中考數(shù)學難點突破與經(jīng)典模型專練：軸對稱綜合題中的線段問題（學生版+解析）

專題29軸對稱綜合題中的線段問題

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在MAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到八旬'（7,使點C

落在48邊上，連結(jié)88'，則cos/5'BC'的值為（）

2.如圖，圓。與.QAB的邊AB相切，切點為B.將"繞點3按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△OW8,使點。落

在圓。上，邊A3交線段AO于點C.若4=15。，半徑長為2,則CB的長度為（）.

3.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=6,將.ABC繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'3'C,

若點A恰好在2C邊上，則點2,與點B之間的距離為（）

4.如圖，平行四邊形ABC。中，AB=8,AD=6.ZA=60°,E是邊上且AE=2OE,尸是邊AB上的

一個動點，將線段石尸繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到EG,連接BG、CG,則BG+CG的最小值是（）

A.2721B.25/14C.2sD.10

5.如圖，四邊形ABC。是菱形，AB=2yf3,且ZABC=ZAfiE=60。，G為對角線8。（不含B點）上任意

當AG+3G+CG取最小值時麻的長（）

D.2

6.如圖，在ZABC中，AB=2,BC=3.6,/B=60。，將/ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)度得到4AOE,當點8的對

應(yīng)點。恰好落在BC邊上時，則CD的長為（）

C.2D.2.6

7.如圖，在ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4y/6,。為4ABe內(nèi)一點，ZBAD=15°,AD=6,連接

BD,將△ABO繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使A8與AC重合，點。的對應(yīng)點為點E,連接。E,DE交AC

于點F,則CF的長為（）

A.2或B.26C.2A/3D.272

8.如圖，在，ABC中，ZC<90°,ZB=30°,AB=10,AC=7,。為AC的中點，M為BC邊上一動點,

將，ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角成。°<￡4360。）得到“夕C，點〃的對應(yīng)點為AT,連接OAT,在旋轉(zhuǎn)過

程中，線段的長度的最小值是（）

B

C

A.1B.1.5C.2D.3

9.如圖,等邊△ABC的邊長為6,點。在邊AB上，BD=2,線段繞。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段DE,連

接。E交AC于點R連接AE,下列結(jié)論：①四邊形ADCE面積為96；②△AOE外接圓的半徑為券;

③AF：FC=2：7；其中正確的是（）

10.如圖，RtAlBC中，丫48=90。且。1=62,。為ZX/IBC外一點，連接AO,過。作DELD4交BC于

點E,尸為OE上一點且。尸=/M,連接BF,CD.將線段8繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。到線段CG,連接DG分

別交所、54于點A/、N,連接BG、CF.下列結(jié)論（）

①BM=FM：

②CG=貶DM：

③/BCG>NAND；

@CF+AD>—DG：

2

⑤若BG=2,BC=y/13,CF=布,則四邊形ADPC面積為2+加.

其中正確的個數(shù)為（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題

11.如圖，在ASC中，ZACS=90°,AC=1,BC=2.將..ABC繞BC的中點。旋轉(zhuǎn)得二EFG,連接CE,

則CE的最大值為.

12.如圖，在AASC中，NACB=90。，AC=1,CB=2,將AACB繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到ADCE.連

接D4、BE,直線ZM、BE交于點、F,連接CT.

(1)D4與的等量關(guān)系是：—；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，線段C廠的最大值是—.

13.如圖，長方形ABCD中，AB=3,BC=4,E為BC上一點，且BE=1,尸為A3邊上的一個動點，連接

EF,將所繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接FG和CG,則CG的最小值為

14.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,G是BC的中點，點E是正方形內(nèi)一個動點，且EG=2,連接DE,

將線段OE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。尸，連接CP,則線段CP長的最小值為

三、解答題

15.在AABC與AEDC中，ZACB=ZECD=60°,ZABC=ZEDC,△EDC可以繞點C旋轉(zhuǎn)，連接AE,

BD

⑴如圖1

①若BC=3DC,直接寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系；

②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數(shù)；

(2)如圖2,BC=AC=3,當四邊形ADCE是平行四邊形時，直接寫出線段DE的長

16.(1)如圖1,在四邊形ABC。中，/3=NC=90。，點E是邊上一點，AB=EC,BE=CD,連接AE、

⑵如圖2,在平面直角坐標系中，已知點人(。，1),點C是無軸上的動點，線段C4繞著點C按順時針方向

旋轉(zhuǎn)90。至線段CB,連接3。、BA,

①求B點的運動軌跡解析式

②30+區(qū)4的最小值是

17.如圖1,在等腰三角形ABC中,ZA=?°,AB=AC,AD=AE,連接8E,點M、N、尸分別為

BE、BC的中點.

