浙江省衢州市2024-2025學(xué)年1月高一期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

浙江省衢州市2024-2025學(xué)年1月高一期末教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項、是符合題目要求的.

1.已知集合A={1,2,3},B={0,2,4},則4口3=（）

A.{0}B,{2}C.{1,2}D,{0,1,2,3,4}

【答案】B

【解析】因為集合人={1,2,3},5={0,2,4},所以4口3={2}.

故選：B.

2.已知事函數(shù)/（%）的圖象過點則/（9）=（）

A.-3B.73C.2D.3

【答案】D

【解析】設(shè)"x）=x"，因為塞函數(shù)〃力的圖象過點（2,夜），所以2"=0，

解得所以/（9）=囪=3.

故選：D.

3.“4>0”是“1>1”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】因為e、>l=e°ox>0,所以“x>0”是“1>1”的充要條件.

故選：C.

4.下列不等關(guān)系成立的是（）

-0,30,1

A.3>2B.log23>log32

兀

C一.?si兀n—>tan?！狣.cos—>cos

342

【答案】B

【解析】對于A,34<3°=1,2°」〉2°=1,所以3《3<2°」，A不正確；

對于B,Iog23>log22=l,log32<k>g33=l,所以Iog23〉log32,B正確;

對于C,sin—=<tan—=1,C不正確；

324

71(7t)1

對于D,cos—=0<cos--=—,D不正確.

2I3J2

故選：B.

5.函數(shù)/(x)=(x+l)2(x—2)的部分圖象大致為()

【解析】由題意，x>2時，/(x)>0,排除C,D選項；

/(0)=-2<0,可以排除B選項.

故選：A.

6.已知函數(shù)y(x)=2*+x—l,g(x)=log2x+x-l,%(力=喘+x—l的零點分別為a,

b,c,則a,b,c的大小順序為()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】易知三個函數(shù)均為增函數(shù)，又"0)=0,g⑴=0,所以a=o力=1；

/z(0)=-1<O,/z(l)=1>0,所以0<c<l,所以a<c<b.

故選：B.

7.已知函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)中心對稱的充要條件是函數(shù)y=/(x+a)—〃

為奇函數(shù)，則函數(shù)/(x)=—二圖象的對稱中心是()

2—1

A.(1,1)C

【答案】C

【解析】對于〃x)=丞片，有2—1/0,解得XWO，

所以/(x)的定義域為(9,O)U(0,+8),

而了(%)的圖象的對稱中心為(。力)，則a=0,

所以y=/(X)—6為奇函數(shù)，則有/(-x)-z?=-(/(x)-^),

an11

即--------b=--------------1-b,

2-「12X-1

112工1-2l+l

所以2b=-------------1------------------------1------------=—1,故》=—.

2-x-l2X-11-2X21-12X-12

故選：C.

8.已知〃力是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且〃尤)，g(x)在

(-8,0］上單調(diào)遞增，則下列不等關(guān)系恒成立的是()

A.g(g⑴)>g(g(2))B.g(/(l))<g(f(2))

C/(g⑴)〉/(g(2))D.f(/(l))>/(/(2))

【答案】C

【解析】由題意可知/(%)在(f,0］上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，g(x)在R上單

調(diào)遞增，且g(O)=O,

所以/⑴>〃2),g⑵〉g⑴>0.

對于A,因為g(2)>g⑴>0,g(x)在R上單調(diào)遞增，所以g(g(2))>g(g(l)),故A

錯誤；

對于B,因為/⑴>/(2),g(x)在R上單調(diào)遞增，所以g(7(l))>g(〃2)),故B錯；

對于C因為g(2)>g⑴>0,“X)在(0,+8)上單調(diào)遞減,所以f(g(l))>2(g(2)),

故C正確；

對于D,因為〃1)J(2)正負不知，所以/(/(l))"("2))大小關(guān)系不定，故D錯.

故選：C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.若a>0,b>0,且。+/?=4,則下列結(jié)論正確的是()

A.2”=16B.

