圓錐曲線之離心率中點(diǎn)弦問題（重難點(diǎn)突破）

專題12圓錐曲線之離心率、中點(diǎn)弦問題

一、考情分析

二、考點(diǎn)梳理

1.在求橢圓^+。=1（?！?〉0）離心率范圍時(shí)常用的不等關(guān)系：同<a，|y|<3，a-c<\FF\<a+c,

b<\OP\<a（P為橢圓上一點(diǎn)），

22

2.在雙曲線=+:=1（。〉0力〉0）中，e=±=

aba

3.點(diǎn)差法

(22

2+支

22二1

則＜'2

第一步：若AB(X2,%)是橢圓—T+'^2~=1（〃〉/?>0）上不重合的兩點(diǎn),

ab22

二1

第二步：兩式相減得（%+%）%—％）+（M+%）『1—%）=0,

ab

第三步：之二及是直線的斜率左，（%±王,％±&）是線段A3的中點(diǎn)（%,光），化簡(jiǎn)可得

再一/22

21士匹.2二匹=_與._區(qū).左=_與，此種方法為點(diǎn)差法。

%+x2x1-x2axGa

22

若AB是橢圓占+2=1（?！?〉0）上不垂直于x軸的兩點(diǎn)，尸是AB的中點(diǎn)，。為橢圓的中心，則直線

ab

b2

AB與OP的斜率之積為定值-彳

a

三、題型突破

（一）根據(jù)橢圓或雙曲線自身的性質(zhì)求離心率

2

例1、（1）、（2022?陜西?西鄉(xiāng)縣教學(xué)研究室一模（文））若雙曲線f-與=1的一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為

V3,則該雙曲線的離心率為（）

A.；B.走C.2

D.O

22

【答案】C

【分析】寫出雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線后，列方程求出b,然后根據(jù)離心率定義計(jì)算.

【詳解】依題意得，雙曲線的一條漸近線為云-y=0,一個(gè)焦點(diǎn)為（7西,0）,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公

式于是c=N=2'離心率八/2.

故選：C

⑵.（2019?新疆?克拉瑪依市教育研究所三模（文））已知圓C：/+/-以+3=0與中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)

在坐標(biāo)軸上的雙曲線。的一條漸近線相切，則雙曲線。的離心率為（）

A.±或4B.拽或2C.9D.2

333

【答案】B

【分析】

分雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上和p軸上，由圓心到漸近線的距離等于半徑求解.

【詳解】

圓C：（x-2y+y2=i的圓心為（2,0）,半徑為1,

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，其漸近線方程為灰土孫=0,

2b

由題意得;E即*=〃'

所以,二j

所以e謔=迪

a,2

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，4A2=3,

a

故選：B

【變式訓(xùn)練11】、（2022?黑龍江?雞西市第四中學(xué)三模（理））若加是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線

/+上=1的離心率是（）

m

A.3或6B.75C.@D.@或@

2222

【答案】A

【分析】由根是2和8的等比中項(xiàng)求出加的值，可得到圓錐曲線的方程，根據(jù)離心率定義可得結(jié)果.

【詳解】是2和8的等比中項(xiàng),，％=4或力=T,

2

當(dāng)機(jī)=4時(shí)，方程為冗2+匕=1,表示橢圓，

4

a=2,Z?=l,c=J/_12_^3,???離心率為亞，

2

2

當(dāng)機(jī)=T時(shí)，方程為——匕=i,表示雙曲線，

4

a=i,b=2,c=y/a2+Z?2=^J5,..離心率為

故選：A

22

【變式訓(xùn)練12】、（2010?河南鄭州?一模（理））已知耳，鳥是雙曲線,方=1（°>0力>0）的左、右焦點(diǎn)，P

為雙曲線左支上一點(diǎn)，若懼的最小值為8a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）

A.（1,3）B.（1,2）C,（1,3]D.（1,2]

【答案】C

【分析】由定義知：?啊|尸B|=2a,|PF2|=2a+|PB|,匕詈==篇+4a+|PB|三80,當(dāng)且僅

冏II明甲用

4片

當(dāng)同q即/巳1=2。時(shí)取得等號(hào).再由焦半徑公式得雙曲線的離心率的取值范圍?

