圓錐曲線大題歸類（7大題型）（解析版）-高考數(shù)學(xué)

秘籍10圓錐曲線大題歸類

高考預(yù)測(cè)

概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆

題型預(yù)測(cè)解答題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測(cè)定點(diǎn)、定值類和設(shè)點(diǎn)設(shè)線類問題

圓錐曲線大題和小題考察的類型不一致，但是肯定都是以基礎(chǔ)知識(shí)為前提的情況下進(jìn)行考察，所以一

般第一問考察的大多還是求圓錐曲線的函數(shù)解析式，而第二問往往考察的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，

這里對(duì)于解析幾何的代數(shù)問題要求就比較高，題型也相應(yīng)較多，需要多加練習(xí)。

【題型一】求根型

求根型有以下幾種：

1.知道一根求另一根

2.求根公式型

3.韋達(dá)定理型

典例剖析

1.（2023?江西南昌?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線仁丁2=2/（°>0）的焦點(diǎn)為歹，分別為C上兩個(gè)不同

的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng),。為等邊三角形時(shí)，|AB|=8百.

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵拋物線C在第一象限的部分是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P滿足上4+M=4P產(chǎn)，且點(diǎn)P到直線A3的距離為2?

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴yZ=4x

（2）存在，點(diǎn)尸，直線A3的方程為3x+by+l=0.

【詳解】（1）由對(duì)稱性可知當(dāng)為等邊三角形時(shí)，48兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,

當(dāng)為等邊三角形時(shí)，O鉆的高為等pl邳=12,

由題意知點(diǎn)（12,4后）在C上，代入^=2px,得（4百『=24p,解得。=2,

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

（2）由（1）知尸（1,0）,根據(jù)題意可知直線AB的斜率不為0,

設(shè)直線AB的方程為無=。+m，4（石,必），3（科％），一（％兒）,

聯(lián)立'丁—以，得廠-40-4"2=0,

2

所以A=16左？+16機(jī)＞0,BPk+m＞0,且乂+必=4%，yly2=-4m,

所以％,+9=左（另+%）+2?7=4k2+2m,

由尸A+尸8=4P尸，得（王一天，乂一%）+（今一尤o，％一％）=4（1一毛,一%）,

%%—4=_2XQx=2-m—2k

所以,所以＜Q^P^2-m-2k2,-2k),

%+%=一2%?y°=-2k?

又點(diǎn)P在C上，所以4/=4（2—加一2/）,即弘2+力7=2,①

所以左2+m=公+2-3獷=2（1-公）＞0,解得一1＜女＜1,

又點(diǎn)P在第一象限，所以-2%＞0,所以-1＜%＜0.

|2—加一2%+2左一初21AM—11

又點(diǎn)P到直線A3的距離d=J--------------------------L=^J=2,化簡得病一2根=左\②

vi+FVi+F

11

m=——m=——

〉或＜3I772=2

聯(lián)立①②解得＜（舍去），或人。（舍去）.

k.5,不

[313

（72?。、

此時(shí)點(diǎn)尸§，直線A8的方程為3%+近丁+1=0.

2.（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學(xué)》對(duì)世界各國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響

深遠(yuǎn).在雙曲線C：［-5=1（。＞0乃＞0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是雙

曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸長與虛半軸長的平方差的算術(shù)平方根，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A.已知雙曲線C的

實(shí)軸長為2面，其蒙日?qǐng)A方程為V+;/=4.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)尸（3,1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為。，不過點(diǎn)P且斜率為1的直線與雙曲線C相交于兩點(diǎn)，直線

尸河與QN交于點(diǎn)求直線0。的斜率值.

