中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)拓展訓(xùn)練：幾何動態(tài)性問題之動點問題（原卷版+解析）

專題36幾何動態(tài)性問題之動點問題（原卷版）

類型一動點產(chǎn)生函數(shù)關(guān)系

1.（2022秋?呼和浩特期末）如圖，AB=5,。是AB的中點，尸是以點。為圓心，A8為直徑的半圓上的一

個動點（點P與點A,B可以重合），連接B4,過P作于點“設(shè)”=無，則Agjr2,令y

=AP-AM,下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

2.（2022?湖北模擬）如圖①，在矩形A8C。中，AB<AD,對角線AC,8。相交于點O,動點P由點A出

發(fā)，沿A8-BC-CZ）向點。運動.設(shè)點尸的運動路程為x,ZVI。尸的面積為y,y與x的函數(shù)關(guān)系圖象

如圖②所示，則A。邊的長為.

3.（2022秋?荔城區(qū)校級期末）如圖，點A為雙曲線在第二象限上的動點，A。的延長線與雙曲線的

另一個交點為8，以為邊的矩形A8CD滿足AB：BC=4：3,對角線AC,BD交于點P,設(shè)尸的坐標

為（777,n）,貝”九，〃滿足的關(guān)系式為.

4.（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB=AC=6cm,8c=8c/w,點尸從點8出發(fā)，沿線段

BC以2cmis的速度向終點C運動，點。從點C出發(fā)，沿著C-A-B的方向以3c%/s的速度向終點B運

動，P,。同時出發(fā)，設(shè)點尸運動的時間為f（s）,△CP。的面積為S（。扇）.

（1）sinB=；

（2）求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量f的取值范圍.

AA

備用圖

類型二動點產(chǎn)生面積變化

5.(2022春?舒城縣校級月考)如圖所示，在矩形A8C。中，AB=20,A￡>=16,點尸從點A出發(fā)沿A8以

每秒4個單位長度的速度向點B運動，同時點。從點8出發(fā)沿BC以每秒2個單位長度的速度向點C運

動，點尸到達終點后，P、。兩點同時停止運動.

(1)當f=3秒時，線段。尸=—.

(2)當/=—秒時，ABP。的面積是24.

6.(2022秋?江門期末)如圖，在△ABC中，NB=90°,AB=5cm,BC=8cm.點P從點A開始沿AB邊

向點B以\cmJs的速度移動、同時點Q從點B開始沿邊向點C以2cm/s的速度移動，當其中一點到

達終點時，另外一點也隨之停止運動.

(1)△PQB的面積能否等于9cm2?請說明理由.

(2)幾秒后，四邊形APQC的面積等于16cm2?請寫出過程.

A-APB

類型三動點產(chǎn)生兩點距離變化

7.（2022?安岳縣模擬）如圖所示，A,B,C,。為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=Scm,動點P,。分

別從點A,C同時出發(fā)，點尸以3c機/s的速度向B移動，一直到達B為止；點。以2c7Ms的速度向。移

動.當P,。兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點。的距離是10。".（）（若一點到達終點，另一點也

隨之停止運動）

A.2s或——sB.1s或——sC.——sD.2s或——s

5555

8.（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）如圖，正方形A8CD中，AB=5cm,以8為圓心，1cm為半徑畫圓，點尸

是。8上一個動點，連接AP,并將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AP,連接BP',在點P移動的過程

中，BP'長度的取值范圍是cm.

9.（2022秋?海港區(qū)校級期末）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為"（2,0）,與y軸交于點3（0,2）,

直線>=無+m與該二次函數(shù)的圖象交于A,B兩點，。是線段上的一個動點，過。作無軸的垂線交二

次函數(shù)的圖象于點E.則線段DE的最大值為一.

類型四動點產(chǎn)生圖形形狀變化

10.（2022秋?陽泉期末）如圖所示，已知△ABC中，BC=l6cm,AC=2Qcm,A8=12aw,點尸是BC邊上

的一個動點，點尸從點2開始沿8-C-A方向運動，且速度為每秒2c〃z,設(shè)運動的時間為f（s）,若4

A8P是以AB為腰的等腰三角形，則運動時間t=.