【詳解】由雙曲線定義可得：

1PBi2（2a+\PFA）24a2

|PF2||PF7|=2a.|PF2|=2a+|PF7|,濡1=—/川”=函+4。+|尸產(chǎn)/|N8a,

當(dāng)且僅當(dāng)西二|PB|,即1PBl=2。時(shí)取得等號(hào).此時(shí)|尸典=4a

由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，PF2>c+a,即可4aNc+a=>e<3,又雙曲線的離心率e>l,ee(l,3].

故選:C.

（二）借助平面幾何圖形中與題目中的不等關(guān)系求離心率

例2、（1）、已知橢圓3+=7=1（?！?。〉0）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為昆F為其右焦點(diǎn)若

ab

7171

4尸，8萬,設(shè)乙43尸=%且46—，則橢圓離心率的取值范圍是

124------

【答案】停，當(dāng)

22

⑵.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)M是橢圓C：]+方=1（。>6>0）的上頂點(diǎn)，P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

尸運(yùn)動(dòng)到下頂點(diǎn)時(shí)，|尸河|取得最大值，則C的離心率的取值范圍是（）

A.[制B,聲）。（0,用D,（0,1

【答案1C

【分析】設(shè)尸（々,幾），由M（0/）,求出1PMi匕片+（%-bp消元可得，

1PMi2=+5+/+/,再根據(jù)-04%Wb以及二次函數(shù)的性質(zhì)可知，一54一6,即可解出.

222

【詳解】設(shè)尸伉,九），M（0,b）,因?yàn)椤?善=1,a^b+c,

ab

所以|月間2=x：+（%—bp=/1]_條]+（%_匕）2=_廬10+二1+—+a2+Z^2,_。三為《匕，由題意知當(dāng)

%="時(shí)，取得最大值，所以一一瓦可得a222c2,即0<eV?.

故選：C.

【變式訓(xùn)練21】、已知兩定點(diǎn)4（—1,0）和3（1,0）,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）在直線/:y=x+3上移動(dòng)橢圓。以A,B

為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)尸,則橢圓C的離心率的最大值為（）

V102752麗

B.-----C.------D.-------

555

【答案】A

【解析】A（-1,O）關(guān)于直線/:y=x+3的對(duì)稱點(diǎn)為A（—3,2），連接A3交直線/于點(diǎn)尸,則橢圓C的長軸

長的最小值為|A'用=2石，所以橢圓C的離心率的最大值為5=5字故選A

【點(diǎn)評(píng)】求解本題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱性求距離的最小值

22

【變式訓(xùn)練22】、（2022?河南洛陽?模擬預(yù)測(cè)（理））已知尸是橢圓G：二+谷=1（〃>6>0）的右焦

ab

點(diǎn)，A為橢圓G的下頂點(diǎn)，雙曲線C?：4=1（加>0,〃>0）與橢圓G共焦點(diǎn)，若直線AF與雙曲

mn

_12

線C?的一條漸近線平行，G,C?的離心率分別為％,%、則一+一的最小值為.

e\e2

【答案】2夜

【分析】根據(jù)直線AF與C2的一條漸近線平行，得到9=二，再結(jié)合雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)得到e?=l,再

cm

利用基本不等式求解.

【詳解】解：設(shè)。的半焦距為C（O0）,則F（GO）,又A（0,4）,

b

所以2,又直線AF與C2的一條漸近線平行，

C

所以2=2所以

cmcm

2222

r-rixia—cc-m

所以一「=——「，

cm

22

所以二=J,

cm

所以,4=1,

又，+2="+21=e2+2ex>=2及，

e一.一

ex2exe2

當(dāng)且僅當(dāng)4=2。，即弓=弓，e2=及時(shí)等號(hào)成立,

即一+一的最小值為2c.