C.log?+logZ?>2D.—+—>1

22ab

【答案】ABD

【解析】由題a>0,b>0,且a+b=4,

對于A,2a-2&=2“+&=24=16，故A正確；

對于B,4=a+b22j拓=疝<2,當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=2時等號成立，故B正確；

對于C,由B可知。力W4,當(dāng)且僅當(dāng)a=/?=2時等號成立，又函數(shù)y=log?%為增函數(shù)，

所以log2a+log2b=log2(ab)<log24=2,故C錯誤；

,111f11VI，、6al」a),,?.,

對于D,—+=—+；-](a+6)=：|2H---1-—>—2+2=1,當(dāng)且僅當(dāng)

ab4\ab)4(ab)41yabj

ba

ab'

即a=〃=2時等號成立，故D正確.

故選：ABD.

10.已知函數(shù)/1(%)=sin(cos%)-cos(sinx),則()

A./(九)是奇函數(shù)B.7(尤)圖象有對稱軸

C.〃九)是周期函數(shù)D./(1)<0

【答案】BCD

(解析】對于A,因為/(-%)=sin(cos(-⑼-cos(sin(-無))=sin(cosx)-cos(-sinx)

=sin(cos%)-cos(sinx)=f(%),所以是偶函數(shù)，A不正確；

對于B,由A可知/(X)的圖象關(guān)于y軸對稱，B正確；

對于C,/(x+27r)=sin(cos(x+27r))-cos(sin(x+27r))=/(x),所以/(九)是周期函

數(shù)，C正確；

對于D,/(1)=sin(cosl)-cos(sinl)=sin(cosl)-sin--sinl,

因為sinl+cosl=J^sin[l+；卜0兀LL1、I1兀?1

<—,所以cosl<——sinI,

22

因為coslGf0,—j,——sinle[0,—且丁=5布》在區(qū)間為增函數(shù),

<sin|T-sin1),

所以sin(cosl)即D正確.

故選：BCD.

x4=1+x

11.已知正實數(shù)X、y滿足〈，則()

°=3x+y

A.y>1B.x<—C.y~<y/2,D.y<x

4'

【答案】ABD

【解析】對于A選項，因為X、y都是正實數(shù)，則y8=3x+y>y,可得y7〉l,解得y>l,

A對；

?1

對于B選項，因為1>0,由犬=%+1可得三——1=0,

X

因為函數(shù)％=/3,%=-；-1在(°，"°)上均為增函數(shù)，

故函數(shù)/■?)=/—；—1在(o,+a))上為增函數(shù)，

6161Y—1<0,f51254125949八

因為了--------1=-------=---->0,

5050645645320

615

由零點存在定理可知，方程%4=%+1的實數(shù)解xe，B對;

5054

。1

對于C選項，因為%〉1且y>l,則短=3x+y〉4,則/>41=0，C錯;

對于D選項，由;/=3x+y可得------1=0,

y

3Y

因為函數(shù)%=/、/=--1在(0,+8)上均為增函數(shù)，

所以，函數(shù)g(f)=r--丁―1在(0,+o。)上為增函數(shù)，

因為g(l)=_3<0，g(x)=『—4'(MJ-4>0，所以l<y<x,D對.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若In(log2加)=。，則機=.

【答案】2

【解析】因為ln(log2〃2)=。，所以log2〃z=l,所以機=2.

13.玉璜，是一種佩戴飾物.在中國古代，玉璜與玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等總稱為“六

瑞”，被《周禮》

一書稱為是“六器禮天地四方”的玉禮器，多作為宗教禮儀掛飾.現(xiàn)有一弧形玉璜呈扇環(huán)形，已

知AD=4,弧A3長為2兀，弧長為兀，此玉璜的面積為.

【答案】6兀

【解析】設(shè)弧AB對應(yīng)的圓半徑為R,圓心角為

由題意得：&=2兀,(尺一4)&=兀，解得R=8,R—4=4,

所以玉璜的面積為S=—x271X8--X7ix4=671.

22

sinxxW0

14.己知函數(shù)/（%）=<2；一0_八在(。,內(nèi))上有4個不同零點，則實數(shù)。的取

x—2x+2〃+5,x>0

值范圍是.

