分式方程 教學(xué)設(shè)計 2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊

第十八章分式18.5分式方程教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：本節(jié)課是人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第十八章分式的18.5分式方程，主要內(nèi)容包括分式方程的定義，即分母中含有未知數(shù)的方程；分式方程的解法，通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，以及解分式方程時必須進(jìn)行檢驗的步驟；同時還涉及分式方程在實際問題中的應(yīng)用，包括根據(jù)實際情境列出分式方程并求解。內(nèi)容解析：分式方程是在整式方程的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，它與整式方程的主要區(qū)別在于分母中含有未知數(shù)，這使得分式方程的求解需要運用轉(zhuǎn)化的思想，通過去分母將其轉(zhuǎn)化為整式方程，而這一轉(zhuǎn)化過程可能會引入增根，因此檢驗步驟至關(guān)重要。分式方程的學(xué)習(xí)不僅拓展了方程的類型，也為解決更復(fù)雜的實際問題提供了新的工具，同時加深了學(xué)生對方程思想和轉(zhuǎn)化思想的理解與運用。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：能夠準(zhǔn)確識別分式方程，理解分式方程的概念。掌握分式方程的解法，能正確運用去分母的方法將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程并求解，同時能熟練進(jìn)行檢驗。能夠運用分式方程解決簡單的實際問題，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。目標(biāo)解析：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生在知識層面上，能夠清晰區(qū)分分式方程與整式方程，熟練掌握分式方程的求解流程，包括去分母、解整式方程、檢驗等環(huán)節(jié)，提升運算能力；在能力層面上，經(jīng)歷將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程，加深對轉(zhuǎn)化思想的理解和運用，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的方程以及函數(shù)等知識打下堅實的基礎(chǔ)，同時在解決實際問題的過程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識，體會數(shù)學(xué)的實用性。三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在學(xué)習(xí)分式方程時，可能會對分式方程與整式方程的區(qū)分存在困難，容易混淆兩者的概念，特別是在一些形式較為復(fù)雜的方程中，難以準(zhǔn)確判斷是否為分式方程。在解分式方程去分母的過程中，學(xué)生可能會出現(xiàn)找錯最簡公分母的情況，或者在方程兩邊同乘最簡公分母時，漏乘不含分母的項，導(dǎo)致轉(zhuǎn)化后的整式方程出錯，影響最終的求解結(jié)果。學(xué)生對檢驗步驟的重要性認(rèn)識不足，容易忽略檢驗環(huán)節(jié)，或者在檢驗時僅僅將解代入整式方程進(jìn)行驗證，而沒有代入最簡公分母檢查是否為零，從而無法發(fā)現(xiàn)增根，得出錯誤的結(jié)論。四、教學(xué)過程設(shè)計（一）情景引入問題1：章引言中提到，一艘輪船在靜水中的速度為30km/h，它順?biāo)叫?0km所用的時間與逆水航行60km所用的時間相等，你能根據(jù)這個條件列出方程嗎？問題2：觀察你所列出的方程，它與我們之前學(xué)習(xí)的整式方程有什么不同呢？問題3：像這樣分母中含有未知數(shù)的方程，我們可以給它起個什么名字呢？設(shè)計意圖：通過實際情境中的問題引導(dǎo)學(xué)生列出方程，讓學(xué)生在具體的問題中感受新方程的特點，從而自然地引出分式方程的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這一過程能夠培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)實際問題中的等量關(guān)系列方程的能力，對應(yīng)目標(biāo)3中運用分式方程解決實際問題的初步感知，同時也為目標(biāo)1中識別分式方程奠定基礎(chǔ)。（二）合作探究1探究1：我們已經(jīng)知道了什么是分式方程，那如何解分式方程9030答：可以嘗試將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解。追問：那怎樣才能將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程呢？答：可以在方程兩邊同乘各分母的最簡公分母。