11.(2022秋?中原區(qū)校級期末)如圖，在矩形O4HC中，0c=8b，04=16,8為C”中點，連接AB.動

點M從點。出發(fā)沿。4邊向點A運動，動點N從點A出發(fā)沿AB邊向點B運動，兩個動點同時出發(fā)，速

度都是每秒1個單位長度，連接CM,CN,MN,設(shè)運動時間為f秒，則t=時，△CMN

為直角三角形.

12.(2022秋?中原區(qū)月考)如圖，在矩形A8CD中、AB=\5cm,AD=5cm,動點尸、。分別從點A、C同

時出發(fā)，點尸以3cmk的速度向點B移動，一直到點B為止，點。以2cmis的速度向點。移動(點P停

止移動時，點0也停止移動).設(shè)移動時間為f(s).連接尸。，QB.

(1)當/為何值時，P、。兩點間的距離為13<??。?/p>

(2)四邊形APQ。的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出f的值；若不可能，請說明理由.

13.(2022春?淄川區(qū)期中)如圖，在梯形A8CZ)中，AD//BC,ZC=ZD=90°,8c=16,CD=\2,AD

=21.動點P從點。出發(fā)，沿線段D4的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點。從點C出發(fā)，在

線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動.點P,Q分別從點。，C同時出發(fā)，當點尸運動到

點A時，點0隨之停止運動.設(shè)運動時間為t(s),當f為何值時，以3,P,。三點為頂點的三角形為

等腰三角形？

14.(2022秋?崇左期末)已知拋物線>="2+樂+3QW0)交無軸于A(1,0)和8(-3,0),交y軸于C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若M為拋物線上第二象限內(nèi)一點，求使面積最大時點M的坐標；

(3)若尸是對稱軸上一動點，。是拋物線上一動點，是否存在尸、Q,使以8、C、R。為頂點的四邊

形是平行四邊形？若存在，直接寫出點。的坐標.

備用圖

類型五動點產(chǎn)生三角形相似

15.（2022秋?亳州期末）如圖Rt^ABC的兩條直角邊AB=4c〃z,AC=3cm,點。沿AB從A向2運動，速

度是lcm/s,同時，點E沿8C從8向C運動，速度為2cm/s.動點E到達點C時運動終止.連接DE、

CD、AE.

（1）當動點運動秒時，△2DE與△ABC相似；（2）當動點運動秒時，CDLDE.

16.（2022秋?渠縣校級期末）如圖，直線y=-$+8與x軸、y軸分別交于點A、B,一動點P從點A出發(fā)，

沿A一。一B的路線運動到點2停止，C是AB的中點，沿直線PC截△AOB,若得到的三角形與△AOB

相似，則點尸的坐標是.

17.（2022秋?唐河縣期末）如圖，在矩形ABC。中，AB^3cm,BC=6cm,動點M以lcm/s的速度從A點

出發(fā)，沿AB向點B運動，同時動點N以2cm/s的速度從點。出發(fā)，沿D4向點A運動，設(shè)運動的時間

為f秒（0</<3）.

1

（1）當/為何值時，△AMN的面積等于矩形ABC。面積的一？

9

（2）是否存在某一時刻人使得以A、M、N為頂點的三角形與△AC。相似？若存在，求出f的值；若

不存在，請說明理由.

類型六動點產(chǎn)生兩直線位置關(guān)系變化

18.（2022秋?路南區(qū)校級期末）如圖，矩形A8C。中，AB=16,8c=8,點P為AB邊上一動點，。尸交

AC于點Q.

（1）求證：ZkAP0s△C￡）Q

（2）P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒2個單位長度的速度向8點移動，移動時間為f秒.當/為何值時，

DPXAC?

類型七動點產(chǎn)生最值

19.（2022秋?荊門期末）如圖，平面直角坐標系中點A（6,0）,以O(shè)A為邊作等邊△OA'B'與

△OAB關(guān)于y軸對稱，M為線段08'上一動點，則的最小值是（）

C.12D.18

20.（2022?揚州三模）如圖，已知正方形A8CD的邊長為4,點￡是A8邊上一動點，連接ED,將繞

點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF,連接DF,CF,則DF+CF的最小值是（）

21.（2021秋?殷都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZC<90°,NB=30°,AB=10,AC=7,。為AC的中

點，M為邊上一動點，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角a（0°<aW360°）得到△A3C,點M的對