【答案】［-371,-271)

【解析】因為函數(shù)/(X)=*—2x+2a+5在(0,+8)上至多兩個零點，故a<0,

且二次函數(shù)y=x?—2x+2a+5的圖象開口向上，對稱軸為直線尤=1,

對于二次函數(shù)y-x~-2x+2a+5,/=4—4（2a+5）=—8（a+2）,

當(dāng)/=—16（〃+2）v0時，即當(dāng)一2<〃<0時,

函數(shù)/(X)=/一2%+2〃+5在(0,+8)上無零點,

此時，函數(shù)/(x)=sinx在(a,0］上只有一個零點，不合乎題意;

當(dāng)/=—8（a+2）=0時,

即當(dāng)Q二—2時，函數(shù)/(%)=Y—2%+1在(0,+8)上只有一個零點,

而函數(shù)/(x)=sinx在(―1,0］上只有一個零點，不合乎題意;

,/=—8（a+2）>0

當(dāng)\，時,

2a+5>0

即當(dāng)—g<a<—2時，函數(shù)=k—2x+2a+5在(0,+8)上有兩個零點，

則函數(shù)/(x)=sinx在(a,0］上有兩個零點，所以，一2兀4。<一兀，此時，。不存在;

A——8（a+2）>0

當(dāng)\）時,

2a+5<0

即當(dāng)aW—g時，函數(shù)/(x)=f—2x+2a+5在(0,+8)上只有一個零點,

則函數(shù)/(x)=sinx在(。,0］上有三個零點，則一3兀4。<一2兀，

止匕時一3兀<a<一2兀.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是［-3兀,-2兀).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a是第二象限角，且終邊與單位圓交于點尸]~《

(1)求實數(shù)機及tana的值；

的值.

sin(兀-a)+sin[[+aJ

m<0

3y4

解：(1)由題意可得<216=>m=--,所以tana=—=--.

m+——=15x3

4

(2)由(1)得tana=——

3

cos(一a)+cos11?兀-a

cosa-sina_1-tan6/

所以

sin(兀-a)+sinH+asina+cosatana+1

(1)若。=4,求函數(shù)/(九)的定義域及值域;

⑵若函數(shù)”可在(1,3)上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍.

2

解：(1)當(dāng)a=4時，/(%)=log4(-x+4%-3),

由—%2+4x—3>0，可得%2—4%+3v0，解得l<x<3,

2

所以函數(shù)/(尤)=log4(-X+4%-3)的定義域為(1,3),

因為—%2+4x—3=—(x—

所以0<—犬+4無一3<1，

2

又函數(shù)>=log4%為增函數(shù)，所以/(x)=log4(-x+4x-3)e(-co,0],

故當(dāng)a=4時，函數(shù)/(%)的定義域為(1,3),值域為(-8,0].

(2)當(dāng)0<a<l時，函數(shù)y=log”x為減函數(shù),

因為函數(shù)“可在(1,3)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)(》)=—f+ox—3在(1,3)上單調(diào)遞減,

且—爐+依—3>0在(1,3)上恒成立，

2

所以0<。<1,該不等式組無解；

—3"+3?！?>0

當(dāng)。>1時，函數(shù)y=log°x為增函數(shù)，

因為函數(shù)/(%)在(1,3)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)《x)=-f+依-3在(1,3)上單調(diào)遞增，且-x2+ax-3>0在(L3)上恒成立,

陽3

2

所以<a〉1,解得a>6.

-l2+?-3>0

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是［6,+8).

17.己知函數(shù)/'(x)=asin12x—21+。(。〉0,。611)在區(qū)間0,］上的值域為［0,3］.

⑴求函數(shù)〃尤)的解析式；

(2)若對任意再e0,-,存在-,m使得/(%)?/(%)，求實數(shù)機的取值范圍.

_6J|_2」

解：(1)因為則一四<2%-二《空，則一，Vsin(2x—三］wl,

26662I6)

因為a>0,則一■|+b</'(x)Ka+b,

b--=Qa=2,因此

由題意可得2,解得</(x)=2sin12x-gj+l.

b=l

a+b=3

(2)由題意可得了(再)代2/(%2)同，

因為再￡。,二，所以一‘W2七一'W',則一7<sin(2%i―Z]W；,

6J6662<6)2

故/(%L=。，

「、，兀r|5兀兀兀

因為％2￡—，加，則—W2%——2m—,

26266

由題意可得/(9Unwo,即

所以2加一色之叁，解得機2處，

663

「2兀)

因此，機的取值氾圍是—,+℃!.

18.已知函數(shù)/(X)=a(x+l)+，，aeR.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性(無需證明)；

(2)若a<0,解關(guān)于x的不等式/(卜―2|)>/任)；

(3)若關(guān)于x的方程/(3"+1)=1有兩個不同的解，求實數(shù)。的取值范圍.