22

【答案】⑴二一二=1

62

(2)1

【詳解】(1)解：由題意知，雙曲線。的實(shí)軸長為26，其蒙日?qǐng)A方程為必+V=4,

a2—b2=4

可得｛r，解得

2a=2。6

22

所以c的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—j

(2)解：設(shè)“&,%)3(%2，%)，直線AW的方程為y=(加W0)，

1

y=—x+m

32

由＜22，-2mx-3m2-6=0,

%y3

----------=1

[62

因?yàn)橹本€與。相交于",N兩點(diǎn),

所以△=(-2〃z)2-4x|(-3m2-6)=12m2+16>0,且無1+%=3〃？，

由點(diǎn)e(-3,-l)，當(dāng)直線PM,QN的斜率均存在時(shí),

—%+m+1

=1+m%+l21m

~=-+--------

%一33%—3x2+3尤2+33%+3

im

所以直線尸河的方程為y-l=-+--(x-3),

13%一力

(1m

直線QN的方程為y+l=-+--尤+3)

13x2+3J

3(x+)9m

兩方程聯(lián)立方程組，可得?2=--------------

芭一々-6xx-x2-o

(1rnA3777

顯然％wO,可得%=彳+―-%——

1gFl"%、'm?3〃z6rlm芯一出一6一12(見一3)

所以尤03尤|-3%一39m3尤「33(尤「3)33(%,-3)

2

當(dāng)直線尸M的斜率不存在時(shí)，可得直線尸M的方程為1=3,直線。N的方程為y=:%+l,

則%=3,%=3,所以&=1.

%

當(dāng)直線QN的斜率不存在時(shí)，可得直線QN的方程為x=-3,直線尸W的方程為y=；2x-1,則/-3,%=-3,

所以&=1,即壇0=1

玉)

綜上可得：直線。。的斜率值1.

3.(2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知拋物線C：y2=2px(p>0)上一點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為4,且P到焦點(diǎn)f的距

離為5,

(1)求拋物線C的方程;

(2)點(diǎn)A,3是拋物線C上異于原點(diǎn)。的不同的兩點(diǎn)，且滿足0442=0,求的最小值.

【答案】(l)>2=4x

(2)8君

【詳解】(1)解：由拋物線C：V=2px,可得準(zhǔn)線方程為無=-5,

因?yàn)辄c(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為5,且點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為4,

根據(jù)拋物線的定義，可得4+5=5,解得。=2,所以拋物線的方程為丁=4院

y=kx44

(2)解：根據(jù)題意，設(shè)。4：y=依，聯(lián)立方程組；.一解得XR-K所以4

因?yàn)镺A-A8=0，可得OA_LAB，即。4_LAS,

可設(shè)4

k

整理得到V+4矽-16-p-=0,則以+力=-4左,

4

所以為

所以|OB|=J宜+可

設(shè)/=,+24,當(dāng)且僅當(dāng)人=±1時(shí)等號(hào)成立,

所以當(dāng)f=4時(shí)，O同取最小值為8店.

名校模擬

22

1.（2023?貴州黔西?？家荒＃┮阎p曲線。：1-方=1伍>02>0）的離心率為石，點(diǎn)尸（3,-4⑹在雙曲

線C上.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）設(shè)A（-L。），M為C上一點(diǎn)，N為圓尤2+>2=1上一點(diǎn)（M,N均不在x軸上）.直線A",AN的斜率

分別記為《，k2,且4自+勺=0,判斷：直線腦V是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn),

請(qǐng)說明理由.

2

【答案】⑴尤2-匕=1

4

⑵MN恒過定點(diǎn)（1,0）

【詳解】（1）由雙曲線離心率為e=￡=Jl+±=石，得"=4片，

a\a

22

所以雙曲線方程為，-二=1,

a4〃

又點(diǎn)網(wǎng)3,-4后）在雙曲線上，

即9馬32-力=1，

a4a

解得a2=1?/=4,

2

所以雙曲線的方程為Y-匕=>

4

（2）由己知得《丁。，k

設(shè)直線AM:y=￡（x+l）,點(diǎn)

y=%（x+i）

由<2y1得（4—匕~）*2—2左；彳_4~一4=0,A>0,

X-1

4

由4左2+匕=0,得人=-4^2，

%+1

所以M

1-4片

設(shè)直線AN:y=&(x+l),聯(lián)立直線與圓丁+尸=1,

彳導(dǎo)（1+卜；）尤？+2k：x+k：—1—0,A>>0.