⑴當c=120時，

①觀察猜想：圖1中，點。、E分別在邊A3、AC上，線段M0、NP的數(shù)量關(guān)系是,ZMNP

的大小為;

②探究證明：把AM見繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE,判斷MNP的

形狀，并說明理由；

(2)拓展延伸：當。=90時，AB=AC=10,AD=AE=6時，把△AOE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3,

請求出MNP面積的最大值.

18.如圖，正方形ABC。中，/MAN=45。，/M4N繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交BC、OC(或它

們的延長線)于點M、N.

(D如圖1,求證：MN=BM+DN；

(2)當AB=6,MV=5時，求△CW的面積;

(3)當/MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時，線段BM、LW和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并

證明.

19.如圖1,己知ASC是等邊三角形，點E在線段A2上，點。在直線BC上，且ED=EC,將aBCE繞

點C順時針旋轉(zhuǎn)60。至△ACT,連接EF.

圖1圖2

（1）證明：AB=DB+AF.

（2）如圖2,如果點E在線段AB的延長線上，其它條件不變，線段AB,DB,AP之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請說明理由.

20.（1）特殊情景：如圖（1）,在四邊形ABCD中，AB=AD,以點A為頂點作一個角，角的兩邊分別交8C,

。于點E,F,且/EA尸=g/BAD,連接EF,若/54。=/=/。=90。，探究：線段DF,之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）類比猜想：類比特殊情景,在上述（1）條件下，把“44。=/3=/。=90?！备某梢话闱闆r“N3+/D=180?！?

如圖（2）,小明猜想：線段BE,DF,跖之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你證明結(jié)論；若不成

立，請你寫出成立時a的取值范圍.

（3）解決問題：如圖（3）,在ZX/IBC中，，54C=90。，AB=AC=4,點。，E均在邊BC上，且/ZM￡=45。，

若=計算OE的長度.

圖⑴圖（2）圖⑶

21.在AABE和△CDE中，ZABE=ZDCE=^0°,AB=BE,CD=CE.

(1)連接AD、BC,點、M、N分別為A"3c的中點，連接MN,

①如圖1,當AE、C三點在一條直線上時，MN與BC數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是.

②如圖2,當?shù)妊黂JCDE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)時，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明你的結(jié)論；如果

不成立，請說明理由.

(2)如圖3,當?shù)妊腃DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)時，連接AC、BD,點、P、。分別為8￡＞、AC的中點，連接PQ,

若A￡=13,CD=5,則PQ的最大值是.

22.在R3A5C中，AC^BC,NACB=90。，點D在BC上方，連接CD將C￡＞繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。到

圖1圖2

⑴如圖1,點。在AC左側(cè)且在點A上方，連接AE,CE,若/ACO=15。，AB=2五,CE=l+36,求

AE的長.

(2)如圖2,點。在AC左側(cè)且在點A上方，連接BE交C。于點M,F為BE上一點、,連接。R過點尸作

FG〃AC交延長線于點G,連接GM,EG,AD.若NEDF+/EBG=NDEB,GM=BM.求證：AD=EF.

⑶如圖3,已知8C=3,CD=6,連接BE交。于點M,連接CE,將△CEM沿直線EM翻折至△ABC所

在平面內(nèi)，得△CEM,當AM+CM最小時，求。到BC的距離.

23.如圖，等邊△ABC與等腰三角形△EDC有公共頂點C,其中/EQC=120。，AB=CE=2底,連接BE,

P為BE的中點，連接尸。、AD

Ag

B

圖1圖3

(1)為了研究線段AD與尸。的數(shù)量關(guān)系，將圖1中的AEOC繞點C旋轉(zhuǎn)一個適當?shù)慕嵌龋笴E與CA重合,

如圖2,請直接寫出AO與的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖1,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由;

(3)如圖3,若NAC￡>=45。,求△的面積.