解：(1)函數(shù)/(%)=a(x+l)+，的定義域為｛X|XH。｝,

當(dāng)a=0時，函數(shù)/(%)=」在(―8,0)和(0,+8)上都減函數(shù);

當(dāng)a<0時，函數(shù)/'(%)=辦+工+。在(。,0)和(0,+<?)上都是減函數(shù)；

X

當(dāng)a>0時，函數(shù)/'(%)=依+,+。在一00，-*]和1?，+°°上都是增函數(shù),

J①。篇。,

在上都是減函數(shù).

a

7

\f|x-2|＞0

（2）由函數(shù)/（%）的定義域可知，，解得xw2且尤/0,

由（1）可知當(dāng)a＜0時，函數(shù)/（X）=ax+'+a在（0,+?。）上是減函數(shù)，

由川%—2|）＞/任），可得l24―2|,可得（尤一2）2=（X2+X-2）（X2-X+2）＞0,

因為/一尤+2=（X—L]+-＞0）則有％2+%—2〉0，解得兀＜一2或x＞l,

I2j4

因此，不等式川％-2|）＞/12）的解集為2）U（L2）U（2,y）.

（3）令/=3*+1，則函數(shù)/=3*+1在R上為增函數(shù)，且方＞1，

即方程a（/+l）+1=l在（L+8）上有兩個不同的解，即。t-1

在（L+CQ）上有兩個不

r（r+l）

同的解，

m_m_1

令zn二，一l￡（0,+oo）,則（加+l）（zn+2）m2+2+3m根+2+3

m

12/、

則—=加+—+3在切￡（0,+oc）上有兩個不同的解，

am

上為減函數(shù)，在+8上為增函數(shù),

貝1JXnin=后+*+3=3+2后，如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)!〉3+20時，即當(dāng)0<a<3—2夜時,

a

i2

直線>=一與函數(shù)y=加+—+3在me(O,+8)時圖象有兩個交點，

am

因此，實數(shù)a的取值范圍是(0,3-2點).

19.設(shè)點集。是集合/={(尤,丁)|陽,€11}的一個非空子集，若按照某種對應(yīng)法則/,D

中的每一點(x,y)都有唯一的實數(shù)/與之對應(yīng)，則稱/為。上的二元函數(shù)，記為，=/(元y).

當(dāng)二元函數(shù)滿足對任意x,y,zeR,均有：①/(x,y)=/(y,x)；②/(x,x)=O；

③/(X,z)+“z,y)2/(x,y)成立，則稱二元函數(shù)"x,J)具有性質(zhì)P.

(1)試判斷二元函數(shù)/(無,y)=|尤—y|是否具有性質(zhì)P,并說明理由;

⑵若/(尤,y)具有性質(zhì)尸，證明：函數(shù)g(x,y)=J/(x,y)具有性質(zhì)P；

(3)對任意具有性質(zhì)P的函數(shù)/(x,y),均可推出/(%?)=具有性質(zhì)P,

求實數(shù)機的取值范圍.

解：(1)二元函數(shù)/(x,y)=|x-y|具有性質(zhì)p,理由如下:

〃%”=僅—%|=/(x,y),f(x,x)^x-x\=O,

f(x,z)+f(z,y)^x-z\+\z-y^x-z+z-y\=\x-y\=f(x,y),

故/(無,y)=|無一具有性質(zhì)p.

(2)證明：因為g(x,y)==g(y,x)，g(x,x)="g)=。,

下證：g(x,z)+g(z,y)>g(x,y),即證：《f(x,z)+"(z,y)>Qf(x,y),

即/(無,z)+/(z,y)+24(x,z)"(z,y)>/(x,y),(*),

又/(%y)具有性質(zhì)p，故/(x,z)+f(z,y)>于(x,y),

結(jié)合24f(x,z)Jf(z,y)?0,知(*)成立，

故g(x,z)+g(z,y)>g(x,y)成立，即函數(shù)g(x,y)=Jf(x,y)具有性質(zhì)P.

⑶先證明：具有性質(zhì)P時，必有〃羽y)20成立，

因為具有性質(zhì)P,由③知/(蒼y)+/(y,x)2/(羽x)=。；

由①知,f(x,y)=f(y,x),故2/(羽y)iO,即成立;

⑴若加<0,當(dāng)具