中考數學二輪復習拓展訓練：相似三角形壓軸題的幾種類型（原卷版+解析）

專題27相似三角形壓軸題的幾種類型（原卷版）

第一部分典例割析+針對訓練

類型一綜合運用全等三角形與三角形的判定和性質求點的坐標

典例1（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，矩形ABCO,點A、C在坐標軸上，點8的坐標為（-2,4）.將△ABC

沿AC翻折，得到△AQC,則點D的坐標是（）

針對訓練

1.（2012?鹿城區(qū)校級二模）已知：直角梯形。4BC中，CBHOk,對角線和AC交于點D,OC=2,CB

=2,OA=4,點P為對角線CA上的一點，過點P作QHJ_OA于H,交CB的延長線于點Q,連接BP,

如果△BPQ和相似，則點P的坐標為.

類型二綜合運用相似三角形的判定和性質銳角三角函數求線段長的最值

典例2（2021?宜興市模擬）如圖，在△ABC中，ZABC=90°,tanZBAC=AD=2,BD=4,連接CD,

則CO長的最大值是（）

C.2V5+^D.2V5+2

針對訓練

1

1.（2021秋?亳州月考）如圖，四邊形ABCZ）中，AB=3,BC=4,ACLCD,若tan/CAD=方，則對角線

8。長的最大值是（）

A.1+710B.1+2V10C.1+中D.1+中

類型三綜合運用相似三角形的判定和性質一次函數求字母的值

典例3（2022?無錫二模）如圖，已知A（0,3）、B（4,0）,一次函數y=-a+6的圖象為直線/,點。關

于直線/的對稱點。'恰好落在/A80的平分線上，貝h

（1）48=；（2）6的值為.

1.（2016?漢川市模擬）已知一次函數y=2x+2與x軸》軸分別交于A、8兩點,另一直線y=fcc+3交x軸正

半軸于反交y軸于歹點，如△AOB與￡、F、。三點組成的三角形相似，那么太值為（）

A.-0.5B.-2C.-0.5或-2D.以上都不對

類型四利用相似三角形的判定和性質求線段長的最值

典例4（2022?漣水縣一模）如圖，在正方形A3C。中，AB=8,點〃在AD上，且A8=2,點、E繞著點B

旋轉，且8￡=3,在AE的上方作正方形AEFG,則線段FW的最小值是.

針對訓練

1.在正方形ABC。中，48=2,點尸是CO邊上一動點（不與點。、C重合），連接BP,過點C作CEL

BP,垂足為E,點尸在線段8尸上，且滿足EP=EC,連接AR則AF的最小值為.

類型五利用相似三角形的判定和性質求“kAD+BD”（動點D在圓弧上）型的最值（阿氏圓）

典例5（2022?南召縣開學）如圖，在△ABC中，ZA=90°,AB=AC=4,點E、尸分別是邊AB、AC的中

點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，貝gpB+PC的最小值為.

針對訓練

1.（2021秋?龍鳳區(qū)期末）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=9,BC=4,以點C為圓心，3為半徑

1

做OC,分別交AC,BC于D,E兩點，點P是。C上一個動點，則薩4+尸8的最小值為.

類型七相似三角形與多邊形的綜合題

CG1

典例6（2022?惠山區(qū)一模）（1）【操作發(fā)現】如圖1,四邊形ABC。、CEGF都是矩形，一=AB=9,

AG2

AO=12,小明將矩形CEGF繞點C順時針轉a°（0WaW360）,如圖2所示.

AGAG

①若二的值不變，請求出丁的值，若變化，請說明理由.

BEBE

②在旋轉過程中，當點B、E、E在同一條直線上時，畫出圖形并求出AG的長度.

（2）【類比探究】如圖3,△ABC中，AB=AC=2A/5,ZBAC=a°,tanZABC=G為BC中點，D

為平面內一個動點，且DG=恪，將線段2。繞點D逆時針旋轉a。得到，則四邊形瓦94面積

的最大值為.（直接寫出結果）

針對訓練

1.（2022?內江）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,點、M、N分別在AB、AO上，且MN_LMC,點

E為CD的中點，連接BE交MC于點尸.