24.【問題提出】如圖①，在一ABC中，若A8=8,AC=4,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

A

圖③

【問題解決】解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E,使DE=AD,再連結(jié)跳(或?qū)CD繞著點

。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到△EBJD),把42、AC,2AD集中在■中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.由

此得出中線AD的取值范圍是

【應(yīng)用】如圖②，在ABC中，。為邊BC的中點、己知AB=5,AC=3,AD=2.求BC的長.

【拓展】如圖③，在，ABC中，ZA=90°,點。是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點。作交邊

AC于點E連結(jié)E尸.已知3E=10,CF=12,則斯的長為.

25.(1)如圖1,在△O4B和△OC￡)中，0A=0B,OC=OD,ZA0B=ZCOD=39°,連接AC,BD交于

點跖填空：箓的值為

,NAMB的度數(shù)為

(2)如圖2,在△。48和△OCZ)中，ZAOB^ZCOD^90°,ZOBA^Z0DC^6Q°,連接AC交的延

長線于點標請判斷W的值，并說明理由;

(3)在(2)的條件下，將40C。繞點。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,8。所在直線交于點若OD=1,OB=網(wǎng)；

點。為8的中點，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，AQ的最大值為

c

oc

圖1圖2備用圖

26.已知/A8C=90。，BA=BC,在同一平面內(nèi)將等腰直角△ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于180。)

得小ADE.

圖⑴圖⑵圖(3)備用圖

(1)若AE//B。如圖(1),求旋轉(zhuǎn)角乙BAD度數(shù)；

(2)當旋轉(zhuǎn)角為60。時，延長即與BC交于點R如圖(2).求證：AC平分NZM尸

⑶點尸是邊BC上動點，將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15。到AG,如圖(3)示例，設(shè)A8=BC=a,求CG長度

最小值(用含。式子表示)

專題29軸對稱綜合題中的線段問題

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在R/AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到

AAB'C,使點C落在AB邊上，連結(jié)班"貝hos/BBC的值為（）

AC

-IB-?fD.手

【答案】C

【分析】在放AA8C中，由勾股定理可得48=5.根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AC=AC=3,C'B'=CB

=4,C'B=2.利用勾股定理可求出班'，從而求出COS/&BC'.

【詳解】解：在放△ABC中,

AB=JAC2+BC=5,

由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AC'=AC=3,CB'=CB=4,

：.C'B=AB-AC'=2,

BB'=y]c'B'2+C'B2=2非

cosZB'BC'=—=-=J==—.

BB,2卡5

故答案為：C.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，圓。與，OAB的邊AB相切，切點為8.將.。LB繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到

△OA8,使點。落在圓。上，邊43交線段4?于點C.若NA'=15。，半徑長為2,則CB

的長度為（）?

3

A.6B.2C.-D

2-相

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△300'為等邊三角形，進而可求出再利用/A'=15。，可證

11/57

明ABC。是等腰三角形.

【詳解】解：如圖，連接0。

由題意得：B0=00'=B0',

：./\B00'為等邊三角形，

，Z0B0'=60o,

與。。相切于點3,

220=90。.

ZA'BO'=90°,

ZA'B0=ZA'B0'-Z0B0'=30°,

VZA1=15°,

ZA=15°

ZA<9B=90°-ZA=75°,

ZBCC^180o-ZA0B-ZA'B0=75°,

:.BC=BO=2.

故選：B.

【點睛】本題考查圓中切線的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圓與切線的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

3.如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=6,將ABC繞點C逆時針方向旋

轉(zhuǎn)得到△A'3'C,若點A恰好在BC邊上，則點8,與點B之間的距離為（）

A.6GB.6A/6C.6A/2D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得NABC=30。，即可得AB=2AC=12,根據(jù)勾股定理可得

12/57

BC=6y/3,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NACB=NA'CB'=90。，CB=CB',根據(jù)勾股定理即可得.

