中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：與圓有關(guān)的性質(zhì)（題型歸納）原卷版+解析

專題14與圓有關(guān)的性質(zhì)

題型分析

卮題型演練

題型一圓的基本概念辨析

i.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.過(guò)圓心的直線是圓的直徑

B.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦

C.相等長(zhǎng)度的兩條弧是等弧

D.頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角

2.如圖，圖中。。的弦共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.弧長(zhǎng)相等的弧是等弧B.直徑是最長(zhǎng)的弦

C.三點(diǎn)確定一個(gè)圓D.平分弦的直徑垂直于弦

4.如圖在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,M是AD邊的中點(diǎn)，N是A2邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿MN所

在直線折疊，得到△AMN,連接AC,則AC的最小值是.

5.某校計(jì)劃在校園內(nèi)修建一座周長(zhǎng)為20m的花壇，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)出正三角形，正方形和圓三種圖案，通過(guò)計(jì)

算說(shuō)明使花壇面積最大的圖案是(填圖形).

6.如圖，在。。中，點(diǎn)A、8在圓上，且則/。R的度數(shù)為'

7.如圖，是的直徑，C是及延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)。在。。上，且CD=Q4,8的延長(zhǎng)線交于

點(diǎn)E,若ZBOE=57。，試求/C的度數(shù).

8.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，AASC的頂點(diǎn)A,C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上.

(1)線段AC的長(zhǎng)等于.

(2)以A3為直徑的半圓的圓心為。，在圓上找一點(diǎn)E,使AE平分請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作圖;

(3)以為直徑的半圓的圓心為0,在線段上有一點(diǎn)尸，滿足AP=AC.請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所

示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)P.

題型二垂徑定理的應(yīng)用

9.如圖的周長(zhǎng)是20萬(wàn)，A2是的弦，AB1CD,垂足為M,若OM:OC=3:5,則A8的長(zhǎng)為()

B

A.8B.12C.15D.16

則。。的半徑為（）

D.7

11.在。。中，A8是直徑，8是弦，AB//CD,將圓沿著CO翻折，使弧C3與直徑AB相交于點(diǎn)E和R

且AE=EF=BF=2,8的長(zhǎng)為

12.如圖是一座圓弧型拱橋的截面示意圖，若橋面跨度45=48米，拱高CD=16米（C為43的中點(diǎn)，D為

弧A3的中點(diǎn)）.則橋拱所在圓的半徑為.米.

13.如圖，在AABC中，AB=AC=10,3c=12.

（1）尺規(guī)作圖：作&4BC的外接圓，圓心為。（保留作圖痕跡）;

（2）求AABC外接圓的半徑.

14.已知：。。的半徑為5,點(diǎn)C在直徑A3上，過(guò)點(diǎn)C作。。的弦DESA?,過(guò)點(diǎn)。作直線EB的垂線。尸,

垂足為點(diǎn)

a

圖i備用圖

(1)如圖1,當(dāng)AC=2時(shí)，求線段￡B的長(zhǎng);

(2)當(dāng)點(diǎn)尸是線段EB的中點(diǎn)時(shí)，求。尸的長(zhǎng);

(3)如果EF=33尸，求線段AC的長(zhǎng).

題型三利用弧'弦'圓心角的關(guān)系求解

15.如圖，在兩個(gè)同心圓中，為60。，則CD的度數(shù)為()

A.30°B.40°C.50°D.60°

16.下列說(shuō)法中正確的是()

A.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓B.相等的圓心角所對(duì)的弧也相等

C.圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑都是它的對(duì)稱軸D.等弧所對(duì)的圓周角相等

17.若一個(gè)圓的半徑是6cm,則90度的圓心角所對(duì)的弦的長(zhǎng)度為.

18.如圖，點(diǎn)A在半圓。上，2C是直徑，=若AB=2,則BC的長(zhǎng)為_(kāi).

19.如圖，在"LBC中，/。=90。,//=20。，以點(diǎn)C為圓心，8c為半徑的圓交A8于點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,

求金的度數(shù).

B

20.如圖，在O。的內(nèi)接四邊形ABC。中，DB=DC,2D4E是四邊形ABCD的一個(gè)外角.求證:

/DAE=NDAC.

題型四利用弧'弦'圓心角的關(guān)系證明

IMIIMMII1^IIIIIM1IMII

21.下列命題中，正確的是（）

①同弧所對(duì)的圓周角相等；②相等的圓心角，所對(duì)的弧也相等；③兩條弦相等，它們所對(duì)的弧也相等；④

在等圓中，圓心角不等，所對(duì)的弦也不等

A.①②B.①③C.①④D.①②③④

22.如圖，在。。中，OA=AB,OCLAB,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

C

A.弦A2的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)B.弦AC的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng)

C.AC=BCD.ZBAC=30°

23.如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E都是O。上的點(diǎn)，AC=AE,"=128。，則ZB=

24.如圖，。。的兩條弦A3、8互相垂直，垂足為E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,則。。的半徑

為—?