應(yīng)點為連接OM1,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段OAf的長度的最小值是（）

22.（2022秋?橫縣期中）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸上的動點，連接EC,將線

段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°等到FC,連接。F,則在點E運動過程中，。產(chǎn)的最小值是（）

23.（2022秋?石門縣期末）如圖，A8是。。的直徑，AB=4,C為通的三等分點（更靠近4點），點尸是

。。上一個動點，取弦AP的中點。，則線段C。的最大值為（）

A.2B.V7C.2V3D.V3+1

24.（2022秋?泰山區(qū)期末）如圖，點P（3,4）,OP半徑為2,A（2.5,0）,B（5,0）,點M是。尸上的

動點，點C是MB的中點，則AC的最大值是（）

3579

A.B.C.D.

2222

25.（2022?南京模擬）如圖所示，A8=4,8C=8,于點8點。是線段8C上一個動點，且A。，

DE于點D,tan^DAE=連接CE,則長的最小值是

4-CE

26.（2022秋?市北區(qū)校級期末）如圖，正方形48C。邊長為12c7以M、N分別是邊BC,C。上的兩個動點,

且則線段AN的最小值是—cm.

27.（2022?富陽區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABC。中，AC與2。交于點。，ZOAB=45°,ZAB（9=60°,

30=8.點P從B點出發(fā)沿著BZ）方向運動，到達點。停止運動.連接AP,點B關(guān)于直線AP的對稱點

為。.當點。落在AC上時，貝|。。=,在運動過程中，點。到直線8。的距離的最大值為.

28.（2022秋?南開區(qū)校級期末）平面直角坐標系中，C（0,4）,K（2,0）,A為x軸上一動點，連接AC,

將AC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AB,當點A在x軸上運動，8K取最小值時，點8的坐標為.

29.（2022秋?河口區(qū)期末）如圖，拋物線>=蘇+6尤-3（aWO）與x軸交于點A（-1,0）,點8（3,0）,

與y軸交于點C.

（1）求拋物線的表達式；

（2）在對稱軸上找一點。，使△AC。的周長最小，求點。的坐標；

（3）點尸是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，試求四邊形ACPB面積的最大值.

專題36幾何動態(tài)性問題之動點問題(解析版)

類型一動點產(chǎn)生函數(shù)關(guān)系

1.(2020秋?呼和浩特期末)如圖，AB=5,。是A8的中點，P是以點。為圓心，為直

徑的半圓上的一個動點(點產(chǎn)與點A,8可以重合)，連接以，過P作尸于點設(shè)

AP=x,則令尸下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大

致是()

思路引領(lǐng)：由y=AP-AM=尤—#=—■|x(x-5)(0WxW5),即可求解.

解：由題意得：y—AP-AM=x—1x2=-(x-5)(04W5),

Va=-1,故拋物線開口向下，

當時，y的最大值為一(-|)=

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象，確定函數(shù)的表達式是本題解題的關(guān)鍵.

2.(2022?湖北模擬)如圖①，在矩形A8CD中，AB<AD,對角線AC,8。相交于點O,

動點P由點A出發(fā)，沿AB-BC-CD向點O運動.設(shè)點P的運動路程為無，AAOP的

面積為y,y與尤的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則AD邊的長為.

思路引領(lǐng)：當P點在AB上運動時，△AO尸面積逐漸增大，當P點到達8點時，結(jié)合圖

象可得△AOP面積最大為3,得到AB與2C的積為12；當P點在BC上運動時，△AOP

面積逐漸減小，當P點到達C點時，△AOP面積為0,此時結(jié)合圖象可知P點運動路徑

長為7,得到AB與8C的和為7,構(gòu)造關(guān)于的一元二方程可求解.

解：當尸點在A8上運動時，△AOP面積逐漸增大，當P點到達B點時，AA。尸面積最

大為3.

9/45

11

：.-AB-BC=3,BPAB'BC=12.

22

當尸點在BC上運動時，△AO尸面積逐漸減小，當尸點到達C點時，△AOP面積為0,

此時結(jié)合圖象可知P點運動路徑長為7,

：.AB+BC^1.

貝|JBC=7-AB,代入A8?BC=12,AB2-7AB+12=0,

解得48=4或3,

'：AB<AD,AB<BC,

：.AB=3,BC=4.