（1）當P為BE的中點時，求證：AM=CE；

EFANAN

（2）若一=2,求——的值；（3）若MN〃BE,求——的值.

BFNDND

類型八相似中的“一線三等角”模型

典例8（2022?揚州）如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,/C=60°,點。在BC邊上由點C向點B運

動（不與點2、C重合），過點。作DELAD交射線A3于點￡.

（1）分別探索以下兩種特殊情形時線段AE與BE的數量關系，并說明理由；

①點E在線段AB的延長線上且BE=BD；②點E在線段AB上且EB=ED.

（2）若48=6.

①當二=二時，求AE的長；

AD2

②直接寫出運動過程中線段AE長度的最小值.

針對訓練

1.（2022秋?虹口區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5,P是射線BC上的一個動點，作尸EJ_

AP,PE交射線QC于點E,射線AE交射線BC于點/，設BP=x,CF=y.

（1）當sinNAP3=g時，求CE的長；

（2）如圖，當點P在邊BC上時（點尸與點&C不重合），求y關于x的函數關系式，并寫出它的定

義域；

PE1

（3）當一=一時，求b的長.

AP2

第二部分專題提優(yōu)訓練

1.（2022?如皋市一模）在矩形ABCD中，2<AD<10,tan/A2r）=2.如圖，分別以點A,。為圓心，以4

和6為半徑作弧，兩弧交于點E,連接BE,則BE的最大值為（）

A.9B.2V5+3C.15D.273+3

2.（2022秋?定海區(qū)月考）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,點。在BC上，且CD=2,點P

是線段AC上一個動點，以尸。為直徑作。。，點。為直徑上方半圓的中點，連接AQ,則AQ的最

小值為（）

A.2V10B.2V2C.4D.4V2

3.（2021秋?宜興市校級月考）如圖，矩形A2CD中，AB=痘,AD=4,點￡在邊上，且AE：￡0=1：

3.動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止.過點E作EFLPE交射線BC于點F,聯結PF.設M

是線段尸尸的中點，則在點尸運動的整個過程中，線段0M長的最小值是（）

A.V5B.V7C.2.5D.V3

4.（2022?東平縣一模）如圖，在矩形ABCO中，E、尸分別在BC、C。上運動（不與端點重合），連接B尸、

BFAD

AE，交于點凡且滿足族=而連接①若由4,BC=6,則CP的最小值為（

A.2V10-3B.2V10-2C.5D.3

5.（2022?武進區(qū)一模）如圖，△A2C中，AB=AC=2,ZBAC=120°,D、E分別是BC、AC邊上的動點,

且/4DE=NABC,連接BE,則△AEB的面積的最小值為.

6.（2022春?漳州期末）如圖，點E在正方形A2CD的邊BC上，BE=2,EC=4,將△ABE沿AE折疊得

至IJ4AFE,延長交。C于點G,連接AG.現給出以下結論：

12

①/EAG=45°；②EG=BE+DG；③GF=GC；④S^FC=菅

其中正確的結論是.（寫出所有正確結論的序號）

7.(2022?連云港)【問題情境】

在一次數學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中/ACB

=ZDEB=90°,ZB=30°,BE=AC=3.

【問題探究】

小昕同學將三角板DEB繞點B按順時針方向旋轉.

(1)如圖2,當點E落在邊AB上時，延長。E交BC于點「求8b的長.

(2)若點C、E、。在同一條直線上，求點。到直線BC的距離.

(3)連接DC,取DC的中點G,三角板D匹由初始位置(圖1),旋轉到點C、B、。首次在同一條直

線上(如圖3),求點G所經過的路徑長.

(4)如圖4,G為。C的中點，則在旋轉過程中，點G到直線AB的距離的最大值是.

8.(2022秋?金東區(qū)期末)在矩形A3C。中，AB=4,BC=2,動點P從A出發(fā)，以1個單位每秒速度，沿

射線A3方向運動，同時，動點。從點C出發(fā)，以2個單位每秒速度，沿射線BC方向運動，設運動時

間為f秒，連結DP,DQ.

(1)如圖1.證明：DP±DQ.