【詳解】解：在Rt^ABC中，/ACB=90。，ZA=60°,AC=6,

則ZABC=180°-ZACB-ZA=180°-90°-60°=30°,

：.AB=2AC=12,

BC=A/AB2—AC2=\/122—62=6A，

?.二ABC繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C,

ZACB=ZACB'=90°,CB=CB',

**-BB'=ylCB2+CB'2=7（6>/3）2+（6^）2=676,

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定

理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

4.如圖，平行四邊形ABC。中，A5=8,AD=6.ZA=60°,E是邊AD上且=2DE,

廠是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到EG,連接BG、CG,則

3G+CG的最小值是（）

A.2-721B.2714C.2幣D.10

【答案】A

【分析】如圖，取的中點N,連接EN,EC,GN,作EHLCO交CO的延長線于H.利

用全等三角形的性質(zhì)證明/GNB=60。，點G的運動軌跡是射線NG,由“SAS”可證

△EGN=^BGN,可得GB=GE,推出GB+GC=GE+GCNEC,求出EC即可解決問題.

【詳解】解：如圖，取AB的中點N,連接EMEC,GN,作EHLCD交CO的延長線于〃，

?.?四邊形A8CO是菱形,

：.AD=BD,

"：AE=2DE,

：.AE=4,DE=2,

:點N是AB的中點，

：.AN=NB=4,

：.AE=AN,

'：ZA=60°,

13/57

???△AEN是等邊三角形，

，NAEN=NFEG=6。。,

：./AEF=/NEG,

?；EA=EN,EF=EG,

：.AAEF=△NEG(SAS),

???/ENG=/A=60。,

：.ZANE=60°f

：.ZGNB=180o-60°-60o=60°,

???點G的運動軌跡是射線NG,

?；BN=EN,/BNG=/ENG=60。,NG=NG,

：./\EGN=^BGN(SAS),

:?GB=GE,

：.GB+GC=GE+GTEC,

在放△DEH中,

VZH=90°fDE=2,/EDH=60。,

：.DH=^DE=],￡H=5

在R也ECH中，EC=YJEH2+CH2=43+81=2后，

：.GB+GC>2y/2i,

GB+GC的最小值為2向

故選：A.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，軌跡，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想

思考問題，屬于中考?？碱}型.

5.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=26,且/ABC=NABE=60。，G為對角線8。(不

含B點)上任意一點，將ABG繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△￡?尸，當AG+8G+CG取最

14/57

【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”，當瓦EG,C共線時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC

的長.

【詳解】解：如圖：

,/將AABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AEBF,

：.BE=AB=BC,BF=BG,EF=AG,

.?.489G是等邊三角形，

：.BF=BG=FG,

：.AG+BG+CG=EF+FG+CG,根據(jù)“兩點之間線段最短”，

...當E,EG,C共線時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，

過E點作交的延長線于H,如上圖所示：

NEBH=60。,

"：BE=AB=2A/3,

:?BH=也,EH=3,

：.EC=2EH=6,

；NCBE=120°,

ZBEF=30°,

'：NEBF=NABG=3Q°,

：.EF=-CE=2,

3

故選：D.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短路線問題,

正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在4ABC中，42=2,80=3.6,NB=60。，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)度得到』ADE,

當點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上時，則的長為（）

15/57

E

A.1.6B.1.8C.2D.2.6

【答案】A

【分析】由已知可以得到8。的長度，然后可得CD的長度.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB,

,.,ZB=60°,

是等邊三角形，

：.BD=AB=2,

：.CD=BC-BD=36-2=16,

故選：A.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)與等邊三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定

和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.如圖，在ABC中，ZB4C=90°,AB=AC=446,。為，ABC內(nèi)一點，NBAD=15。,

AD=6,連接B。，將△A&D繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使A2與AC重合，點。的對應(yīng)點

為點E,連接。E,交AC于點孔則CP的長為（）

A.2瓜B.2A/5C.273D.20

【答案】A

【分析】過點A作AGLQE于G,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/CAE=/BAD=15。，AE=AD=6,

ZDAE=ZBAC=9Q°,從而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得NAM=45。，DE=6垃,