即A￡)=4.

故答案為:4.

總結(jié)提升：本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是分析三角形面積隨動點運

動的變化過程，找到分界點極值，結(jié)合圖象得到相關(guān)線段的具體數(shù)值.

3.(2022秋?荔城區(qū)校級期末)如圖，點A為雙曲線y=-1在第二象限上的動點，A。的延

長線與雙曲線的另一個交點為8,以AB為邊的矩形4BCD滿足AB：BC=4：3,對角線

AC,8。交于點P,設(shè)P的坐標為(m,n),則機，〃滿足的關(guān)系式為.

思路引領(lǐng)：連接。尸，分別過點4尸作x軸的垂線，垂足為M、N,證明△AOMS/XOPN,

然后利用相似三角形的性質(zhì)分析求解.

解：連接OP,分別過點4P作x軸的垂線，垂足為M、N,

?.?四邊形ABC。是矩形,

10/45

AZABC=90°,AP=PC,

"：OA=OB,

：.OP//BC,BC=2OP,

：.ZAOP=ZABC=90°,AO：OP=AB：8C=4：3,

AZAOM+ZPON=90°,

VZAMO=90°,

：.ZAOM^-ZMAO=90°,

：.ZMAO=ZPON,

：.XAOMsNJPN,

.S^AOM/”。、716

??-----------=(------)=TF，

S^OPNOP9

:點A為雙曲線＞=一,在第二象限上的動點，

設(shè)點A的坐標為Q,—|),

1—2

,**S/^AOM=2x(―a)x--=1,

??b/\OPN=正，

丁尸的坐標為(m,n)9

.19

..Sc/^OPN=2mn=

/.mn=p,

9

-

故答案為：mn8

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義、相似三角形判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，

恰當?shù)臉?gòu)建相似三角形，利用面積比是相似比的平方是解題關(guān)鍵.

4.(2022秋?甘井子區(qū)校級期末)如圖，ZvlBC中，AB=AC=6cm,BC=8cm,點P從點、B

出發(fā)，沿線段以2CM/S的速度向終點。運動，點。從點C出發(fā)，沿著。一4一3的方

向以3CM/S的速度向終點5運動，P,。同時出發(fā)，設(shè)點尸運動的時間為/(s),ACPQ

的面積為S(cm2).

(1)sinB=；

(2)求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量/的取值范圍.

11/45

AA

Q

BB

備用圖

思路引領(lǐng)：（1）過點A作ADLBC,垂足為。，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出80

的長，再利用勾股定理求出A。的長即可解答;

（2）分兩種情況，當0V/W1時，當1V/V2時.

解：（1）過點A作垂足為。,

\9AB=AC=6cm,AD1BC,

1

:?BD=2^C=4cm,

在RtZ\A3￡)中，AB=6cm,BD=4cm,

：.AD=7AB2-BD2=2V5,

?ADy/~S

??加D=而=中

V5

故答案為：—.

(2)過點。作QE_L8C,垂足為E,

'：AB=AC,

:?NB=/C,

sinB=sinC=亭，

分兩種情況：當0V/W1時，

由題意得：CQ=3t,BP—It,

:,CP=BC-BP=8-2t,

在RtZXCQE中，QE=CQsinC=3f^-=迎,

：.S=2P?QE=j*(8-2t)?屆=Apt-?=-V5?+4V5r,

當1V/V2時，

12/45

A

Q

由題意得：CA+AQ=3t,BP=2t,

:.CP=BC-BP=8-2t,

BQ^AB+AC-(CA+AQ)=12-3f,

在RtABQE中，QE=B2sin2=(12-3f)?今=4爪-正t,

；.S=*[JP.QE=費1(8-2r)<4V5-V5r)=V5t2-8V5t+16近,

(-V5t2+4V5t(0<t<2)

:.S=

lV5t2-8V5t+1675(2<t<4)

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形，函數(shù)關(guān)系式，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，函

數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)

學(xué)思想.

類型二動點產(chǎn)生面積變化

5.（2022春?舒城縣校級月考）如圖所示，在矩形A8CD中，AB=20,AD=16,點尸從點

A出發(fā)沿AB以每秒4個單位長度的速度向點B運動，同時點。從點B出發(fā)沿BC以每

秒2個單位長度的速度向點C運動，點P到達終點后，尸、Q兩點同時停止運動.