(2)作/PD。平分線交直線BC于點E；

①圖2,當點E與點8重合時，求/的值.

②連結PE,PQ,當與△PD。相似時，求/的值.

9.【問題發(fā)現】

(1)如圖①，在邊長為5的等邊△ABC中，點。，E分別是BC,AB邊上一點，且BD=2BE=2,點P

是線段AE上一動點，以PD為邊向右作等邊凡

①過點尸作FGLBC于點G,連接。E.試探究PE與DG之間的數量關系；

②當點P從點E運動到點A時，求點尸運動的路徑長；

【類比探究】

(2)如圖②，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E為BC上一點，且8E=1,尸為AB邊上的一個動點，

連接ER將斯繞著點E順時針旋轉45°到EG的位置，連接尸G和CG,求CG的最小值.

圖②

專題27相似三角形壓軸題的幾種類型（解析版）

第一部分典例割析+針對訓練

類型一綜合運用全等三角形與三角形的判定和性質求點的坐標

典例1（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，矩形4BCO,點A、C在坐標軸上，點8的坐標為（-2,

4）.將△ABC沿AC翻折，得到△AOC,則點。的坐標是（)

35

D.(-,-)

22

思路引領：如圖，過。作DPLAF于P,根據折疊可以證明△CDE絲ZkAOE,然后利用

全等三角形的性質得到0A^CD=l,設OE=x,那么CE=4-x,DE=x,利

用勾股定理即可求出OE的長度，而利用已知條件可以證明而AD=AB

=4,接著利用相似三角形的性質即可求出OF、A尸的長度，也就求出了。的坐標.

解：如圖，過。作0PL4尸于凡

1點B的坐標為（-2,4）,

：.AO=2,AB=4,

根據折疊可知：CD=OA,

而NZXNAOygO。，ZDEC=ZAEO,

：.△CDE也△AOE,

/.OE=DE,0A=CD=2,

設OE=x,那么CE=4-x,DE=x,

：.在RtADCE中，CE2=DE2+CD2,

（4-x）2=X2+21,

??X=5，

又DFLAF,

J.DF//EO,

：.AAEO^AADF,

而AO=A3=4,

35

：.AE=CE=4-^=^f

9/52

53

.AEEO笫即建=言=親

'AD~DF

1216

：.DF=

T丁.

OF=AF-OA=除-2=I，

一612

.?.點。的坐標為(g,—).

故選：A.

總結提升：此題主要考查了圖形的折疊問題，也考查了坐標與圖形的性質，解題的關鍵

是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它們的

性質即可解決問題.

針對訓練

1.(2012?鹿城區(qū)校級二模)已知：直角梯形0A3C中，CBH0卜,對角線08和AC交于點

D,OC=2,CB=2,OA=4,點P為對角線CA上的一點，過點P作。于交

CB的延長線于點Q,連接BP,如果△BPQ和△PHA相似，則點P的坐標為.

思路引領：先根據點A、點C的坐標利用待定系數法求出直線AC的解析式，當”。在

點B的左側時和。/在點B的右側時利用相似三角形的性質就可以求出點P的坐標.

解：'：OC=2,OA=4,

：.C(0,2),A(4,0).

設直線AC的解析式為由題意，得

(2=b

(0=4k+Z?'

(b=2

解得，1,

10/52

故直線AC的解析式為：尸-%+2.

如圖2,在點8的右側，當△BQPS/XAHP時，

,BQPQ

則n,=—,

AHPH

則8Q.PH=AH.PQ.

1

??,點尸在直線AC上，設點尸的坐標為(x,-分+2)(0<x<4),

1

=

**?CQ=XJOH=x,PH—]X+2,

■;CB=2,OA=4,OH=2,

1

BQ=x-2,AH=4-x,PQ=/

11

(x-2)(一與4+2)=(4-x)(-x),

22

解得x=4(舍去).

當ABOPs/XPHA時，

BQPQ

則一=—,即BQ.AH=PH.PQ,

PHAH

i1

(x-2)(4-尤)=(-5%+2)(—x),

22

解得xi=*無2=4(舍去)

貝Uy=I，

,82

則P(一,-).