故答案為：2近

（三）借助函數(shù)的值域求解范圍求離心率

22

例3、（2022?廣西河池?模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線C:-=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為￡直線

、=履（％7。）與雙曲線C交于A,2兩點(diǎn)，若/AFB=90。，且△O4F的面積為4”,則雙曲線C的離心率

為（）

A.B,C.2D.3

55

【答案】D

【分析】不妨設(shè)A在第一象限，設(shè)耳是雙曲線的左焦點(diǎn)，顯然A,2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此AaB產(chǎn)是平行四邊

形，又/A7中=90。，所以是矩形，由△Q4F的面積可得|A耳卜|44=16",再由雙曲線的定義得

\AF]-\AF\=2a,兩者結(jié)合可得恒耳『十^司2,由勾股定理得名。關(guān)系，從而得離心率

【詳解】如圖，不妨設(shè)A在第一象限，設(shè)片是雙曲線的左焦點(diǎn)，顯然A,8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此&片8尸是平

行四邊形，

2

又“B=90。，所以&片曾是矩形，SIAOF=^AFiF=^\AFl\\AF\=4a,

|AF；|.|AF|=16a2,又|A周—恒同=2。，所以4c?=|耳尸「=卜片「+|A殲=（2。）?+2x16/=361,所以e=

故選：D.

22

【變式訓(xùn)練31】、（2022,河南?平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線C?-g=l（“>04>0）

的左、右焦點(diǎn)分別為6，F(xiàn)],P是雙曲線上一點(diǎn)，且（而+函）.中=0（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），若△尸片入內(nèi)

切圓的半徑為I,則C的離心率是（）

A.73+1B.^±1C.^±1D.76+1

22

【答案】C

【分析】由（而+麗）?￡>=（）分析可得PG，P工，根據(jù)內(nèi)切圓性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義分析可得切點(diǎn)。為雙

曲線的右頂點(diǎn)，在Rt△尸耳K中，由勾股定理列式求解.

【詳解】（麗+巫）?m=0,即為（赤+場(chǎng)）?（而一赤2）=0,即為加2=赤；，可得|OP|=c.所以

PFl±PF2,

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，由題意設(shè)的內(nèi)切圓切三邊分別于G,

D,￡三點(diǎn)，貝小尸6|=|「?,叵耳|=|期|,但勾=|亞|.

又忙圖一|魏|=勿,所以|G周一|.|=|。耳卜|理|.

設(shè)￡）國,0）,則毛+<?-（<?-/）=20,所以尤（）=a,

所以切點(diǎn)D為雙曲線的右頂點(diǎn)，所以同|=|GP\+\GFl\=^+\DFl\=^+c+a=^-+c,

\PF2\=\PE\+\EF2\=^+\DF2\=^+c-a=c-^.

在RtAPfJK中，由勾股定理得（￡+/+*_|J=（2c）2,

整理得4c2-4改—5/=0,即4/-4e-5=0,解得e=上好，

2

又因?yàn)閑>l,所以C的離心率為e=?^,

2

故選：C.

（四）中點(diǎn)弦問題（設(shè)而不求）

22

例4.（1）、（2021?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三月考（理））以橢圓：1內(nèi)一點(diǎn)尸（1,1）為中點(diǎn)的

弦所在的直線方程是（）

A.4x+3y—7=0B.3x+4y—7=0

C.后+2y-（2+百）=0D.2x+也y-（2+拘=0

【答案】B

【分析】

首先設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)A（x”X）,3（多,％）,再利用點(diǎn)差法求直線的斜率，最后求解直線方程.

【詳解】

設(shè)過點(diǎn)尸（U）的直線交橢圓于4（孫必）,35，力）兩點(diǎn)，

--—F']=1

則;3,兩式相減得&+%）（%—/）+（M+必）（%—%）=0,

*43

因?yàn)?+%=2,%+%=2,

???X1二馬，兩邊同時(shí)除以國一工2得;+；x$~$_=。，

4J玉一X?

3

所以直線方程為＞-1=一：（》-1）,即3元+4y-7=0.

故選：B

⑵、（2021,云南師大附中高三月考（文））已知pg,l1為橢圓!+：=1內(nèi)一點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)4B

關(guān)于點(diǎn)戶對(duì)稱，則弦AB的中垂線方程為.