追問：這個方程中各分母的最簡公分母是什么呢？答：是(30追問：在方程兩邊同乘最簡公分母后，得到的整式方程是什么？答：90(追問：解這個整式方程，求出的解是多少？答：解得v=（三）鞏固練習(xí)1解方程5解：方程兩邊同乘x(x?2)，得5(x?2檢驗：當(dāng)x=?5時，x(解方程2解：方程兩邊同乘(x+3)(x?1)，得檢驗：當(dāng)x=5時，(x（四）合作探究2探究2：我們再嘗試解分式方程1x問題：這個方程的最簡公分母是什么？答：(x問題：方程兩邊同乘最簡公分母后得到的整式方程是什么？答：x+問題：解這個整式方程，結(jié)果是多少？答：x=追問：這個解是不是原分式方程的解呢？答：把x=5代入原分式方程，分母x?猜想：為什么會出現(xiàn)這種情況呢？是不是去分母的過程中出現(xiàn)了什么問題？驗證：當(dāng)x=5時，最簡公分母研究3：根據(jù)以上探究，我們可以總結(jié)出解分式方程時需要檢驗的原因：解分式方程去分母時，方程兩邊要乘同一個含未知數(shù)的最簡公分母，當(dāng)這個最簡公分母的值不為0時，所得整式方程的解與原分式方程的解相同；當(dāng)最簡公分母的值為0時，所得整式方程的解會使原分式方程的分母為0，這樣的解不是原分式方程的解。因此，解分式方程必須進(jìn)行檢驗，將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則是原分式方程的解，否則不是。設(shè)計意圖：通過具體的分式方程求解過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)增根的存在，引導(dǎo)學(xué)生探究出現(xiàn)增根的原因，從而理解檢驗步驟的必要性。這一過程能夠培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和邏輯思維能力，使學(xué)生掌握解分式方程必須檢驗的要點，對應(yīng)目標(biāo)2中熟練進(jìn)行檢驗的要求，同時加深對分式方程解法的理解。（五）典例分析例1：解方程2解：方程兩邊乘x(x?3)，得2x=3(x檢驗：當(dāng)x=9時，x(設(shè)計意圖：通過典型例題的詳細(xì)講解，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉分式方程的解法步驟，包括去分母、解整式方程、檢驗等環(huán)節(jié)，規(guī)范學(xué)生的解題過程。這一例題能夠鞏固學(xué)生對分式方程解法的掌握，提升學(xué)生的運算能力，對應(yīng)目標(biāo)2中正確求解分式方程并檢驗的要求。（六）鞏固練習(xí)例1：解方程1解：方程兩邊乘2x(x+3)，得x+3檢驗：當(dāng)x=1時，2x(例2：解方程x解：方程兩邊乘3(x+1)，得3x=2x+3檢驗：當(dāng)x=?32時，3例3：解方程2解：方程兩邊乘(x?1)(x+1)，得2(檢驗：當(dāng)x=1時，(x設(shè)計意圖：通過不同類型的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固分式方程的解法，包括有解和無解的情況，進(jìn)一步熟練檢驗步驟。這些練習(xí)能夠提升學(xué)生解分式方程的運算能力，檢驗學(xué)生對知識點的掌握程度，對應(yīng)目標(biāo)2中正確求解并檢驗分式方程的要求。（七）歸納總結(jié)知識點具體內(nèi)容分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的方程解分式方程的步驟1.去分母，方程兩邊乘最簡公分母，轉(zhuǎn)化為整式方程；2.解整式方程；3.檢驗，將整式方程的解代入最簡公分母，若不為0則是原方程的解，否則不是檢驗的必要性去分母時可能乘了等于0的式子，導(dǎo)致整式方程的解不是原分式方程的解（八）感受中考（2023·北京）方程3x=4A.x=3B.x=?3解：方程兩邊乘x(x+1)，得3(x+1)=4x，展開括號得3x（2024·上海）解方程x解：方程兩邊乘(x?2)(x+2)，得x(x+2)+3(（2023·廣州）分式方程1x?1A.有解x=1B.有解x=?1C.解：方程兩邊乘(x?1)(x+1)，得x+（2024·深圳）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機(jī)器所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間相同，設(shè)原計劃平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A.600x+C.600x=解：現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)(x+50設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)完知識后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力.（九）小結(jié)梳理（十）布置作業(yè)必做題：解下列方程：((甲、乙兩人做某種機(jī)械零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等，求甲、乙每小時各做零件多少個？選做題：改良玉米品