2k2—8k?

1+后一1一4M1

所以上

MN=1-k；4七+i

k2

l+k1~l-4kl

即％MN，卜之=-I,

所以腸V_LAN,

又點(diǎn)A在圓V+y2=l上，

設(shè)圓d+y2=i與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B,

則3(1,0),且AN_LBN,即直線BN與MN重合,

所以直線MN恒過點(diǎn)3(1,0).

22

2.(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))已知橢圓＜7:3+方=1(。＞6＞0)的右焦點(diǎn)為下，點(diǎn)P,。在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，且|尸制

的最小值為指-百；當(dāng)點(diǎn)P不在X軸上時(shí)點(diǎn)尸與橢圓C的左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為

⑴求橢圓C的方程；

⑵已知直線/：尤-2丫=0與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)A,若NP4Q的內(nèi)角平分線的斜率不存在.探究：直線尸。

的斜率是否為定值，若是，求出該定值；若不是.請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴斗+?』

o3

⑵直線尸。的斜率為定值1,理由見解析

【詳解】(1)設(shè)P(4%),橢圓C的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-4,0),(?,0),

玉—Q玉+Q%；-a?x；_Q2〃22

即〃=2",則/=/—從=62,

又a-c=底-坦,即岳解得b=G所以”也

即橢圓C的方程為5+4=1.

o3

--1

63[x=2\x=-2-

(2)聯(lián)立,解得，或「又A在第一象限,所以4（2,1）,

1[y=iU=T

y=-X

/2

由題意知NPAQ的內(nèi)角平分線的斜率不存在，即該角平分線與X軸垂直,

設(shè)直線AP的斜率為左，則直線AQ的斜率為-左,

設(shè)PQ,%),直線AP的方程為丫-1=左(了一2),即丫=尿+1-2人,

y=kx+l-2k

由（尤2,27肖去y得（2左2+l）x?+4左（1-2左）苫+8左2-8左一4=0,

因?yàn)镻、A為直線AP與橢圓的交點(diǎn)，所以2%=如一產(chǎn)4,即4/一402

12F+112^+1

4k2+4k-2

把左換為-左得馬=

2k2+1

所以尤2-石

乙K十1

8k

以％—X=（一^*^2+]+2k）—（kX[+1_2k）=k[4—（玉+%2）]=2左2—，

所以直線PQ的斜率k=涯二工=1,即直線PQ的斜率為定值1.

一

[

2

3.(2023?甘肅武威?統(tǒng)考三模)已知橢圓C:=+馬=l(a>6>0)的長軸長為4,A,8是其左、右頂點(diǎn)，M

a-tr

，，，，3

是橢圓上異于48的動(dòng)點(diǎn)，且%

(1)求橢圓C的方程；

(2)若尸為直線x=4上一點(diǎn)，PA,必分別與橢圓交于C,。兩點(diǎn).

①證明：直線CD過橢圓右焦點(diǎn)尸?；

②橢圓的左焦點(diǎn)為耳，求.Cf；。的周長是否為定值，若是，求出該定值,若不是，請(qǐng)說明理由.

22

【答案】⑴土+匕=1

43

⑵①證明見解析；②定值為8.

【詳解】(1)由己知得：a=2,A(-2,0),3(2,0),

設(shè)M(%,%)(%w±2),因?yàn)镸在橢圓上，所以從片+4必=傷2①

因?yàn)??褊=三?3=工=一1，

將①式代入，得462-廿%=12-3無；，得我=3,

22

所以橢圓。：二+乙=1.

43

0\//Bx

D

A

(2)①證明：設(shè)尸(4,r)(rw0),則原=；，lPA-x=-y-2,

6t

t2

同理可得lPBt.x=—y+2,

6.

X=7'-2跳

聯(lián)立方程22，得汽二產(chǎn)754-2?

x2y2_27+/2「27+7

’54-2/18/'

則C

、27+/'27+/,

同理聯(lián)立方程J,可得為，"士

IJ—1

2/2-6—6t

則。

3+t2’3+?