【答案】4x-y-l=0

【分析】

由于"點(diǎn)縱坐標(biāo)不為0,則力6斜率存在，設(shè)出46的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法得到人.，進(jìn)一步得到力6的中

垂線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程得到答案.

【詳解】

易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為七46坐標(biāo)分別為（即乂），（％%）,

則￡.+■=1,名+*=1,兩式相減得（7+.）（演一上-）+（%+及）（.一及1-0,

424242

:玉+*=1,乂+乃=2,」J+x_%=0,=———=-^,

4Xj1元24

二弦AB的中垂線的斜率為4,方程為y-l=4（x-￡|,即4尤一匕1=0.

故答案為：4x-y-l=0

22

（3）.（2022?四川南充?二模（文））已知橢圓C:5+』=l（a>Z?>0）的左焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線

ab

x-y+及=0與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,若尸為線段A3的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的斜率為

-1,則橢圓C的方程為（）

r222

A.Fy2=1B.1=1

342

C.—+^=1D.—+^=1

5363

【答案】B

7,2

【分析】先求得焦點(diǎn)，也即求得J然后利用點(diǎn)差法求得勺，從而求得外也即求得橢圓C的方程.

【詳解】直線x-y+3=0過點(diǎn)網(wǎng)-近0）,所以c=VL

由W+[=i，4+善=1兩式相減并化簡(jiǎn)得一與=入土支.=21

cibciba玉+x?石一%

所以b=c=V2,a=2,

所以橢圓c的方程為X+E=1.

42

故選：B

【變式訓(xùn)練41】、已知橢圓G:二+當(dāng)=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)為43,0）,過點(diǎn)R的直線交橢圓于4,8兩

ab

點(diǎn).若A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,一1）,則E的方程為（）

22222222

A.WB.U1C-1D.U1

453636272718189

_11A2

【解析】：由結(jié)論可得：一X—=——，得/=2〃，C=3,選D。

12a2

【變式訓(xùn)練42】、（202L福建省南平市高級(jí)中學(xué)高二期中）橢圓￡+上=1內(nèi)，過點(diǎn)M（2,l）且被該點(diǎn)平分

164

的弦所在的直線方程為.

【答案】尤+2y-4=0

【分析】

設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上利用點(diǎn)差法求解出kAB的值，再利用直線的點(diǎn)斜式方程可求解出直線方程.

【詳解】

設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A&,%）,鞏法％），因?yàn)锳8在橢圓上,

[22

士+J22

164所以5二

所以J1'斤~616

1164

所以二二”9所以之二匹.七&一2

16x-x+x16

%-x2]22

所以3￥1x=7-4白，所以配=14

2x2162

所以A3的方程為：j-l=-1(x-2),即x+2y_4=0,

故答案為：x+2y—4=0.

【變式訓(xùn)練43】、（2022?福建?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：!+[=l,過點(diǎn)作直線/橢圓C交于A,B

86

點(diǎn)，若點(diǎn)P恰好為線段的中點(diǎn)，則直線/的斜率為

【答案】|3

【分析】利用點(diǎn)差法求解直線的斜率

2222

【詳解】設(shè)4（4％）,3（孫％），則&+1=1①,迤+坂=1②.

8686

②_①得（%+、）（％-%）+（為+%）（%-M）=0

861

所以上_%-月一6（%+占）_6J4）_3

1%-尤18（%+M,812）21

、3

即直線/的斜率為5.

故答案為：(3

例5.(2022?安徽?合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知橢圓C:《+《=l的右焦點(diǎn)為p，點(diǎn)A3,尸在橢

43

圓C上

⑴若線段A2的中點(diǎn)為求直線A2的方程；

⑵若歹恰好是&W尸的重心，且|"|,|尸尸|,忸川成等差數(shù)列，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(l)3x-4y-7=0

【分析】(1)利用點(diǎn)差法可求得治B，根據(jù)直線點(diǎn)斜式可整理得到所求直線方程；

(2)根據(jù)重心坐標(biāo)表示可得再+尤2+退=3；根據(jù)21PH=|/用+忸吐結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可整理得到

%+%=2泡,由此可得退，代入橢圓方程即可得到所求點(diǎn)坐標(biāo).