（1）當f=3秒時，線段。尸=—.

思路引領(lǐng)：（1）當f=3秒時，根據(jù)題意可得，AP=12,再根據(jù)勾股定理即可求解.

（2）設(shè)運動時間為rGW5）秒，則BP=20-At,BQ=2t,根據(jù)△BP。的面積是24列

13/45

出方程，求解即可.

解：(1):當f=3秒時，4尸=4X3=12,

根據(jù)勾股定理得DP=7Ap2+力。2=20.

故答案為：20.

(2)設(shè)運動時間為f(fW5)秒，

此時，BP=20-4t,BQ=2t,

MBPQ的面積是24,

1

：.-?(20-4t)-2t=24,

整理得，?-5/+6=0,

解得：ti=2,12—3,

...當f=2秒或3秒時，△BP。的面積是24.

故答案為：2或3.

總結(jié)提升：本題主要考查勾股定理、列代數(shù)式、一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找準數(shù)

量關(guān)系，列出方程是解題關(guān)鍵.

6.(2022秋?江門期末)如圖，在△ABC中，/B=90°,AB^5cm,BC=8cm.點P從點、

A開始沿A8邊向點8以lcm/s的速度移動、同時點。從點8開始沿8c邊向點C以Icm/s

的速度移動，當其中一點到達終點時，另外一點也隨之停止運動.

(1)APOB的面積能否等于95？？請說明理由.

(2)幾秒后，四邊形APQC的面積等于16cm2?請寫出過程.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)△尸的面積等于9c機2,即可得出關(guān)于/的一元二次方程，由根的

判別式△=-1K0,可得所列方程沒有實數(shù)根，進而得出△PQB的面積不等等于9cm2；

(2)根據(jù)四邊形APQC的面積等于16a層，即可得出關(guān)于r的一元二次方程，解之即可

得出，的值，結(jié)合當r=4時，C,。點重合，即可得出結(jié)論.

解：(1)的面積不能等于9CMJ2,

理由如下：

?.,54-1=55,84-2=45,

...運動時間t的取值范圍為：0W/W4,

14/45

根據(jù)題意可得：AP=tm,BP=(5-t)cm,BQ=2tcm,

假設(shè)△PQB的面積等于9cm2,

1

則3(5-t)X2t=9,

整理得：?-5/+9=0,

A=(-5)2-4X1X9=-11<0,

???所列方程沒有實數(shù)根，

/\PQB的面積不能等于9cm2；

(2)由(1)得：AP^tcm,BP=(57)cm,BQ=2tcm,運動時間f的取值范圍為：0

WW4,

?/四邊形APQC的面積等于16ctn2,

11

x5x8——(5—t)x2t=16,

22v7

整理得：於-5什4=0,

解得九=1,￡2=4,

當當/=4時，C,。點重合，不符合題意，舍去，

:?t=1,

答：Is后，四邊形APQC的面積等于16cn?.

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：(1)找準

等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；(2)牢記當AVO時，方程無實數(shù)根.

類型三動點產(chǎn)生兩點距離變化

7.(2022?安岳縣模擬)如圖所示，A,B,C,。為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=8cm,

動點尸，。分別從點A,C同時出發(fā)，點P以3a〃/s的速度向B移動，一直到達B為止；

點。以2cmis的速度向D移動.當尸，。兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點。的距離是

Wcm.()(若一點到達終點，另一點也隨之停止運動)

思路引領(lǐng)：設(shè)當P、Q兩點從出發(fā)開始x秒時，點P和點Q的距離是10cm,此時AP=

3xcm,DQ=(16-2x)cm,利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得

出結(jié)論.

解：設(shè)當尸、。兩點從出發(fā)開始x秒時(xV學(xué))，點尸和點。的距離是10cm,

15/45

此時AP=3XC?J,DQ=(16-2x)cm,

根據(jù)題意得：(16-2x-3x)2+82=102,

解得:xi—2,X2=番.

22

答：當尸、。兩點從出發(fā)開始到2秒或W?秒時，點尸和點。的距離是10cm.

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，利用勾股定理找出關(guān)于x的一元

二次方程是解題的關(guān)鍵.