又橢圓的右焦點(diǎn)為鳥。,0），

27-3產(chǎn)18Zr-9一6t

所以瑪C=FD=

27+/'27+』23+t2'3+t2

To%27-3產(chǎn)—6t18ft2-9

因?yàn)镕—―T---rx--7=0，

27+?3+t227+產(chǎn)3+t2

說明C,。，五1三點(diǎn)共線，即直線CD恒過片點(diǎn).

②周長為定值.因?yàn)橹本€CD恒過4點(diǎn)，

根據(jù)橢圓的定義，所以，CK。的周長為4々=8.

【題型二】最值型

解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：

1、幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、

幾何性質(zhì)來解決；

2、函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或

值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要

特別注意自變量的取值范圍.

3、此類問題通過聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此

類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解.

比較多的是分式型，以下幾種求最值的基本方法：

（1）反比例函數(shù)型:吧士，可以分離常數(shù)，利用“左加右減上加下減”畫圖

px+q

HIX+n_i_Ay-I-c

（2）---------與十外十。型,可以設(shè)吆+n=t,換元，簡化一次項(xiàng)，然后構(gòu)造均值或者對(duì)勾函數(shù)求

ax+bx+cmx+n

解。

ax2++c

2

（3）mx+〃x+e型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解

典例剖析

1.已知橢圓的離心率為乎，且過42,1）

（1）求C的方程.

⑵若B,P為C上不與A重合的兩點(diǎn),O為原點(diǎn)，且OP=WA+^iOB,22+//2=1,

□求直線。3的斜率；

匚與0B平行的直線I與C交于M,N兩點(diǎn)，求,-.AMN面積的最大值.

221_

【答案】⑴工+匕=1（2）口-3；口3后

822

a2

【詳解】（1）由題意可得-亍+/目解得02=8,/=2.所以,C的方程為1=

2=b2+c2'一

a

（2）□設(shè)8（%%），因?yàn)?WA+/JOB=（22+jUX0,A+〃％），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2A+彳+〃％）,

（22+〃%）2+（2+〃％）2=],化簡可得1+〃2（5+5]+號(hào)+澳％=1,

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓C上，所以

82182J2

22

因?yàn)橹?九=1且萬+〃2=1，所以號(hào)+澳為=0,因?yàn)槭鲜瑸镃上不與A重合的兩點(diǎn)，所以澳N0,

3，乙

1

%=~~xo9

即直線的斜率k=&=-"

為2

y=~~-x+m

□設(shè)/的方程為〉=一＞加（加wO）,M（玉,M）,N（%2，%）,由＜爐'2

2，消去V,可得光之一2mx+2m-4=0,

—-+-一=1

18:

由公=4根2-4(2療一4)>0,可得一2<相<2,且加￡0,%+%2=2加戶用=2/一4,

I~R,----------；----------,------------|^-2|_2（2-771）

_4%%={5（4-療），A到直線/的距離，―f布

所以AACV面積為S=；M2V|M=,（4_疝）（2_m）2=?2+m）（2_m）3，令

/（m）=（2+m）（2—m）3（—2<m<2,m0）,

=-4（2—m）2（m+1）.令/'（m）=0,解得機(jī)=-l,

當(dāng)/'(m)>0,解得一2<用<一1;當(dāng)尸(聞v0,解得一1vmvO或0<加<2,

所以/(帆)在(-2,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,0),(0,2)上單調(diào)遞減，所以的最大值為〃-1)=27,

所以S￡36,即/AAW面積的最大值為36.

22

2.(2021?山西大同?校考模擬預(yù)測(cè))己知P是橢圓C++1=l(Q>Z?>0)上的動(dòng)點(diǎn)，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的

最值之比為名8,P到焦點(diǎn)的距離的最值之差的絕對(duì)值為2.

3

(1)求橢圓C的方程;

(2)若。為橢圓C的弦N8的中點(diǎn)，PO=2OD,證明：PAB的面積為定值.

22

【答案】(1)工+匕=1；(2)證明見解析.