25.如圖，在。。中，弦8相交于點(diǎn)尸，且AB=CD,求證：AP=CP.

26.如圖，。。是AABC的外接圓，平分,54C,交BC于點(diǎn)F,交。。于點(diǎn)。，BE平分/A3C,交A。

于點(diǎn)E,連接50.

⑴求證：ZBED=NEBD；

（2）若點(diǎn)A是/MC的中點(diǎn)，求證：DE=CF.

題型五圓心角的概念辨析

27.下列說(shuō)法正確的是（）

A.如果一個(gè)角的一邊過(guò)圓心，則這個(gè)角就是圓心角

B.圓心角a的取值范圍是0。</<180。

C.圓心角就是頂點(diǎn)在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角

D.圓心角就是在圓心的角

28.如圖AABC中，/C=9（r,/B=20。，以C為圓心，C4為半徑的圓交A5于點(diǎn)則AO的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

29.如圖，在。。中，劣弧AB的度數(shù)為75。，則圓心角NAO3=°

30.如圖，A8是。O的弦，ZA=50°,則NAO3=.

31.如圖，AB、CD是。。的直徑，弦CE〃AB,弧CE的度數(shù)為40。，求NAOC的度數(shù).

32.如圖所示，以。為圓心的兩個(gè)同心圓，小圓半徑為1,大圓半徑為百，用6條直徑將兩個(gè)圓12等分,

點(diǎn)A在大圓等分點(diǎn)上，點(diǎn)2在小圓等分點(diǎn)上，且NAOF=90。.

(1)將AABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得AABQ,請(qǐng)?jiān)趫D甲中畫(huà)出△ABQ.

(2)將AABO繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得VA/z。，使邊&星第一次經(jīng)過(guò)點(diǎn)3請(qǐng)?jiān)趫D乙中畫(huà)出V&與。.

題型六圓周角的概念辨析

■■

33.下列圖形中的角是圓周角的是()

34.如圖，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，4、3、。是小正方形頂點(diǎn)，。。的半徑為1,P是

0O上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則sin/APB等于()

「73

A,—2BD.1

-T2

35.如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦8。交AC于點(diǎn)P,連接AO.下列角中，AB所對(duì)圓周角的是（）

A.ZAPBB.ZABDD.ZBAC

36.已知點(diǎn)A、B、C、。在圓。上，且FD切圓。于點(diǎn)。，OELCD于點(diǎn)E,對(duì)于下列說(shuō)法：①圓上A此

是優(yōu)?。虎趫A上A6D是優(yōu)??；③線段AC是弦；④NC4D和NADF都是圓周角；⑤NCQ4是圓心角，其中

正確的說(shuō)法是

37.如圖，點(diǎn)A,8,C,。均在圓上，則圖中有..個(gè)圓周角.

題型七圓周角的性質(zhì)應(yīng)用

38.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO.若NAOC=118。，則的大小為（）

A.111°B.118°C.121°D.126°

39.如圖，已知四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，S.AB=CD=5,AC=1,BE=3,下列命題錯(cuò)誤的是

)

A

(

A.AABE名ADCEB./fiZM=45°

C.SABCD=24.5D.圖中全等的三角形共有2對(duì)

40.如圖，點(diǎn)A,5在。。上，連結(jié)Q4,C)B,且ZAO3=76。，若點(diǎn)P是圓上異于A,3的另一點(diǎn)，則

ZAPB=___________.

3

(

41.如圖，在圓內(nèi)接正六邊形A5cDE尸中，BD,EC交于點(diǎn)G,已知半徑為石，則EG的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

%-

-。

42.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以5C為直徑的圓，圓心為0,且=延長(zhǎng)CB、DA交于P,連接04.

E

⑴求證：OA//CD；

⑵過(guò)C點(diǎn)作PD的垂線交PD的延長(zhǎng)線于E,且PB:30=2:3.

①求線段OC：BC的值；

②若CD=16,求DE的長(zhǎng).

43.如圖，AB是。。的直徑，。是AC的中點(diǎn)，且。。交AC于點(diǎn)E,連接。C并延長(zhǎng)交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F.

(1)3ZA=16°,求/尸的大小.

（2）當(dāng)OO的半徑為6,DE=4,求CD的長(zhǎng).

「II■Ml■MlIMiI■1^III■Ml■.

