一次不等式的解法解:首先將分母去掉去括號(hào),得
2x-10+6≤9x.
去分母,得
2(x-5)+1×6≤9x.移項(xiàng),得
2x-9x≤10-6.去括號(hào)將同類項(xiàng)放在一起(2)原不等式為合并同類項(xiàng),得
-7x≤4.兩邊都除以-7,得
x≥.計(jì)算結(jié)果根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3知識(shí)點(diǎn)1
一元一次不等式的解法
歸納:解一元一次不等式的易錯(cuò)點(diǎn)1.不等式的兩邊同乘(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),忘記改變不等號(hào)的方向;2.在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí),空心圓圈和實(shí)心圓圈的意義弄混;3.移項(xiàng)不變號(hào);4.去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng).5.忽視分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用.6.去括號(hào)時(shí),括號(hào)前是減號(hào)的括號(hào)里各項(xiàng)注意要改變符號(hào).知識(shí)點(diǎn)1
一元一次不等式的解法練一練
解不等式>的下列過(guò)程中錯(cuò)誤的是()A.去分母得5(2+x)>3(2x﹣1) B.去括號(hào)得10+5x>6x﹣3C.移項(xiàng),合并同類項(xiàng)得﹣x>﹣13 D.系數(shù)化為1,得x>13D知識(shí)點(diǎn)1
一元一次不等式的解法例2
解不等式12-6x≥2(1-2x),并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).解:首先將括號(hào)去掉去括號(hào),得
12-6x
≥2-4x.移項(xiàng),得
-6x+4x≥
2-12.將同類項(xiàng)放在一起合并同類項(xiàng),得
-2x
≥-10.兩邊都除以-2,得
x≤5.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3原不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示.-10123456注:解集x≤5中包含5,所以在數(shù)軸上將表示5的點(diǎn)畫成實(shí)心圓點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)1
一元一次不等式的解法例3
當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí),代數(shù)式
的值比x+1的值大?
解:根據(jù)題意,x應(yīng)滿足不等式
.
去分母,得
1+2x>3(x+1).
去括號(hào),得
1+2x>3x+3.
移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得
-x>2.
將未知數(shù)系數(shù)化為1,得
x<-2.
即當(dāng)x<-2時(shí),代數(shù)式
的值比x+1的值大.知識(shí)點(diǎn)1
一元一次不等式的解法例4
已知不等式
x+8>4x+m(m是常數(shù))的解集是x<3,求
m.解題通法:已知解集求字母系數(shù)的值,通常是先解含有字母的不等式,再利用解集唯一性列方程求字母的值.解題過(guò)程體現(xiàn)了方程思想.解:因?yàn)?/p>
x+8>4x+m,
所以
x-4x>m-8,即-3x>m-8,
因?yàn)槠浣饧癁閤<3,
所以
.
解得
m=-1.知識(shí)點(diǎn)1
一元一次不等式的解法例5
求不等式
的正整數(shù)解.解:去分母,得
3(x+1)≥2(2x-1).
去括號(hào),得
3x+3≥4x-2.
移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得
-x≥-5.
將未知數(shù)系數(shù)化為1,得
x≤5.
所以,滿足這個(gè)不等式的正整數(shù)解為
x=1,2,3,4,5.知識(shí)點(diǎn)2
求一元一次不等式的特殊解
求不等式的特殊解,先要準(zhǔn)確求出不等式的解集,然后確定特殊解.在確定特殊解時(shí),一定要注意是否包括端點(diǎn)的值,一般可以結(jié)合數(shù)軸,形象直觀,一目了然.例6
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義新運(yùn)算:a△b=a?b﹣b+1,求不等式3△x≤3的非負(fù)整數(shù)解.解:根據(jù)規(guī)定運(yùn)算,不等式3△x≤3可化為
3x﹣x+1≤3,解題通法:首先根據(jù)規(guī)定運(yùn)算,將不等式3△x≤3轉(zhuǎn)化為一元一次不等式,再利用不等式的基本性質(zhì)解不等式,然后從不等式的解集中找出適合條件的非負(fù)整數(shù)即可.解得x≤1,
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