43

【詳解】(1)由P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最值之比為2叵，得巴二冬區(qū),

3b3

所以3/=4/.

由尸到焦點(diǎn)的距離的最值之差的絕對(duì)值為2,

得|(a+c)—(a—c)|=2c=2,

所以c=l.

又/=〃—〃，所以〃=4萬=3.

22

所以橢圓C的方程為工+匕=1.

43

(2)證明：當(dāng)直線與無軸不垂直時(shí)，

設(shè)其方程為y=kx+m,易知m^O.

'^+￡,

聯(lián)立得方程組43一，

y=kx+m

消去y并整理，得（4左2+3）尤2+8初優(yōu)+4，/-12=0.

由題意可知△=48（44,一加2+3）>o.

設(shè)4（西,%）,3（%,%），

2

貝?。?+%=-4^3，X,X2=4m-12

4k2+3

j3(^2+l)(4fc2-m2+3).

由尸0=20方可知OP+OA+O3=0.

8km

設(shè)尸（三,力）,則有泡=-（無1+%）=

止+3,

%=-(%+%)=-k(%+x2)-2m=.

22

因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓土+匕=1上,

43

cc-h,1(8kmY1(6mV

所以1EJ

整理，得（4左2—4"，+3）（4左2+3）=o.

所以4無2-4/九2+3=0，

且符合A=48(4左2-m2+3)>0.

/、，|人一以+機(jī)|31ml

點(diǎn)尸（七，％）到直線y=kx+m的距禺d=----/一=/

y/k+17k+1

所以SR45的面積S=；x|AB|xd=-m2+3

由4二一4m2+3=0,即4/+3=4療,

得5=空1際=?.

4m2

當(dāng)直線48與x軸垂直時(shí)，

由于尸0=200,不妨設(shè)*2,0）,則D（-l,0）,

所以|AB|=3,|即|=3,

19

所以的面積S=,x3x3=e.

9

綜上可知，即%5的面積為定值萬.

3.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)片與右焦點(diǎn)與都在x軸上，離心率

\AFA-\BFA

為3,過點(diǎn)耳的動(dòng)直線/與雙曲線C交于點(diǎn)A、B.設(shè)?=2.

\AB\

⑴求雙曲線C的漸近線方程；

（2）若點(diǎn)A、B都在雙曲線C的右支上，求力的最大值以及A取最大值時(shí)ZAF.B的正切值；（關(guān)于求2的最值.某

學(xué)習(xí)小組提出了如下的思路可供參考：①利用基本不等式求最值；②設(shè)嗎為〃，建立相應(yīng)數(shù)量關(guān)系并

利用它求最值；③設(shè)直線/的斜率為鼠建立相應(yīng)數(shù)量關(guān)系并利用它求最值）.

⑶若點(diǎn)A在雙曲線C的左支上（點(diǎn)A不是該雙曲線的頂點(diǎn)，且4=1,求證：耳8是等腰三角形.且邊

的長等于雙曲線C的實(shí)軸長的2倍.

【答案】(l)y=±2j2x

124

（2）4ax=4>tanZAf；B=—

⑶證明見解析

22

【詳解】⑴設(shè)雙曲線方程為二-斗=1（。,6>。），焦距為2c,

ab

由e=（=3,所以'=-1=20,所以雙曲線的漸近線方程為y=±2岳.