8.(2022秋?荔灣區(qū)校級期末)如圖，正方形A8C。中，AB=5cm,以8為圓心，1c機為半

徑畫圓，點尸是02上一個動點，連接AP,并將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AP,

連接3P',在點P移動的過程中，BP'長度的取值范圍是cm.

思路引領(lǐng)：通過畫圖發(fā)現(xiàn)，點P'的運動路線為以。為圓心，以1c機為半徑的圓，可知：

當P在對角線BD上時，BP'最小；當P'在對角線BD的延長線上時，BP'最大.先

證明△BLBg/XP'AD,則P'D=PB=1,再利用勾股定理求對角線BD的長，則得出

BP'的長度的取值范圍.

解：如圖，當P在對角線2D上時，最小；當尸'在對角線2。的延長線上時，

最大.

連接BP,

①當P在對角線2D上時，

由旋轉(zhuǎn)得：AP=AP',APAP'=90°,

：.ZPAB+ZBAP'=90°,

???四邊形ABC。為正方形，

：.AB^AD,ZBAD=90°,

：.ZBAP'+ZDAP'=90°,

：.ZPAB=ZDAP',

：./\PAB^/\P'AD,

：.P'D=PB=lcm,

在RtAABD中，

AB=AD=5cm9

16/45

由勾股定理得：BD7s2+52=5<2cm,

:.BP'=BD-P'。=5/一1,

BPBP'長度的最小值為(5V2-1)cm.

②當P在對角線8。的延長線上時，

同理可得3。=5/cm,

：.BP'=BD+P'D=(5V2+1)cm,

BPBP'長度的最大值為(55/2+1)cm.

.?.8P'長度的取值范圍是(5V2-1)cm^BP'W(5A/2+1)cm

故答案為：(5A/2—1)cm^BP'W(5A/2+1)cm.

總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點與圓的位置關(guān)系和最值問題，尋

找點P'的運動軌跡是本題的關(guān)鍵.

9.(2022秋?海港區(qū)校級期末)如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為M(2,0),與y軸

交于點3(0,2),直線>=無+相與該二次函數(shù)的圖象交于A,B兩點，。是線段上的

一個動點，過。作x軸的垂線交二次函數(shù)的圖象于點E.則線段DE的最大值為.

思路引領(lǐng)：根據(jù)題中條件可求出拋物線和直線的解析式，進而求出點A的坐標，根據(jù)點

。是線段A8上的一個動點，設(shè)出點。的坐標，再根據(jù)。軸，可得出點E的坐標,

則可得出DE=一排2+3m=-3)2+/根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值.

解：根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為：y=a(x-2)2,

把8(0,2)代入可得：4a=2,解得：。另，

拋物線解析式為：(尤-2)2=#-2X+2,

17/45

把8(0,2)代入直線＞=%+m可得：m=2,

，y=x+2,

1

當r2-2x+2=x+2時，解得：xi=0,%2=6,

2

AA(6,8),

???點D是線段AB上的一個動點，

，可設(shè)點。的坐標為(m,m+2),且0WmW6,

???過。作x軸的垂線交二次函數(shù)的圖象于點E,

1

??.點E的坐標為(m,—ITT-2m+2),

2

'.DE=m+1-(—m2-2/w+2)=-^m2+3m——1(m-3)2+^,

2222

1

<0,圖象開口向下，且0W?iW6,

9

當根=3時，DE有最大值，最大值為一；

2

9

故答案為：--

總結(jié)提升：本題主要考查的是二次函數(shù)之線段最大值題型，解題關(guān)鍵：一是求出拋物線

與直線的解析式，二是用含有m的式子表示出DE的長并配成頂點式.

類型四動點產(chǎn)生圖形形狀變化

10.(2022秋?陽泉期末)如圖所示，已知AABC中，BC=\6cm,AC=20cm,AB=12cm,

點P是BC邊上的一個動點，點尸從點2開始沿B-C-A方向運動,且速度為每秒2cm,

設(shè)運動的時間為t(s),若是以AB為腰的等腰三角形，則運動時間f=.

思路引領(lǐng)：分情況討論：AB=BP,AB^AP,畫出圖形分別求解即可.