題型八半圓或直徑所對(duì)的圓周角為90°及其逆應(yīng)用

-

44.如圖，AB為的直徑，C、。是。O上的兩點(diǎn)，NZMC=25。，AD=CD,則4c的度數(shù)是（）

45.如圖，OO中，弦AB1AC,AB=4,AC=2,則。。直徑的長(zhǎng)是（）.

A.2A/5B.2A/2C.6D.75

46.如圖，是的外接圓，ZA=60°,BC=4>/3,則。。的半徑是

47.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30。的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限.其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落

x軸、》軸上，且AB=13cm,點(diǎn)C與點(diǎn)0的距離的最大值=cm.

48.如圖，以線段48為直徑作。。，交射線AC于點(diǎn)C,AD平分/C4B交。。于點(diǎn)D過(guò)點(diǎn)。作直線

DE_LAC^WE,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.連接30并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)

(1)求證：直線。E■是。。的切線；

(2)求證：AB=AM；

(3)若ME=1,ZF=30°,求所的長(zhǎng).

49.如圖，AB是。。的直徑，8是弦.

⑴若NBCD=32。，求4BD的度數(shù).

⑵若/BCD=30。，。。的半徑r=4,求8。的長(zhǎng).

專題14與圓有關(guān)的性質(zhì)

題型分析

|題型演練

題型一圓的基本概念辨析

?

i.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.過(guò)圓心的直線是圓的直徑

B.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦

C.相等長(zhǎng)度的兩條弧是等弧

D.頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角

【答案】B

【分析】根據(jù)直徑，弦，等弧，圓周角的定義，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、過(guò)圓心的弦是圓的直徑，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故此選項(xiàng)符合題意；

C、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)的角是圓周角，故此選項(xiàng)不符合題意;

故選：B.

2.如圖，圖中。。的弦共有（）

12/49

c

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【分析】根據(jù)弦的定義即可求解.連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直

徑，直徑是一個(gè)圓里最長(zhǎng)的弦.

【詳解】解：圖中有弦共3條，

故選C.

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.弧長(zhǎng)相等的弧是等弧B.直徑是最長(zhǎng)的弦

C.三點(diǎn)確定一個(gè)圓D.平分弦的直徑垂直于弦

【答案】B

【分析】根據(jù)等弧的概念、弦的概念、確定圓的條件以及垂徑定理判斷即可.

【詳解】A、能夠重合的弧是等弧，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符

合題意；

B、直徑是最長(zhǎng)的弦，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；

C、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、平分弦（不是直徑的弦）的直徑垂直于弦，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B.

4.如圖在矩形A3CD中，AB=4,3C=2,又是AD邊的中點(diǎn),N是A3邊上的動(dòng)點(diǎn)，將AAAW

沿MV所在直線折疊，得到△A'MZV,連接AC,則AC的最小值是.

【答案】V17-1

【分析】根據(jù)矩形折疊的性質(zhì)得到A〃=AM=1,確定出當(dāng)點(diǎn)A，在線段MC上時(shí)，AC有

最小值，再利用勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：；四邊形ABCD是矩形，

二AB=CD=4,BC=AD=2.

是AD的中點(diǎn)，

13/49

：?AM=MD=1.

???將AAMN沿MN所在直線折疊，

AM=AM=1,

...點(diǎn)A，在以點(diǎn)M為圓心，四為半徑的圓上，

，如圖，當(dāng)點(diǎn)A，在線段MC上時(shí)，AC有最小值,

MC=VCD2+MD2=A/42+12=717,

AC的最小值為—=舊一1

故答案為：A/17-I.

5.某校計(jì)劃在校園內(nèi)修建一座周長(zhǎng)為20m的花壇，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)出正三角形，正方形和圓三

種圖案，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明使花壇面積最大的圖案是（填圖形）.

【答案】圓

【分析】分別求出正三角形，正方形和圓三種圖案的面積，即可求解.

【詳解】解：當(dāng)設(shè)計(jì)成正三角形，則邊長(zhǎng)是"m,則面積是I。。.

3-------———=--------m

49

當(dāng)設(shè)計(jì)成正方形時(shí)，邊長(zhǎng)是5m,則面積是52=25n?；

當(dāng)設(shè)計(jì)成圓時(shí)，半徑是h=Wm,則面積是

?兀兀\71）71

??.這三個(gè)數(shù)中期最大，

71

.,?使花壇面積最大的圖案是圓.

故答案為：圓.

6.如圖，在。。中，點(diǎn)A、B在圓上，且AB=04,則/的度數(shù)為°.

【答案】60

【分析】連接。8,證明AABC是等邊三角形，可得結(jié)果.