22

（2）由（1）可得c=3a,b=2y[2a，所以雙曲線C的方程為3=1,

a28a2

設(shè)=\BF2\=t2,因?yàn)辄c(diǎn)A、3都在雙曲線C的右支上,

所以|AB|=%+/2,

\AF\-\BF\tt/桃11

所以八下2丁2;而{了2“日可二,當(dāng)且僅當(dāng)…2時(shí)取等號(hào)，即工

當(dāng)4=；時(shí)?=，2，所以=2〃+4=2a+t2=忸耳|,

所以/_Lx軸且NA4B=/3月耳,

22CJQ=3Q

又雙曲線C的方程為二-二=1,即8/-丫2=8〃2,由;解得y=±8a,

a28/[8x2-/=Sa2

可知|A引=8a,又內(nèi)閶=6°,所以tan/A耳耳=*

\r,r0\baJ

2tan/A￡g24

tanZAFB=tan2Z.AFF=

{{21—tai?NA耳工T,

（3）設(shè)直線/的方程為％=歿+3々，將它代入8%2—y2=84，可得（8加2一1）丁+48m^2+64/=。,

設(shè)A（X，%），川光2,%），

48am64/

可得%%=—

Sm2—1

由2=1,可得|A&HBK|=|AB「,

故J1+"22M.J1+癡岡=

又為、為同號(hào),所以％%=（%-%）2,即5%%=（%+%）?，

64a24SamY解得T，

所以5X

8m2-18m2-1J

此時(shí)直線/的斜率的絕對(duì)值為之＜2A/2,可知直線/與雙曲線的兩支都相交,

又必%=Ai：]=^~，所以體域=|A工卜忸典=（1+療）%為="|x^^=16a2,

則園=4a,它等于雙曲線實(shí)軸長的2倍,此時(shí)|然|=|你卜」=|%|+4a-2a=忸閶+2。=忸耳

所以△A^B是等腰三角形.

名校模擬

22

1.（2023?新疆喀什,統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：f=20（p>O）的焦點(diǎn)為R且尸與圓M：X+（J+3）=1

上點(diǎn)的距離的最小值為3.

⑴求P；

（2）若點(diǎn)尸在圓M上，PA,尸3是拋物線C的兩條切線，A,2是切點(diǎn)，求三角形以2面積的最值.

【答案】（1）2

（2）.我2面積的最大值為32,最小值為8c.

【詳解】（1）由點(diǎn)戶（0,（］到圓”上的點(diǎn)的距離的最小值為|根|-1=5+3-1=3

解得0=2.

（2）由（1）知，拋物線的方程為d=4y,即y=x2,則/=

22

設(shè)切點(diǎn)4（%,%）,B（X2,y2）,則易得直線以：y=A吟,直線尸8:y=,無一？,

從而得到p1與迤，芋）

設(shè)直線/8：y=kx+b,聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理，得丁-4"-4人=0,

貝ljA=16左2+16〃〉0,即公+力>o,且石+%=4左，xxx2=-4b,故尸（2女,一。）.

2

因?yàn)閨AB\=y/1+k?+%2）2-例％=Jl+%2?《16k2+16。，

2

_\2k+2b\.,,,,3

點(diǎn)P到直線4B的距禺dJ展—?,所以5△⑻=；|4邳〃=4,2+6)2,①

又點(diǎn)尸（2匕一6）在圓跖d+（>+3）2=1上，

32

故人2j一0-3『,代入①得，$…丫=/7-（5一））

4PAB\^\4

、7\7

而力=-灰1，-2],5-641,3],故當(dāng)6=4時(shí)，（S?）四=32,

故當(dāng)6=2時(shí)，（，叫）向?=8夜.

22

2.（2023春?吉林?高二東北師大附中校考階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C：3+，=l（a>b>0）,離

ab

心率為由,

不過橢圓頂點(diǎn)的動(dòng)直線/：y=履+憶與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),求:

2

（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）求三角形A03面積的最大值，并求取得最值時(shí)直線。4、。8的斜率之積.

2

【答案】（1）匕+/=1；（2）面積最大值為1,斜率之積為-4.

4

【詳解】因?yàn)闄E圓C離心率為無，可設(shè)方程為W+二'=1，

24Z?2b2

、

過點(diǎn),忘，所以b=l,

7

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+，一.