從而得出乙4尸3=/。4￡+/4￡￡）=15。+45。=60。，再因為AGLOE,根據(jù)等腰直角三角形的性

質(zhì)得到/GAF=30。，AG=GE=；DE=3應(yīng),然后在RdAG尸中，由勾股定理，得

AF2=AG2+FG2=AG2+QAF^,從而求得AF=46，即可由CF=AC-AF求角電

【詳解】解：如圖，過點A作AGLDE于G,

16/57

由旋轉(zhuǎn)可得：ZCAE=ZBAD=15°,AE=AD=6,ZDAE=ZBAC=90°,

.?.△ADE是等腰直角三角形，

???NA?45。，DE=,/AD2+AE2=762+62=672，

???ZAFG=ZCAE+ZAED=15°+45°=60°,

?；AGLDE,

:?DG=GE,ZGAF=30°,

/.AG=GE=—DE=3\/2,FG=—AF,

22

在RdAGP中，由勾股定理，得

AF2=AG2+FG2=AG2+Q，即人尸？=（3拒『+［：4尸），

解得：AF=2冊,

/.CF=AC-AF=4^/6-2&=2n,

故選：A.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形

的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在，ASC中，ZC<90°,ZB=30°,AB=10,AC=7,。為AC的中點，M為

BC邊上一動點，將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角。（。°<￡4360。）得到△AB'C',點M的對應(yīng)

點為連接OAT,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段Q0'的長度的最小值是（）

A.1B.1.5C.2D.3

【答案】B

【分析】如圖：由題意知當旋轉(zhuǎn)到AT點在AC的延長線上且AC與5〃C”垂直時，的

長度最??；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得*C"=30=10,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得AM",由中

點的定義可求得OA,最后OM"=AAT-AO計算即可.

【詳解】解：由題意知當旋轉(zhuǎn)到點在AC的延長線上且AC與5"C"垂直時，?！?的長

度最??；

17/57

..?將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角4?！?lt;04360。）

?.B"C"=BC=10

VAC±B"C",ZB=30°

/.AM"=-BC"=5

2

為AC的中點

,,.AO=—AC=3.5

2

OM'=AAr—AO=5—3.5=15.

故選B.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，掌握30。所對的直角邊是斜邊的

一半.

9.如圖，等邊△ABC的邊長為6,點。在邊42上，BD=2,線段CD繞。順時針旋轉(zhuǎn)60。

得到線段。E,連接。E交AC于點死連接AE,下列結(jié)論：①四邊形AOCE面積為9招；

②△ADE外接圓的半徑為串；③AF：FC=2：7；其中正確的是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

【答案】A

【分析】如圖1,在8C上取一點使得BM=2,連接DM,分別過。、A作。"_LBGAMA.BC,

垂足為H、M,由AABC的邊長為6的等邊三角形，得/B=60。，AB=BC=AC=6,進而

證明ABCM的邊長為2的等邊三角形，△CDE的邊長為2s■的等邊三角形，再證明

AADE^ABCM,得至ljAE//BC,于是有S因邊形ADCE=S梯形ABCE-S^BDC

=|X（2+6）X3A/3-|X6XA/3=95/3,由NZME=120。，DE=2幣,得△的＞￡外接圓的半徑

為等,證明△ZMCS^CDP,判斷③正確，從而得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖1,在8C上取一點使得BM=2,連接分別過。、A作

DH1BC,AMLBC,垂足為反、M,

18/57

△ABC的邊長為6的等邊三角形，

^fi=60°,AB=BC=AC=6f

BD=2,BM=2,

??.△BZW的邊長為2的等邊三角形，4)=6-2=4,

?.ZB=ZBDM=ZBMD=6。。,DM=BD=BM=2,

AG=ABsin60°=6x—=3^,DH=BDsinG。。=2義@=邪，=BDcos60°=2x^=1,

222

ZCMD=180°-60°=120°,CM=BC-BM=Q-2=A=AD,

??.CH=BC-BH=6-L=5,

??.CD=VCH2+DH2=)2+52=2幣,

線段。繞。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段DE,

「.△CD石的邊長為2s■的等邊三角形，

?.CD=DE=CE=2&,NCD石=60°，

ZADC=ZADE+ZCDE=ZADE+60°=NB+/BCM=60°+ZBCM,

ZADE=ZBCMf

AADE^ABCM,

A

ZDAE=ZCMD=120°fAE=DM=2,

ZZME+ZB=180°,

??.AE//BC,

,*S四邊形ADCE=S梯形ABCE-S^BDC

=1X(2+6)X3A/3-|X6XV3

=9后＞

因此①正確；

ZDAE=nO°,DE=2幣,

??.△ADE外接圓的直徑為必乙=

sin6003

.?.△AAE外接圓的半徑為岑，

因此②正確；

ZZMC=NCDF=60。，NDCF=ZAFD,

ADACsACDF,

19/57

,DCCFBn2"_CF

??---=---即---------f=

ACCD62g

CF=—,

.■.AF：FC=2:7,

因此③正確；

故應(yīng)選A.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定、全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形

的性質(zhì)及判定、圖形的旋轉(zhuǎn)以及圓等知識，構(gòu)造輔助線證明三角形全等和三角形相似是解題

的關(guān)鍵.