【詳解】解：連接。8,

VOA=AB,OA=OB,

：.OA^OB^AB,

：.AABC是等邊三角形，

ZOAB=60°,

14/49

故答案為：60.

7.如圖，A3是O。的直徑，C是54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)。在。。上，且CD=。!，CD的

延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)E,若ZBOE=57。，試求NC的度數(shù).

【答案】ZC=19°.

【分析】利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)得到々QE=3NC,即可

解決問(wèn)題.

【詳解】解：：co=Q4=or>,

，ZC=ZDOC,

NODE=ZC+ZDOC=2ZC,

,?OD=OE,

NE=ZEDO=2NC,

：.NBOE=ZC+ZE=3ZC=57°,

，ZC=19°.

8.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A,C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在

網(wǎng)格線上.

(1)線段AC的長(zhǎng)等于；

(2)以A8為直徑的半圓的圓心為0,在圓上找一點(diǎn)E,使AE平分NOLB請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺

作圖；

(3)以為直徑的半圓的圓心為。，在線段A3上有一點(diǎn)P,滿足AP=AC.請(qǐng)用無(wú)刻度的

直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)P.

【答案】(1)6

(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析

(3)畫(huà)圖見(jiàn)解析

【分析】(1)直接利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

15/49

(2)如圖，取BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)。，連接。。并延長(zhǎng)0D交。O于點(diǎn)E,則E即為所求，

(3)記AE交BC于點(diǎn)G,連接BE,延長(zhǎng)AC交BE的延長(zhǎng)線于E連接尸G延長(zhǎng)尸G交A2于

點(diǎn)、P,則點(diǎn)尸即為所求.

【詳解】(1)解：由勾股定理可得：

AC=Vl2+22=75?

(2)如圖，取BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)。，連接0。并延長(zhǎng)OD交。。于點(diǎn)E,則E即為所求，

理由如下：由格線。T〃BS,CT=TS=2,

,CTCD,

"：OA=OB,

0。為AABC的中位線，

：.OD//AC,

：.ZOEA=ZCAE,

'：OA=OE,

：.ZOEA=ZOAE,

：.ZCAE=ZOAE,即AE平分NG4B.

(3)記AE交BC于點(diǎn)G,連接BE,延長(zhǎng)AC交BE的延長(zhǎng)線于E連接FG延長(zhǎng)尸G交AB于

點(diǎn)、P,則點(diǎn)尸即為所求.

由OE〃AC,OA=OB,

同理可得：0E為V3E4的中位線，

/.OE=-AF,^OE=-AB,

22

AB=AF,

???AE平分/C4B,

/.AE是跳'的垂直平分線，

：.BG=FG,△AFB與AABE關(guān)于直線AE對(duì)稱，

，ZAFG=ZABG,

?/ZFAP=ZBAC,

：.^FAP^^BAC,

：.AP=AC,則點(diǎn)尸即為所求.

題型二垂徑定理的應(yīng)用

II

9.如圖。。的周長(zhǎng)是20萬(wàn)，48是。。的弦，AB1CD,垂足為M,若OM:OC=3:5,則

16/49

AB的長(zhǎng)為（）

【答案】D

【分析】連接。4,先根據(jù)。。的周長(zhǎng)是20萬(wàn)，可求得半徑為10,根據(jù)OM:OC=3:5可求

出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可求出AM的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理進(jìn)而得出結(jié)論.

二【詳解】解：如圖：連接。4,

???0。的周長(zhǎng)是20萬(wàn),

.??。0的半徑oc=也=10,

171

???OM:OC=3:5,

33

:.OM=-OC=-xlO=6,

55

?「AB是。。的弦，ABVCD,

:.AM=y/oA2-OM2=V102-62=8，

..AB=2AM=16,

故選：D.

10.如圖，在O。中，弦A5的長(zhǎng)為8cm,圓心到AB的距離為3cm,則。。的半徑為（）

c5

A.4B.5C.3D.7

【答案】B

17/49

【分析】由垂徑定理可得AE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)，即為圓的半徑.

【詳解】解：作于￡,連接A。，

/.AE=BE=-AB=4,

2

又：OE=3,

OA=A/32+42=5>

故選：B.

11.在。。中，AB是直徑，C。是弦，AB//CD,將圓沿著C。翻折，使弧8與直徑A3相

交于點(diǎn)E和尺^(guò).AE=EF=BF=2,8的長(zhǎng)為_(kāi)____.

【答案】277

【分析】設(shè)翻折前與EF對(duì)應(yīng)的弦為E'F',過(guò)圓心。作，E'F'于點(diǎn)交C￡>于點(diǎn)N,

連接OC、OF,,根據(jù)垂徑定理以及翻折的性質(zhì)，勾股定理即可求解.