解：'：BC=16cm,AC=2Qcm,AB=12cm,

:.BC2+AB2^AC2,

.*.ZB=90o,

如圖1,AB=PB=\2cm,

18/45

圖1

??t~~12=2=6s；

如圖2,AP=AB=12cm,

:?BC+PC=(16+20-12)cm=24cm,

?1=24+2=12s；

如圖3,AB=BP=ncm,

過點8作3O_LAC于O,則

11

VSAABC=2XABXBC=XACXBD.

???12X16=203。，

BD=9.6cm,

由勾股定理得：AZ）=7AB2-BD2=J122-9.62=1.2cm,

：.AP=2AD=UAcm,

：.t=（16+20-14.4）4-2=10.85,

綜上所述，f的值是6s或12s或10.8s.

故答案為：6s或12s或10.8s.

總結(jié)提升：本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

H.（2022秋?中原區(qū)校級期末）如圖，在矩形OAHC中，OC=8b，04=16,2為C//中

點,連接A3.動點M從點。出發(fā)沿邊向點A運動，動點N從點A出發(fā)沿AB邊向

點B運動，兩個動點同時出發(fā)，速度都是每秒1個單位長度，連接CM,CN,MN,設(shè)運

動時間為t（0<f<16）秒，貝卜=時，△CMN為直角三角形.

思路引領(lǐng)：叢CMN是直角三角形時，有三種情況，一是/CMN=90°,二是/MNC=

19/45

90°,三是NMCN=90°,然后進行分類討論求出/的值.

解：過點N作。4的垂線，交。4于點R交CH于點、E,如圖,

?IB點是CH的中點，

1

,BH=*：H=8,

VAH=OC=8V3,

???由勾股定理可求：AB=16f

，：AN=t,

：.BN=16-t,

'：NE//AHf

:ABENs叢BHA,

.BN_EN

AB~AH

.16-t_EN_

16-8療

：.EN=(16T),

：.FN=S^3-EN=%

當NCMN=90°,

由勾股定理可求：AF=1r,

13

：.MF=AM-AF=16-/一夕=16—務(wù)

*：ZOCM^ZCMO=90°,

/CMO+/FMN=94°,

：?/OCM=NFMN,

?：/O=/NFM=90°,

:.ACOMsAMFN,

當NMNC=94°,

3t

CE=OF=OM^MF=t+\6-|r=16-p

?：/MNF+/CNE=90°,

ZECN+ZCNE=90°,

20/45

???NMNF=/ECN,

VZCEN=ZNFM^90°,

:?叢CENs叢NFM,

.CEEN

?'FN—MF'

16-|哼(16-t)

V0<Z<16,

當/NCM=90°,

由題意知：此情況不存在，

綜上所述，為直角三角形時，仁我8.

總結(jié)提升：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，有一

定的綜合性

12.(2022秋?中原區(qū)月考)如圖，在矩形A8CD中、AB=l5cm,AD=5cm,動點P、。分

別從點A、C同時出發(fā)，點P以3c7Ms的速度向點B移動，一直到點B為止，點。以2cink

的速度向點D移動(點P停止移動時，點。也停止移動).設(shè)移動時間為t(s).連接

PQ，QB.

(1)當f為何值時，P、。兩點間的距離為13。機？

(2)四邊形APQ。的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出t的值；若不可能，請說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)可通過構(gòu)建直角三角形來求解.過。作。于如果設(shè)出發(fā)x秒

后，QP=T3cm.那么可根據(jù)路程=速度X時間，用未知數(shù)表示出PM的值，然后在直角

三角形PMQ中，求出未知數(shù)的值.

(1)利用矩形的性質(zhì)得出當AP=Z)。時，四邊形為矩形求出即可；

21/45

解：(1)設(shè)出發(fā)/秒后P、。兩點間的距離是13aw.

則AP=3t,CQ=2r,作于M,

則PM=|15-2r-3f|=|15-5r|,

(15-5t)2+52=132,

解得：f=0.6或f=5.4,

答：P、。出發(fā)0.6和5.4秒時，P,。間的距離是13cm；

(2)四邊形APD。的形狀有可能為矩形；

理由：

當四邊形APQD為矩形，則

即3f=15-2t,

解得：f=3.

答：當P、。出發(fā)3秒時四邊形APQO為矩形.

總結(jié)提升：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題結(jié)合幾何知識并根據(jù)題意列出方程是

解題的關(guān)鍵.