33

總結提升：本題是一道相似三角形的綜合試題，考查了相似三角形的性質的運用，待定

系數法求直線的解析式的運用及分類討論思想的運用.本題難度較大，涉及的情況較多，

解答時不要漏解.

11/52

類型二綜合運用相似三角形的判定和性質銳角三角函數求線段長的最值

1

典例2（2021?宜興市模擬）如圖，在△ABC中，ZABC=9Q°,tanZBAC=AD=2,

BD=4,連接CD,則CD長的最大值是（）

A.2有+?B.2V5+1C.2V5+|D.2A/5+2

思路引領：如圖，在AD的下方作RtZkADT,使得/AZ）T=90°,DT=1,連接CT,則

「DBAD2「

AT=有，證明推出一=一==，推出TC=2V^,再根據CDWDT+CT,

TCATV5

可得COW1+2有，由此即可解決問題.

解：如圖，在A￡）的下方作RtZXADT,使得NA￡）T=90°,DT=1,連接CT,則AT=V5,

_A_D—_A_B—o

DT~BC~'

ADDT

AB~BC

ZADT=ZABC=90°,

△ADT^AABC,

AD

ZDAT=ZBAC,—=

AB

NDAB=/7AC,

ADAB

AT~AC

△D43s△Re,

12/52

.DBAD2

"TC~AT~

.\TC=2V5,

VCD^DT+CT,

.*.C￡)^1+2V5,

，CO的最大值為1+2代，

故選：B.

總結提升：本題考查解直角三角形的應用，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關

鍵是學會添加常用輔助線面構造相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

針對訓練

1

1.（2021秋?亳州月考）如圖，四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,AC±CD,若tanZCAD=j,

則對角線2D長的最大值是（）

A.I+VioB.1+2V10C.l+￥D.l+￥

4D

思路引領：過點B作BELAB,使得BE=%2=1,連接AE,DE,先求出AE,然后根

ZBAC

據已知證得△AB￡'S/\ACZ）,得出-=—，從而證得N54C=NEAD,

AEAD

ABBC

得出△BACs^EAD,求出一=一,代入數據解答即可.

AEED

解：如圖，過點8作BE,A3,使得3E=%2=1,連接AE,DE,

則在△ABE中，AE=>JAB2+BE2=V9T1=V10,

1

VtanZCA￡>=^,

.CD1BE

AC-3-AB"

VZABE=ZACD=90°,

JAABE^AACD,

ABAC

JZBAE=ZCAD,

AE~AD

13/52

：.ZBAC=ZEAD,

：./\BAC^/\EAD,

.ABBC

??—,

AEED

r34

即7==—，

710ED

.4710

?*ED-，

BOWBE+E￡>=1+

即BD的最大值為1+4^^.

故選：D.

總結提升：本題考查了銳角三角形的應用，解題的關鍵是靈活運用銳角三角函數知識并

根據題意正確添加輔助線.

類型三綜合運用相似三角形的判定和性質一次函數求字母的值

典例3(2022?無錫二模)如圖，已知A(0,3)、B(4,0),一次函數y=—*r+6的圖象為

直線/，點O關于直線/的對稱點O'恰好落在NABO的平分線上，貝

(1)AB=:

(2)b的值為.

思路引領：(1)根據勾股定理即可求出AB；

(2)延長0。咬A3于點C,交直線/于點E,過點。作O'軸交于G,過點E作

斯，x軸于點F求出的解析式，易得AB〃1,根據等積法求出OC的長，易證A。'

GOS^BOA,根據相似三角形的性質可得O'G：O'O=OB：AB,分別求出OO‘，

OG,O'G的長，再證明△EOFs^o'OG,根據相似三角形的性質可得OF和所的

長，將點E坐標代入直線/解析式，即可求出b的值.

