2.3.3　一元二次不等式的應(yīng)用

一元二次不等式的應(yīng)用(教學(xué)方式：拓展融通課—習(xí)題講評式教學(xué))2.3.3課時目標(biāo)1．掌握與一元二次不等式相關(guān)的不等式解法(分式不等式的解法)．2．能夠從實(shí)際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決．3．會用判別式法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等方法解決不等式恒成立問題．CONTENTS目錄123題型(一)簡單分式不等式的解法題型(二)一元二次不等式恒成立問題題型(三)一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用4課時跟蹤檢測題型(一)簡單分式不等式的解法|思|維|建|模|分式不等式的解法(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意等價變形，保證分母不為零．(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．

針對訓(xùn)練

[例2]

對?x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范圍．題型(二)一元二次不等式恒成立問題[變式拓展]1．在本例中，是否存在m∈R，使得?x∈R，不等式mx2－mx－1>0？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．2．在本例中，把條件“?x∈R”改為“x∈{x|2≤x≤3}”，其余不變，求m的取值范圍．2．若關(guān)于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________．針對訓(xùn)練{k|－3<k≤1}3．當(dāng)1≤x≤2時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[例3]

某電動車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)電動車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x．已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量．題型(三)一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；解：由題意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？|思|維|建|模|解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型，即分析題目中有哪些未知量，然后選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量，設(shè)此未知量為x，用x來表示其他未知量，再根據(jù)題目中的不等關(guān)系列不等式．4．在一個限速40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了．事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m．又知甲、乙兩種車型的剎車距離sm與車速xkm/h之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，問誰超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任．針對訓(xùn)練課時跟蹤檢測134567891011121314152√√156789101112131415234√156789101112131415342√3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4}C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4}156789101112131415342√156789101112131415342√5．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A．{a|－1≤a≤4}

B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤－1}

D．{a|－4≤a≤1}解析：由題意知，原不等式可化為－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4．1567891011121314153426．已知關(guān)于x的不等式x2－ax＋a＋3≥0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________．解析：由題意Δ＝a2－4(a＋3)≤0，解得－2≤a≤6．{a|－2≤a≤6}1567891011121314153427．某商品在最近30天內(nèi)的價格y1與時間t(單位：天)的關(guān)系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；銷售量y2與時間t的關(guān)系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，則使這種商品日銷售金額z不小于500元的t的取值范圍為___________________．解析：z＝(t＋10)(－t＋35)，依題意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15，t∈N，所以t的取值范圍為{t|10≤t≤15，t∈N}．{t|10≤t≤15，t∈N}1567891011121314153424解析：由題意知，不等式的解集為{x|x<－1或x>4}，故(x－a)(x＋1)>0?(x＋1)(x－4)>0，故a＝4．1567891011121314153429．(8分)對于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍．15678910111213141534215678910111213141534210．(10分)某地區(qū)上年度電價為0.8元/千瓦時，年用電量為a千瓦時.本年度計劃將電價降低到0.55元/千瓦時至0.75元/千瓦時之間，而用戶期望電價為0.4元/千瓦時．經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增的用電量與實(shí)際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數(shù)為k)．該地區(qū)電力的成本價為0.3元/千瓦時．[注：收益＝實(shí)際用電量×(實(shí)際電價－成本價)]156789101112131415342(1)寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的收益y與實(shí)際電價x的關(guān)系式；156789101112131415342

(2)設(shè)k＝0.2a，當(dāng)電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%?156789101112131415342B級——重點(diǎn)培優(yōu)11．(多選)若“?x∈R，ax2＋ax＋1≤0”為假命題，則a的值可能為(

)A．－1 B．0C．2 D．4√√156789101112131415342156789101112131415342√12．某種雜志原以每本3元的價格銷售，可以售出10萬本.根據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就減少1000本.設(shè)每本雜志的定價為x元，要使得提價后的銷售總收入不低于42萬元，則x應(yīng)滿足(

)A．6≤x≤7 B．5≤x≤7C．5≤x≤6 D．4≤x≤615678910111213141534215678910111213141534213．某商家一月份至五月份累計銷售額達(dá)3860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份增長x%，八月份銷售額比七月份增長x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等．若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬元，則x的最小值是_____．解析：由題意，得3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化簡得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去)，所以x≥20，即x的最小值為20．2015678910111213141534214．(12分)不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)對于任意的x，y∈R恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．解：因?yàn)閤2＋8y2≥λy(x＋y)對于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0對于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y(tǒng)2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是{λ|－8≤λ≤4}．15678910111213141534215．(12分)已知集合{x∈R|x2－(k＋2)x－3k＋1≥0}＝{x|x≤－1或x≥5}．(1)求實(shí)數(shù)k的值；156789101112131415342(2)已知t<2，若不等式x2－(k＋2)x－3k－m2＋4m＋15≥0在t≤x≤4上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：由(1)知，k＝2，原不等式可化為x2－4x＋9－m2＋4m≥0，所以x2－4