13.(2022春?淄川區(qū)期中)如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,/C=ND=90°,BC=16,

CD=\2,A￡)=21.動點P從點。出發(fā)，沿線段D4的方向以每秒2個單位長度的速度

運動，動點。從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點8運動.點P,

。分別從點。，C同時出發(fā)，當點P運動到點A時，點。隨之停止運動.設(shè)運動時間為

t9,當f為何值時，以B,P,。三點為頂點的三角形為等腰三角形？

思路引領(lǐng)：以8,P,。為頂點的三角形為等腰三角形有三種情況：當PB=PQ時，當

PQ=B。時，當8P=8Q時，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.

解：如圖1,當尸8=尸。時，作尸及LBC于E,

1

J.EQ^^BQ,

"：CQ=t,

：.BQ=16-t,

22/45

1

**?EQ=8-

11

EC=8—)/+/=8+a九

1

??2t=8+

解得：u竽.

如圖2,當PQ=2。時，作QELAD于E,

：.ZPEQ=ZDEQ=90°,

VZC=ZD=90°,

AZC=ZD=ZDEQ=90°,

???四邊形DEQC是矩形，

:,DE=QC=t,

:.PE=t,QE=CD=12.

在Rtz^PE。中，由勾股定理，得

PQ=7t2+144.

16-t=7t2+144,

解得：/=2；

如圖3,當8尸=3。時，作PELLBC于E,

CQ=t,

：.BP=BQ=BC-CQ=16-t,

■:PD=2t,

:?CE=2t,

：.BE=16-2t,

在RtABEP中，

(16-2t)2+122=(16-t)2,

3?-32f+144=0,

△=(-32)2-4X3X144=-704<0,

故方程無解.

綜上所述，仁竽或二時，以2,P,。三點為頂點的三角形為等腰三角形.

s2

23/45

PE

AD

BOC

總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的運用，矩形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，

一元二次方程的解法的運用，解答時根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程是關(guān)鍵.

14.(2022秋?崇左期末)已知拋物線y=a/+b尤+3(a#0)交尤軸于A(1,0)和8(-3,

0),交y軸于C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若M為拋物線上第二象限內(nèi)一點，求使面積最大時點M的坐標；

(3)若F是對稱軸上一動點，。是拋物線上一動點，是否存在只Q,使以8、C、F、

。為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點。的坐標.

思路引領(lǐng)：(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)由AMBC的面積=SABNM+SACMN,即可求解；

(3)當BF(BC、BQ)是對角線時，由中點坐標公式列出等式，即可求解.

解：(1)把A(1,0)和8(-3,0)代入y=a?+6x+3(aWO),得：

《+”嗔。。，解得憶一；，

19a—3b+3=0S=—2

.?.拋物線解析式為y=-/-2x+3；

(2)為拋物線上第二象限內(nèi)一點，如圖，過點/作尤軸交于點N,

24/45

:拋物線解析式為y=-7-2x+3,8(-3,0)

：.C(0,3),

；.OC=3,。2=3,

設(shè)直線解析式為y=kx+b,貝b=°，

解得:eu，

3=3

???設(shè)直線BC解析式為y=x+3,

設(shè)M(zn,-m2-2m+3),N(m,m+3),

273?9

:?MN=—m—2m+3—m—3=—mz—3m=—(m+))+4,

???當7H=—|時，MN有最大值,

???當m=-楙時，△M8C的面積最大，

,1?7

/XMBC的面積=SA8NM+S^CMN=2x3xMN=豆，

此時點M的坐標為(一|,學(xué))；

(3)存在.理由如下：

:拋物線解析式為y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

拋物線的對稱軸為直線尤=-b

設(shè)點。(m,-nr-2”z+3),點_F(-1,f),

當BC是對角線時，由中點坐標公式得：-3=根-1,

解得：m=2,則點。(-2,3)；

當8尸是對角線時，由中點坐標公式得：-3-1=MI,

解得：m—~4,則點。(-4,-5)；

是對角線時，由中點坐標公式得：m-3=-1,

解得：機=2,則點。(2,-5)；

綜上所述，點。的坐標為(-2,3),(-4,-5),(2,-5).

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)

的性質(zhì)，平行四邊形的判定，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和

性質(zhì).

類型五動點產(chǎn)生三角