（2）設(shè)4（玉,%）,3（孫期）,

y=kx+m

聯(lián)立■y22,彳導(dǎo)(左？+4)%?++機(jī)？一4=0,

彳+x-

A=16(fc2+4-m2)>0(l)

—2kmm2—4

X,+=—；-----,x,x9=—；------

12)t2+412左2+4

2

-2kmm2-44

回-4-2+4—〃？

廿+4廿+4-產(chǎn)+4

\m\

又點(diǎn)O到直線AB的距離為d=

yjl+k2

團(tuán)SAOB=~I^^1d=-J左2+1.一“2+4-療./

02112k2+4護(hù)工

22222

+4-mm+4-mmm21

=2=2,+-<1

女2+4…%2+424

m2

故當(dāng)公+44’即入"2療時(shí)，三角形4。3的面積有最大值1,此時(shí)滿足①,

（句+m）（Ax+m）_-4k2+4m216—4m2

所以^OA^OB="%=2

22

玉々xxx2m-4m-4

回三角形A03面積的最大值為1,此時(shí)直線Q4、。3的斜率之積為一4.

22

3.（2012?全國?統(tǒng)考一模）已知雙曲線Q：=-==1（a>0）,拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,C2的焦點(diǎn)是C/

a-2a-

的左焦點(diǎn)Fi.

（1）求證：Ci,C?總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);

（2）問：是否存在過C2的焦點(diǎn)、的弦N8,使/O8的面積有最大值或最小值？若存在，求直線的方

程與S/。2的最值，若不存在，說明理由.

【答案】（1）詳見解析.

（2）詳見解析.

【詳解】解：（1）由雙曲線方程得》=缶,c=耳,

所以尸/（-信,0）,拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=2扃,

所以拋物線：y2=-^ax.①

把①代入。方程得：2/+4省辦-2/=0.②

△=64/>0,所以方程②必有兩個(gè)不同實(shí)根，

設(shè)為x/,X2,由韋達(dá)定理得xiX2--a2<0,

所以②必有一個(gè)負(fù)根設(shè)為孫把Xi代入①得f=,

所以y=±2j-&/（因?yàn)閤/KO）,所以。，C2總有兩個(gè)不同交點(diǎn).

（2）設(shè)過戶/（-石4,0）的直線45為叼=（x+括4）,

y2=-46ax,

由J廠得P+4A/3may-12a2=Q,

my=x

因?yàn)锳=48冽”+48[2>0,設(shè)ylfy2分別為/,8的縱坐標(biāo),

貝1Jyi+y2=4^3ma,yiy2=-12a2.*4

所以(yi-y2)2=^Sa2(m2+1).

22

所以S-AOB=1\yi-y2\*\OFi\=^—a?4上a?7m+l=6/jM+l>6o，

當(dāng)且僅當(dāng)加=0時(shí)，S—405的面積取最小值；

當(dāng)加玲+8時(shí)，玲+8,無最大值.

所以存在過Fi的直線x二—島使“OB面積有最小值6a2.

【題型三】多斜率計(jì)算型

典例剖析

22

1.（2023?安徽?校聯(lián)考二模）已知橢圓C:「+3=l（a>6>0）的左、右頂點(diǎn)分別為加2,短軸長為2后,

ab

3

點(diǎn)C上的點(diǎn)p滿足直線尸陷、P此的斜率之積為

4

⑴求C的方程；

（2）若過點(diǎn)（1,0）且不與〉軸垂直的直線/與C交于A、B兩點(diǎn)，記直線"△、交于點(diǎn)探究：點(diǎn)。是

否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由.

22

【答案】（1）土+工=1

43

⑵點(diǎn)Q在定直線x=4上

【詳解】⑴解：設(shè)尸（…0）,貝口。.±0,且條+￡_=1,所以，火=/卜-「

22

則上.ky0_yp_IaJ_b_3,

KPM]KpM2~~22~22~~A

x0+axQ—axQ—ax0-aa4

a

故戶=a2①，又2b=2有②，

22

聯(lián)立①②，解得/=4,廿=3,故橢圓C的方程為土+2=1.

43

（2）解：結(jié)論：點(diǎn)。在定直線上x=4.