(1)

設(shè)AQ,yJ,3(%,%)，則%+無2=2,M+%=-2,

吐+g=1

由：：得：上學(xué)_=一上近，即（占+尤2）（占一%）=（必+%）（%一）

小=14343

L43

_弘一%_3再+馬_3

,,KAB_-,-,

%-%24A%+%4A

二直線AB的方程為：y+l=-(^-l),即3x-4y-7=0.

⑵

由橢圓方程知：尸(1,0),設(shè)A&,%),3（%，%），尸（王，％），

恰好是A4BP的重心，.?.:+￥*=1,即玉+9+工3=3,

,?,|叫=，&_球+犬=^-1)2+3-|^2=]1/-2：i=24

同理可得：附=2一半，\PF\=2-^-,

又|AF|,|尸耳，忸同成等差數(shù)列，2歸尸|=|A尸|+忸同=4-

整理可得：%+4=2尤3,再+%+彳3=3鼻=3,解得：鼻=1,

3QQ

將W=1代入橢圓方程得：解得：％=±：,

點(diǎn)坐標(biāo)為或,!■

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：求解圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題時(shí)，常采用點(diǎn)差法，針對(duì)不同曲線，弦中點(diǎn)（飛,為）與弦

所在直線斜率左的關(guān)系如下：

22

(1)橢圓?+2中，k=-

2

Qba%

22

(2)雙曲線.-2=l(a>0,6>0)中,無o

ciba

y0

(3)拋物線y2=2px(p>0)中，^=—

%

2

【變式訓(xùn)練51】、（2022?上海■模擬預(yù)測(cè)）設(shè)4、2是雙曲線/-匕=1上的兩點(diǎn)，點(diǎn)M（1,3）是線段A3的中

3

點(diǎn).

⑴求直線的方程；

⑵若線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、。兩點(diǎn)，則A、B、C、。四點(diǎn)是否共圓？判斷并說明理

由.

【答案】(l)x->+2=0

（2）A、B、C、。四點(diǎn)共圓，理由見解析.

【分析】（1）點(diǎn)差法求解中點(diǎn)弦的斜率及方程；（2）求出48兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立后求

出C。點(diǎn)的坐標(biāo)，得到C。的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，計(jì)算得到|MC|=|⑷=從而得到四點(diǎn)共圓.

(1)

設(shè)孫％），顯然占一々，％#%，

-y；=3

由題意得：

-y；=3'

兩式相減得:3(^+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),

即

因?yàn)辄c(diǎn)V（1,3）是線段AB的中點(diǎn),

所以江互=」一=3,

%+%2%+%

2

所以21二匹=1,

xi-x2

即直線A3的斜率為1,

所以直線A3的方程為丫-3=尤一1,整理得：X-y+2=0

⑵

聯(lián)立一+2=。與人齊，得到：

2x2-4x-7=0,

解得：x=l土逑，當(dāng)x=l+逑時(shí),cc30

y=x+2=3d-------，

222

比?3忘此30

=x=1--------時(shí)，y=x+2=3--------)

22

二心人3點(diǎn)。3點(diǎn)）Ji30a3收）

不妨設(shè)A1+三一,3+一$一,B1———,3一一—

2

2

直線AB的垂直平分線為y=-x+4,與f一二=i聯(lián)立得：2%+8X-19=0

3

自況彳曰?c3^/^空3^/6miQ3^/^

用軍傳.x=-2土---,=]=—2+------oj,y=6---------,

222

當(dāng)x=—2—亞時(shí)，y=6+亞，

22

不妨設(shè)C-2+——,6—―,D-2--—,6+——,

I22JV2Z)

則CD的中點(diǎn)為M（—2,可,

X|MA|=3A/3,=3\/3,

\MC\=\MD\=fW)=3^3,

所以|MC|=|岫

故A、B、C、。四點(diǎn)共圓，圓心為M（—2,6）,半徑為36.