10.如圖，RtAlBC中，刈48=90。且。4=。3,。為△ABC外一點，連接AD,過。作

DELUA交BC于點、E,尸為DE上一點且連接8尸，CD.將線段8繞點C逆時

針旋轉(zhuǎn)90。到線段CG,連接。G分別交8尸、出于點M、N,連接BG、CV.下列結(jié)論()

①BM=FM：

@CG=y/2DM：

③NBCG>NAND■

@CF+AD>—DG：

2

⑤若BG=2,BC=413,CF=45,則四邊形皿P面積為2+癡.

【分析】先證明ABCG四△ACD(SAS),再證明-GMB(AAS),得到對應(yīng)邊相等,

對應(yīng)角相等，依次得出①正確和③錯誤，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，得出②正

確，由三角形的三邊關(guān)系，可以得出④正確，利用勾股定理逆定理和三角形面積公式即可

20/57

判定⑤正確.

【詳解】如圖，連接他,

VZACB=90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)有：ZGCD=90°,CG=CD,

：.N7=ZGCD-/BCD=ZACB-/BCD=Z5,

又；CA=CB,CD=CG,

：.△BCGg^ACD(SAS),

BG=AD,/2=/C4D,

BG=AD=DF,

'：DE±DA,

：.ZADE=90°,

.?.在四邊形ACED中,ACAD+ZC￡D=360°-NACB-4ADE=180°,

ZCAD=Z1,

/.Nl=/2,

Z3=Zl+Z4=Z2+Z4=ZGBAf,

又,：NDMF=/GMB,BG=DF,

：..DMF^GMB(AAS),

：.GM^DM=-DG,BM=FM,故①正確；

2

在RtADCG中，CD2+CG2=DG2,CG=CD,

：.2CG2=(2Z)M)2,CD=^-DG,

**-CG=yf2DM，故②正確；

'/AD=DF,

?*.CF+AD=CF+DF>CD,即CF+A￡>>立DG,故④正確；

2

在等腰RtAABC和等腰RtAC￡)G中，/CAN=/CDN&5。,Z8=ZNDC+Z6,

Z8^ZNAC+Z5,

：./5=N6,

AZ7=Z6,故③錯誤；

21/57

若BG=2,BC=713,CF=非,

：.BG=AD=DF=2,

AF2=AD2+DF-=8,BPAF=2A/2，

AF2+CF-=13=BC2=AC2,

，.AFC是直角三角形，AF1CF,

+

,?S四邊形SAAFC=-x2x2+-xA/5x25/2=2+\/10,故⑤正確；

即正確的有4個，

故選：C.

【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形

等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能正確分析圖形中的相等關(guān)系，能在相等的邊和角中進行轉(zhuǎn)化,

能構(gòu)造直角三角形進行求解等.

二、填空題

11.如圖，在ABC中，ZACB=90°,AC=1,3c=2.將，ABC繞2C的中點。旋轉(zhuǎn)得.EFG,

連接CE,則CE的最大值為.

【答案】V2+l##l+V2

【分析】如圖所示，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點A的對應(yīng)點E始終在以點。為圓心，D4為半徑的

圓上；延長交。。于點類比于“直徑是圓中最長的弦”，則CM的長就是CE的最大

值，為此求出CM的長即可.

【詳解】解：如圖所示，連接D4,以點。為圓心，D4為半徑畫圓，

在旋轉(zhuǎn)的過程中，點A的對應(yīng)點E始終在。。上，延長交。。于點類比于“直徑是

圓中最長的弦”，則CM的長就是CE的最大值.