【詳解】解：：是。。的直徑，AE=EF=BF=2,

：.AB=6,

設(shè)翻折前與所對(duì)應(yīng)的弦為E'F',過(guò)圓心。作QWLE'P'于點(diǎn)交8于點(diǎn)N,連接。C、

OF',如圖：

則ET'=EF=2,

18/49

E'M=F'M=-E'F'=1,OC=OF'=-AB=3,

22

AB//CD,

：.E'F'//CD,

OMVCD,

：.CN=DN=-CD,

2

由翻折可知：ON=MN=-OM,

2

在RMOMF'中，由勾股定理得加=,0k2_尸^2=20，

/.ON=-OM=y/2,

2

在R^OCV中，由勾股定理得，

CN=y10C2-0N2=小2-（廚=幣,

CD=2CN=277,

即8的長(zhǎng)為2A/7.

故答案為：2幣.

12.如圖是一座圓弧型拱橋的截面示意圖，若橋面跨度AS=48米，拱高CD=16米（C為A3

的中點(diǎn)，。為弧A8的中點(diǎn)）.則橋拱所在圓的半徑為米.

【答案】26

【分析】根據(jù)垂徑定理得AC=CB=24,設(shè)圓的半徑為R,根據(jù)勾股定理列方程求出R即可.

【詳解】解：如圖，橋拱所在圓的圓心為。，半徑為凡連接OCO8

為的中點(diǎn)，。為弧的中點(diǎn),

/.aC、。三點(diǎn)共線，且OCLAB

19/49

AC=CB=-AB=24,

2

OC=OD-CD=R-\6

在RtAOCB中，根據(jù)勾股定理得OB2=OC2+CB2

7?2=(7?-16)2+242

解得R=26

故答案為：26

13.如圖，在AABC中，AB=AC=10,3c=12.

⑴尺規(guī)作圖：作AABC的外接圓，圓心為。（保留作圖痕跡）；

（2）求AABC外接圓的半徑.

25

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）4

【分析】（1）首先畫(huà)出A8和AC的垂直平分線，兩線交于點(diǎn)0,以。為圓心，8。長(zhǎng)為半

徑畫(huà)圓即可；

（2）過(guò)A作AD13C,連接20,設(shè)“BC的外接圓的半徑49=r,首先利用勾股定理

計(jì)算出AD的長(zhǎng)，然后再利用勾股定理計(jì)算出r即可.

【詳解】（1）解：如下圖，

畫(huà)出AB和AC的垂直平分線，兩線交于點(diǎn)O,以。為圓心，B。長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，。。即為

所求；

（2）如上圖，過(guò)A作AD13C,連接2。，

設(shè)AABC的外接圓的半徑=

:四=/C=10,BC=\2,

：.BD=6,

AD=A/102—62=8,

20/49

.,.6+（r-8）-=r2,

解得：r=^25.

4

14.已知：。。的半徑為5,點(diǎn)C在直徑43上，過(guò)點(diǎn)C作。。的弦過(guò)點(diǎn)。作直

線EB的垂線DF,垂足為點(diǎn)尸.

圖1備用圖

（1）如圖1,當(dāng)AC=2時(shí)，求線段EB的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸是線段EB的中點(diǎn)時(shí)，求￡）尸的長(zhǎng)；

（3）如果所=33尸，求線段AC的長(zhǎng).

【答案】（1）3，記；（2）q；（3）?或

【分析】（1）連接。E,利用垂徑定理和勾股定理解答即可；

（2）連接80,利用垂徑定理和線段垂直平分線的性質(zhì)得到ADEB為等邊三角形，利用等

邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；

（3）利用分類討論的思想方法分：①當(dāng)點(diǎn)尸在線段BE上時(shí)，連接。E,設(shè)AC=x,則

ppr\p

OC=5-x,BC=10-x,證明△。跖S/^BEC得一=—,即可求得結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)尸在線

ECBE

段座的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接。E,同理解答即可.

【詳解】（1）解：連接。E,如圖，

0E=O4=5,AB=10,

,OC=O4—AC=3,3c=AB—AC=8.

,/DE.LAB,

EC=>]OE2-OC2=4

21/49

■>.EB=7CE2+BC2="+82=4A/5；

(2)解：連接30,如圖，

:點(diǎn)歹是線段EB的中點(diǎn)時(shí)，

；.￡)尸經(jīng)過(guò)點(diǎn)圓心0,DFYBE,￡)產(chǎn)垂直平分EB,

DE=DB

VDEJ.AB,A8是直徑，

；?AB是DE的垂直平分線，DE=2CD,

：?BD=BE,

BD=BE=DE.