由（1）得，M（—2,0）、%（2,0）,設(shè)。（只y）,

設(shè)直線/的方程為x=my+l,設(shè)點(diǎn)4（%,%）、B（x2,y2）,

工+匯=1

聯(lián)立<43一,整理得（3機(jī)2+4）；/+67肛一9=0,

x=my+1

A=36m2+36（3m2+4）=144（/+1）>0,

—6m—9

?二%+%=2,A，必必-2,9

3Qm+43Qm+4A

直線MtA的方程為y=借（x+2）,直線M2B的方程為y=2）,

所以，弋（尤'+2）=—（x'-2）,

玉+2%2—2

9m+3（6m]

可得￡+2=%（%+2）=%（-3+3）=沖1%+3%=3.2+4+〔3m2+4

可￡一2乂（々—2）myxy2-yx_9m_

3m2+41

27血3〉

二喝4I，解得尤'=4,

~3m2+4~y,

因此，點(diǎn)。在直線x=4上.

2.（2023?湖南長沙?雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓C：—+/=1,直線/與橢圓C交于4,2兩點(diǎn).

4-

⑴點(diǎn)尸（七,%）為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)48不重合），若直線為，直線P8的斜率存在且斜率之積為

4

試探究直線/是否過定點(diǎn)，并說明理由;

（2）^OA±OB.過點(diǎn)。作OQLAB,垂足為點(diǎn)0,求點(diǎn)0的軌跡方程.

【答案】⑴直線/過定點(diǎn)（0,0）；

⑵f2+y2=y4

【詳解】（1）直線2過定點(diǎn)（0,0）,下面證明:

七屋%=9><3=胃4,

設(shè)A（國,乂），B'（f，f），

XQ-X^X0+Xr%o一%

又凈+y；=i，f+y；=i，

回直線心過原點(diǎn)滿足kPA-kpB，=-".

又當(dāng)我兩點(diǎn)固定時(shí)總為定值，有且僅有一個(gè)斜率值與之相乘之積為T

則直線尸民尸？重合，則氏8重合，

團(tuán)直線/過定點(diǎn)（0,0）.

(2)設(shè)=|OB|=^,ZJCOA=0,不妨設(shè)ZxO3=8+'1,

團(tuán)A(qcosarsine),B(-^sin6^,/^cos6^),又點(diǎn)4,5在橢圓上,

cos20.?1sin20,

團(tuán)」------br2sin28=1,----------+片2cos23n=1,

4142

22

cos0./)1sin^2A1Haw*'曰11_5

團(tuán)--1+sin26)=—,---+cos^=—,兩式相加得w+二一了，

444r；444

由工刈=34斗|。。|=3。4|。同，

得..照\O二AY\-\OB\

回點(diǎn)。的軌跡是以點(diǎn)。為圓心以半為半徑的圓,

回點(diǎn)。的軌跡方程為尤?+丁=]4.

22

3.（2023,福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：'-斗=1（。＞0涉＞0）的右頂點(diǎn)為40為原點(diǎn)，點(diǎn)尸。,1）

ab

在C的漸近線上，PAO的面積為巳

⑴求C的方程；

（2）過點(diǎn)尸作直線/交C于河，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線交直線//于點(diǎn)G,"為NG的中點(diǎn)，證明：直

線4H■的斜率為定值.

【答案】（1）/一丫2=1

⑵證明見解析

【詳解】（]）因?yàn)辄c(diǎn)尸（1,1）在C的漸近線〉=：苫上，所以。=6,

A(a,。)，則Sp4o=ga=：,所以a=l,故匕=1,

所以C的方程為f-y2=l；

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線,與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符題意，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為＞-1=左(％-1),加(西,％)3優(yōu),％)，

J-M

聯(lián)立7肖y得（1—左2）尤2_24（1_4）彳_左2+2左_2=0,

y-1=k^x-i）

1一小力0

，解得％<1且％H—1,

A=4兀2（1一行一40—％2）（-F+2”2）=8—8左>0

2%（1-左）2k-F+2^-2

=

X,+X--------------Z-----------------,%]%2=------------------7--------

12-1-k21+k121-k2

直線AM的方程為V="、(xT),

再一1

令得「,即不「,

因?yàn)椤盀镹G的中點(diǎn)，所以H------

\7

%（尤2-1）

1,2

石-1

所以

2.

^AH=

工2—1

—1）+1