?.,。是的中點，

CD=-CB=-x2=l,

22

在RfACD中，

22/57

DA2=AC2+CD2,

DA=YIAC2+CD2=7I2+I2=V2,

:.DM=DA=應(yīng),

CM=CD+DM=l+yf2,

?'-CE的最大值是V2+1.

故答案為：V2+1.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理、求線段的最值等知識點，熟練

掌握旋轉(zhuǎn)和圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在AASC中，NACB=90。，AC=1,CB=2,將AACB繞點C按逆時針方向旋

轉(zhuǎn)得到ADCE.連接ZM、BE,直線ZM、BE交于點F,連接CP.

（1）加與座的等量關(guān)系是：—；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，線段C/的最大值是—.

【答案】EB=2DAx/5

DAACI

【分析】(l)由旋轉(zhuǎn)可知：ADCEsAACB,可證ADCASAECB,即得一=——=-，EB=2DA；

EBCB2

(2)取A5的中點H,連接C”，F(xiàn)H,設(shè)石C,。方交于點G,由(1)知ADCASAECB,

得NCDG=NGEF,可得NGCD=NGFE=90。=ZAFB=ZACB,由H是A5的中點，有

FH=^AB=|VAC2+BC2=IV5=CH,故當C,H,/共線時，CF最大為FH+CH=布.

【詳解】解：(1)EB=2DA,理由如下：

由旋轉(zhuǎn)可知：ADCE=AACB,

:.ZDCE=ZACB,DC=AC,CE=CB,

DCAC

:.ZDCA=ZBCE,——=——,

CECB

:.\DCA^\ECB,

?_A。_i

一商一百一5'

.,.EB=2,DA；

故答案為：EB=2DA；

(2)取42的中點連接CH,FH,設(shè)EC,。尸交于點G,如圖：

由(1)知ADCASAECB,

.-.ZCDG=ZGEF,

ZCGD=ZEGF,

23/57

:.ZGCD=ZGFE=90°=ZAFB=ZACB,

7/是AB的中點，

FH=-AB=--JAC2+BC2=-Vl2+22=-y[s=CH,

2222

CH+FH..CF,

，當C,H,尸共線時，CF最大為FH+CH=布,

故答案為：Vs.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是

掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

13.如圖，長方形ABCD中，AB=3,BC=4,E為上一點，且BE=1,尸為A2邊上的

一個動點，連接石尸，將E尸繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接FG和CG,貝iJCG的

最小值為.

AD

【分析】如圖，將線段BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)45。得到線段ET,連接OE交CG于J.首先

證明NE7G=90。，推出點G的在射線7U上運動，推出當CGLTG時，CG的值最小.

【詳解】解：如圖，將線段BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)45。得到線段￡7,連接DE交CG于J.

???四邊形A3CD是矩形，

/.AB=CD=3,NB=/BCD=9Q°,

,/ZBET=ZFEG=45°,

：.ZBEF=ZTEG,

VEB=ET,EF=EG,

二EBF絲ATEG(SAS),

二NB=NETG=90°,

.?.點G的在射線7U上運動，

當CGJ_TG時，CG的值最小，

24/57

VBC=A,BE=1,CD=3,

:?CE=CD=3,DE=372，

???ZCED=ZBET=45°f

：.ZTEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

???四邊形是矩形，

DE//GT,GJ=TE=BE=1,

：.CJVDE,

:?JE=JD,

???CG=C7+GJ=1+^—,

2

，CG的最小值為：1+述.

2

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，

解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

14.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,G是BC的中點，點E是正方形內(nèi)一個動點，且EG=2,

連接DE,將線段DE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。尸，連接C/,則線段C/長的最小

值為_.

【答案】2>/5-2##-2+2^/5

【分析】連接。G,將。G繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得DM,連接MG,CM,MF,作MHLCD

于H,利用&4s證明AEDG=ADFM,得MF=EG=2,再說明ADGC=ADM/(A4S),得

CG=DH=2,MH=CD=4,求出CM的長，再利用三角形三邊關(guān)系可得答案.