AADEB為等邊三角形,

：.NEDB=NE=60。,

DFA.BE,

ZCDO=-ZEDB=30°,

2

/.OC=-OD=-,

22

/.CD=^OD2~OC2=—,

2

DE=2CD=5也，

在RtAED產(chǎn)中，

DF

?：sinZDEF=sin60°=——，

DE

?DF

/.=5昂立=￡；

22

(3)解：①當(dāng)點(diǎn)/在線段BE上時(shí)，連接0E,如圖,

22/49

???CE=yJOE2-OC2=^52-（5-X）2=y/lOx-x2,

???BE=/CE。+BC2=yll0x-x2+（10-xf=VlOO-lO.r.

,/EF=3BF,

33_

EF=-BE=-y/100-10x,

44

VDE.LAB,AB是直徑，

DE=2CE=271Ox-x2，

NDEF=ZBEC,NDFE=/BCE=90°,

；?ADEFS/^BEC,

.EF_DE

??一,

ECBE

...jjlOOTOx=2』10x-x1,

y/lOx—x2Jl00-1Ox

x=10（不合題意，舍去）或％=與，

4

/.AC=—；

4

②當(dāng)點(diǎn)F在線段￡B的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接OE,如圖，

設(shè)AC=x,則OC=x-5,BC^10-x,

CE=7OE2-OC2=^52-（X-5）2=y/lQx-x2,

23/49

*'-BE7BC?+CE2=JIoo-iox，

,:EF=3BF.

33________

/.EF=-BE=-7100-10%,

22

VDE.LAB,AB是直徑，

DE=2CE=2A/10^-X2，

?/NDEF=NBEC,NDFE=NBCE=90°,

?*.ADEFs^BEC，

,EFDE

"~EC~~BE'

jjlOOTOx_2410x4,

JlOx-Y-VlOO-lOx

x=10（不合題意，舍去）或無(wú)=[,

綜上，如果跖=33尸，線段AC的長(zhǎng)為"或

42

III|

題型三利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

!_____________________________________?

15.如圖，在兩個(gè)同心圓中，A8為60°，則CZ）的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】求出NAO8=60。，可得結(jié)論.

【詳解】解：的度數(shù)為60。，

，ZAOB=60°,

???CD的度數(shù)為60。，

故選D.

16.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓B.相等的圓心角所對(duì)的弧也相等

C.圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑都是它的對(duì)稱軸D.等弧所對(duì)的圓周角相等

【答案】D

24/49

【分析】根據(jù)確定一個(gè)圓的條件，圓周角定理，圓心角定理，圓的對(duì)稱軸的知識(shí)即可判斷正

誤.

【詳解】A.經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以A選項(xiàng)不符

合題意；

B.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以B選項(xiàng)不符合題意;

C.圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，所以C選項(xiàng)不

符合題意；

D.等弧所對(duì)的圓周角相等，D選項(xiàng)正確，所以D選項(xiàng)符合題意.

故選：D

17.若一個(gè)圓的半徑是6cm,則90度的圓心角所對(duì)的弦的長(zhǎng)度為.

【答案】6④an

【分析】根據(jù)題意得到等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：如下圖，

圓心角NAOB=90。，

,AAC?是等腰直角三角形，Z0AC=N0BC=45。,

又AO=BO=6cm,

作

.-.ZOCA=90°,

:.AC=342,

AB=6近，

弧所對(duì)的弦長(zhǎng)60c機(jī),

故答案為：6應(yīng)cm

18.如圖，點(diǎn)A在半圓。上，BC是直徑，^B=^C-若AB=2,則的長(zhǎng)為

【答案】272

【分析】連接Q4,由圓心角，弦，弧的關(guān)系可得CMLBC,結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可

25/49

求解03的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解BC的長(zhǎng).

【詳解】解：連接。4,

,-^B=^C，是直徑,

OALBC,

"：OA=OB,AB=2,

OA=OB=—AB=—X2=42,

22

BC=2OA=272.

故答案為：2vL

19.如圖，在AABC中，/「=90。,//=20。，以點(diǎn)C為圓心，2c為半徑的圓交AB于點(diǎn)O,

交AC于點(diǎn)E,求品的度數(shù).

【答案】50°

【分析】連接8,先根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出N3=70。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由

CB=CD得到：.NB=NBDC=70。,然后再利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出N3CD=40。，再根據(jù)

直角的性質(zhì)求出ZDCE=50°,最后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)求解.

【詳解】解：如下圖，連接。，

?.?/。=90。4=20°,

.?.ZB=90o-20°=70°,

?：CB=CD,

:.NB=NBDC=10。,

ABCD=180°-70°-70°=40°,

26/49

.?./腔=90?！?0°=50°,

.?.OE的度數(shù)為50°.