四、課堂訓(xùn)練

fv2

1.(2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè)(理))橢圓二+々=1的左右焦點(diǎn)分別為用工，右頂點(diǎn)為8,點(diǎn)A在橢圓

ab

上，滿足？小鳥?ABF?60°,則橢圓的離心率為()

A.在B.V13-3

2

C.2百-3D.73-1

【答案】B

【分析】根據(jù)相似可得|"；|=j2c(a+c),根據(jù)橢圓定義以及焦點(diǎn)三角形中余弦定理，可得

e3+5/-10e+4=0,因式分解即可求解.

【詳解】由？KAg?ABF2,?AFtF2?4百2得"48~海姑，故=|單羽班|,即

|然|=J2c(a+c),故|饃|=2a-J2c(a+c),上q=2c,在△A月月中，由余弦定理可得：

比月「=|AF；「+同國2-2|AEME|cos60。,

4c2=(J2cm+c))+氟-J2c(a+c)-(J2c(a+c))氟-,2c(a+c),化簡(jiǎn)得

-(a-c)=—?(a.I-c),BP2+e=3.1,貝U/+5e?-10e+4=0,

32Va+c\l+e

e3+5e2-10g+4=071)+5(>-2e+l)=0?5(e1)仔+6e-4)=0,因?yàn)閑xl,所以/+6e-4=0

解得6=而-3或-屈-3(舍),

故選：B.

2.(2022?全國?三模(文))已知拋物線C:y2=4x,直線/與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為

(4,2),貝卜的方程為()

A.x-y-2=0B.2x-y-6=0

C,x+y-6=0D.x-2y=0

【答案】A

%+%2=8

【分析】設(shè)點(diǎn)A&,耳)、j2),則利用點(diǎn)差法可求得直線/的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得

.%+%=4

出直線/的方程.

【詳解】設(shè)點(diǎn)人（%,%）、3（毛,%），則「2.,

若直線軸，則線段AB的中點(diǎn)在x軸上，不合乎題意，則直線/的斜率存在，

由已知竹,兩式作差可得（乂-%）（乂+%）=4（玉-々），

[%=4々

所以，直線/的斜率為―^=-^=1,

因此，直線/的方程為y-2=x-4,即x-y-2=0.

故選：A.

3.（2022?湖南?長郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）（多選題）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2,

過尸的直線/交拋物線C于兩點(diǎn)A,B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為x=-2B.若|AF|=4,貝”。4|=01

C.若|A尸|?|B尸|=4"，則/的斜率為土且D.過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H,若x軸平分NHFB,

3

則IA尸1=5

【答案】BC

【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C：V=2px（p>0）的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離為2,所以p=2,

所以拋物線方程為丁=4x,則焦點(diǎn)尸（1,0）,準(zhǔn)線為x=T,故A錯(cuò)誤；

若|AF|=4,則無A=3,所以蟾=4乙=12,所以|。4|=&+立=痣1,故B正確；

可設(shè)4（玉,%）,3（孫％），

直線AB的方程為x=my+l,與拋物線y2=4x聯(lián)立,

消去x,可得J-4:3-4=0,

可得%+%=4m,%%=-4,

由拋物線的定義可得IAFI?I防1=（占+1）（尤2+l）=Hi+2）（沖2+2）=16,

即療X%+2m{yx+%）+4=16,即+8病+4=16,

解得〃7=±6，則直線的斜率為土立，故C正確；

3

對(duì)于D若x軸平分］j\\\ZOFH=ZOFB,又四〃x軸，

所以ZAHF=NOFH=NOFB=ZAFH,所以HF=AF=AH,

所以與顯=號(hào)，即4=3,所以|A尸|=必+1=4,故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.

22

4.（2022?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線C*-}=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月,耳，過百

的直線/與圓/+/=/相切于點(diǎn)T,且直線/與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P,若辟=3科則雙曲線C的

離心率為.

［答案］叵##=屈

22

【分析】數(shù)形結(jié)合可知比刀="戶閘=6,且|尸劇=36-2a,利用RLMT8中邊的關(guān)系即可求得離心率.

【詳解】如圖所示：

由題可知，|。耳卜c,QT|=。,貝I忸刀=。,

又用=3用，；|陰=26,|尸耳|=3萬，

又忸司-|「國=勿,則愿=3P-2a,

作鳥M|