【詳解】解：連接QG,將OG繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得ZMf,連接MG,CM,MF,

作MH_LC￡>于H,

25/57

ZEDF=ZGDM,

.-.ZEDG=ZFDM,

DE=DF,DG=DM,

:.AEDGHAFDM(SAS),

:.MF=EG=2,

Z.GDC=ZDMH,ZDCG=ZDHM,DG=DM,

\DGC=ADAfff(A4S),

:.CG=DH=2,MH=CD=4,

.-.CM=A/42+22=2>/5>

CF..CM-MF,

：.CF的最小值為2方-2,

故答案為：2百-2.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理,

三角形三邊關(guān)系等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

15.在AABC與AEOC中，ZACB=ZECD=60°,ZABC=ZEDC,△￡￡)(7可以繞點C旋

轉(zhuǎn)，連接AE,BD

圖1圖2

⑴如圖1

①若BC=3DC,直接寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系;

②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數(shù)；

26/57

(2)如圖2,BC=AC=3,當四邊形ADCE是平行四邊形時，直接寫出線段DE的長

【答案】(1)①②直線與AE所夾銳角為60。

(2)DE=^3

［分析］(1)①通過△ABC^AEDC證明△AECsABDC即可，②延長AE與8。交于點F,

通過(1)中的相似即可得出結(jié)果.

(2)連接AO,AE,通過(1)中的相似可以證明四邊形A0CE為菱形，進而得出結(jié)論.

(1)

解：①5Z)=3AE

???在△ABC和△EOC中

ZACB=NECD

ZABC=NEDC

△ABC^AEDC

BCAC

工ZDCE=ZBCA

f~DC~~EC

：.ZDCE-ZBCE=ZACB-ZBCE

BCDC

ZBCD=ZACE.

~\C~~EC

在^AEC和^BDC中

/BCD=/AC

<BCDC

、AC-EC

AAECsABDC

BC_BD

AE

：.BD=3AE

②夾角為60。

如圖，延長AE與交于點尸

ZACB=60°

.'.ZCBA+ZG4B=120°

由(1)中△AECs/seoc

27/57

可得NEAC=/DBC

：.ZDBC+ZCBA+ZBAE=120°

.?.在△AFB中乙M%=60。

/.直線BD與AE所夾銳角為60°

(2)

解：如圖，連接AO,AE,'：ZACB=6Q°,BC=AC,

：.^ABC是等邊三角形

由(1)可得△ABCS/XEDC

.,.△DEC為等邊三角形,

：.DC=EC

,/四邊形ADCE是平行四邊形

平行四邊形ADCE是菱形

VAC為菱形ADCE對角線

；?DE=—AC

3

：.DE=6

【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及三角形相似的證明，菱形的證明，能夠熟練證明相

似是解題關(guān)鍵.

16.(1)如圖1,在四邊形ABCD中，/B=/C=90。，點E是邊上一點，AB=EC,BE=CD,

(2)如圖2,在平面直角坐標系中，已知點人(。，1),點C是x軸上的動點，線段C4繞著點

C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。至線段CB,連接3。、BA,

28/57

①求8點的運動軌跡解析式

②30+癡的最小值是.

【答案】（1）見詳解

（2）①y=x-l；②赤

【分析】（1）根據(jù)已知條件證得ECD,即可證得△AED為等腰直角三角形；

（2）①根據(jù)（1）可知.AOCMCD3,設(shè)2點坐標為（x，y）,C點坐標為（僅0）,可得了=加+1,

y=m,即點2的運動軌跡解析式為：y=x-l；

②作點。關(guān)于直線y=xT的對稱點。I，連接A。，交直線y=x-l與點與，此時A、。1、B,

三點共線時，30+BA值最小，求得。I坐標為（1,-1）,根據(jù)勾股定理即可求得最小值.

【詳解】（1）△血）為等腰直角三角形，理由如下，

在AWE與“ECO中，

AB=EC

?：（ZB=ZC,

BE=CD

ABE=..ECD（SAS）,

：.AE=DE,NBAE=NCED,

?/XBAE+ZBEA=9Q°,

NBEA+NCED痂。,

NAED=90。,

為等腰直角三角形；

（2）①作3￡）J_x軸于點。，如圖所示，

由（1）得，AOC三CDB,

：.AO=CD=1,CO=BD,

設(shè)8點坐標為（x,y）,C點坐標為（機,0）,

：.x=m+\,y=m,

y=x-l,

???點B的運動軌跡解析式為：y=x-l；

②如圖所示，作點。關(guān)于直線產(chǎn)x-1的對稱點。l，連接AO］，交直線＞