20.如圖，在0。的內(nèi)接四邊形ABCD中，DB=DC,2D4E是四邊形ABCD的一個(gè)外角.求

證：NDAE=/DAC.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)弧與弦的關(guān)系，得出。B=￡>C，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出

NDBC=NDCB,ZZME是四邊形ABC。的一個(gè)外角，得出NDAE=NDCB,進(jìn)而得出

NDAE=/DBC,根據(jù)N7MC=NT?C,即可得證.

【詳解】證明：?.?■D3=DC,

DB=DC

:./DBC=NDCB,

四邊形A8CD是圓內(nèi)接四邊形，

:.NDAE=NDCB,

:.NDAE=NDBC,

由圓周角定理得，NDAC=NDBC,

:.NDAE=NDAC.

題型四利用弧'弦'圓心角的關(guān)系證明

Mi■■■■IMHMMlIII

21.下列命題中，正確的是（）

①同弧所對(duì)的圓周角相等；②相等的圓心角，所對(duì)的弧也相等；③兩條弦相等，它們所對(duì)的

弧也相等；④在等圓中，圓心角不等，所對(duì)的弦也不等

A.①②B.①③C.①④D.①②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)所學(xué)定理和推論可知①④正確，②③錯(cuò)誤.

【詳解】解：①根據(jù)圓心角的定義知，頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角；故①正確.

②缺少條件，必須是在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧才相等；故錯(cuò)誤.

③在圓中，一條弦對(duì)著兩條弧，所以兩條弦相等，它們所對(duì)的弧不一定相等；故錯(cuò)誤.

④根據(jù)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理，在等圓中，若圓心角相等，則弦相等，所以圓心角

27/49

不等，弦也不等；故④正確.

故選：C.

22.如圖，在。。中，OA=AB,OC±AB,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.弦A3的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)B.弦AC的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng)

C.AC=BCD.ZA4C=30°

【答案】D

【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和圓的相關(guān)概念對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析.

【詳解】解：A.因?yàn)?OA=AB,

所以。4=QB=AB,

所以AABO為等邊三角形，ZAOB=60°,

以AB為一邊可構(gòu)成正六邊形，故結(jié)論正確，該選項(xiàng)不符合題意；

B.因?yàn)镺C_LAB,

根據(jù)垂徑定理可知，AC=BC-

再根據(jù)A中結(jié)論，弦AC的長(zhǎng)等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長(zhǎng)，故結(jié)論正確，該選項(xiàng)不符合題

J忌LZ^；

C.根據(jù)垂徑定理，AC=BC，故結(jié)論正確，該選項(xiàng)不符合題意；

D.根據(jù)圓周角定理，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半，

ZBAC=-ZBOC=-x-ZBOA=-x60°=15°,故結(jié)論錯(cuò)誤，該選項(xiàng)符合題意.

2224

故選：D.

23.如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E都是。。上的點(diǎn)，AC^AE,/。=128。，貝4/3=°.

【答案】116

【分析】連接AC、CE,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出/C4E,根據(jù)圓心角、弧、弦之間

的關(guān)系定理求出/ACE,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案.

28/49

【詳解】解：連接AC、CE,

：.ZCAE+ZD=180°,

：.NG4E=180°—128。=52°,

:AC^AE,

?*-AC=AE，

/.ZACE=ZAEC=1(180°-52°)=64°,

:點(diǎn)A、B、C、￡都是。。上的點(diǎn)，

ZA￡C+ZB=180°,

/.ZB=180°-64°=116°,

故答案為：116.

24.如圖，。。的兩條弦A3、CO互相垂直，垂足為E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,

則。。的半徑為

【答案】V5

【分析】過(guò)。作OFLCD于歹，。。，48于。，連接。￡>,由AB=CD推出尸，根

據(jù)正方形的判定推出OQEF是正方形，再求出O尸的長(zhǎng)，最后在△OED中，根據(jù)勾股定理即

可求出QD.

【詳解】解：過(guò)。作MLCD于尸，。。_143于。，連接。。，

-,-AB=CD,

:.OQ=OF,

??,OP過(guò)圓心0,OFVCD,

：.CF=DF=2,

29/49

.\EF=2-1=1,

\OF±CD,OQ±AB,ABLCD,

ZOQE=ZAEF=ZOFE=90°,

-：OQ=OF,

.??四邊形OQ&7是正方形，

,-.OF=EF=l,

在AM）中，由勾股定理得：ODM'DF+OF?=0

故答案為：非.

25.如圖，在。。中，弦AB,CD相交于點(diǎn)p,S.AB=CD,求證：AP=CP.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)AB=a?,得到AB=C。，推出存C=M，得到NA=NC，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：：AB=CD，

AB=CD>

AB-AC=CD-AC，

存C=初，

ZA=ZC,

，AP=CP.

26.如圖，。。是VRC的外接圓，AD平分NB4C,交BC于點(diǎn)E交。。于點(diǎn)。，跖平

分/ABC,交AD于點(diǎn)E,連接80.

⑴求證：ZBED=NEBD；

（2）若點(diǎn)A是/MC的中點(diǎn)，求證：DE=CF.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得到eC=NCBD,再利用角平分線平分角以

及三角形外角的性質(zhì)，得至q/BED=ZABE+NBAE=NEBF+NCBD,即可得證；

30/49

（2）根據(jù)等弧對(duì)等弦，得到AD=AC,證明AABD絲AAFC（ASA）,得到BD=CF,再根據(jù)

等角對(duì)等邊，得到BD=ED,即可得到OE=CF.

【詳解】（1）證明：如圖

?/AE平分N5AC,

/BAD=/DAC,

'：ZDAC=ZCBD,

：.ZBAE=ZCBD,

：8E平分,ABC,

ZABE=ZEBF,

,//BED=ZABE+Z.BAE=NEBF+ZCBD,

即NB￡D=N￡BZ）；

（2）證明：???點(diǎn)A是ZMC的中點(diǎn)，

AD=AC,

?：/BAD=NE4cND=/C,

：.△ABD^AAFC（ASA）,

：.BD=CF,

ZBED=ZEBD,

：?BD=ED,

：.DE=CF.

題型五圓心角的概念辨析

-.....I

27.下列說(shuō)法正確的是（）

A.如果一個(gè)角的一邊過(guò)圓心，則這個(gè)角就是圓心角

B.圓心角a的取值范圍是0。＜夕＜180。

C.圓心角就是頂點(diǎn)在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角

D.圓心角就是在圓心的角

31/49

【答案】c

【分析】由圓心角的定義：圓心角就是頂點(diǎn)在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角,

即可求得答案.

【詳解】解：?.?圓心角就是頂點(diǎn)在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角，

:.A、D錯(cuò)誤，C正確；

:圓心角a的取值范圍是0。<1<360。，

，B錯(cuò)誤.

故選：C.

28.如圖中，NC=90。/8=20。，以C為圓心，C4為半徑的圓交于點(diǎn)D,則人。

的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】如圖，連接C。,先求解上仁/4￡^=70。,-48工0。,再利用圓心角與弧之間的關(guān)

系可得答案.

【詳解】解：如圖，連接C2

6

"=90。/5=20。，

^A=90°-20°=70°,

?.?CD=CA,

32/49

/.NA=NADC=70°,

NAC￡>=180°—2x70°=40°,

???AO的度數(shù)為：40°.

故選B.

29.如圖，在。。中，劣弧AB的度數(shù)為75。，則圓心角NAO3=

【答案】75

【分析】A2的度數(shù)即為A8所對(duì)圓心角的度數(shù);

【詳解】解：AB的度數(shù)即為A2所對(duì)圓心角的度數(shù);

ZAOB=150

故答案為：75。

30.如圖，AB是0。的弦，ZA=50°,則NAOB=

【答案】80°

【分析】根據(jù)同圓中半徑相等，可得OA=OB,根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理可得

結(jié)果.

【詳解】解：

：.ZA=ZB,又ZA=50。，

ZAOB=180°-2ZA=180。一2x50。=80°,

故答案為：80°.

31.如圖，AB,。是。。的直徑，弦CE〃AB,弧CE的度數(shù)為40。，求NAOC的度數(shù).

33/49

D

B

【答案】70。

【分析】連接OE,由弧CE的度數(shù)為40。，得到/COENO。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三

角形的內(nèi)角和定理可求出/0匿=（180°-40。）+2=70。，再由CE〃鈣，即可得到

NAOC=NOCE=HV.

【詳解】解：連接OE,如圖,

\?弧CE的度數(shù)為40。,

，ZCOE=40°，

'：OC=OE,

：.NOCE=NOEC,

：.NOCE=（180。-40。）+2=70°,

;弦CE〃AB,

32.如圖所示，以。為圓心的兩個(gè)同心圓，小圓半徑為1,大圓半徑為6，用6條直徑將

兩個(gè)圓12等分，點(diǎn)A在大圓等分點(diǎn)上，點(diǎn)B在小圓等分點(diǎn)上，且NAO3=90。.

圖乙

（1）將△旗。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得AABQ,請(qǐng)?jiān)趫D甲中畫(huà)出AA4。.

（2）將AABO繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得VA與。，