解:(1)VA(0,3)、B(4,0),

：.OA=3,08=4,

在Rt^AOB中，根據勾股定理，得48=5,

故答案為：5；

(2)延長。。，交于點C,交直線/于點E,過點O作O'G,無軸交于G,過點E作

14/52

跖，x軸于點R如圖所示:

VA(0,3)、B(4,0),

?,?直線AB的解析式為產-3+3,

，??直線/解析式：y=-1x+Z?,

：.AB//l,

V00'±z,

：,OO'.LAB,

??Q=3,03=4,AB=5,

OA-OBAB-OC

根據S-OB

-2--2-

12

:.oc=了'

VZCOB+ZAOC=90°,ZBAO+ZAOC=90°,

???ZBOC=ZBAO,

???NO'GO=ZAOB^90°,

???△O'GOs^BOA,

：.O'G：O'O=OB：AB,

???灰7是NABO的角平分線，O'CLAB,O'GJ_O3,

???S=GO',

設O'G=m,

4

AOO'=不

在Rt^OOG中，根據勾股定理，得

VEF±OB,O'GLOB,

：.ZOFE=ZOGO'=90°,

VZEOF=ZO'OG,

15/52

A△EOF^AO,OG,

.EFOFOE1

??02~OG~OOr-2

oo

?3=田。4引

，一28

???點E坐標為(;，二)，

515

Q

將點E坐標代入產-x+Z?,

z4,

得-一曰爐352+?67=正8，

解得b=

O

,,-,5

故答案為：

6

總結提升：本題考查了一次函數的性質，軸對稱的性質，角平分線的性質，相似三角形

的判定和性質等，本題綜合性較強，難度較大.

針對訓練

1.(2016?漢川市模擬)已知一次函數y=2x+2與x軸y軸分別交于4、3兩點，另一直線y

=kx+3交x軸正半軸于E、交y軸于F點,如△AOB與E、F、O三點組成的三角形相似，

那么左值為()

A.-0.5B.-2C.-0.5或-2D.以上都不對

思路引領：根據直線解析式求出點A、8、尸的坐標，再根據相似三角形對應邊成比例分

OE和OA、OB是對應邊兩種情況討論求出OE的長，然后求出直線y=kx+3的解析式,

即可得解.

解：：一次函數y=2x+2與x軸y軸交于A、B兩點，

AA(-1,0),B(0,2),

.\OA=1,OB=2,

:直線y=fcr+3交y軸于尸點，

：.F(0,3),

：.OF=3,

:AAOB與E、F、。三點組成的三角形相似，

.OEOFOEOF

"0A~OB^OB~OA

口OE3OE3

即--=-或---=

1221

解得OE=就OE=6,

當。石=］時，y=-2x+3,

16/52

1

或0E=6時,尸一分+3,

1

所以，k=~2或一亍

故選：C.

總結提升：本題考查了相似三角形對應邊成比例的性質，兩直線相交的問題，難點是要

分情況討論.

類型四利用相似三角形的判定和性質求線段長的最值

典例4（2022?漣水縣一模）如圖，在正方形4BCZ）中，48=8,點”在AO上，且AH=2,

點E繞著點B旋轉，且BE=3,在4E的上方作正方形AEFG,則線段FH的最小值是

ACAF/—

思路引領：連接AFAC,CH,利用正方形的性質得到一=—=V2,ZBAC=ZFAE

ABAE

=45°,利用交點和差得到/54￡=/剛（?，利用相似三角形的判定與性質求出線段FC

的長，可得點尸的運動軌跡，結合圖形可得當點C,F,H三點在一條直線上時，FH的

值最小，最小值為8-CF利用勾股定理求得C”的長，則結論可求.

解：連接A凡AC,CH,如圖，

,四邊形ABC。為正方形，

：.AC=V2AB,ZBAC=45°,

:四邊形AEFG是正方形，

：.AF=y/2AE,ZFAE=45°,

ACAFr

XBAC=XFAE,—=—=V2J

ABAE

：.ABAC-ZCAE=ZFAE-ACAE,

：.ZBAE=ZFAC,

AABAEVACAF,

17/52

.BEAB1

,■CF-AC一網

CF=V2BE=3A/2,

，點尸在以點C為圓心，3a為半徑的圓上，

由圖形可知：當點C,F,H三點在一條直線上時，切的值最小，最小值為C8-CF,

\UAH=2,AD=AB=CD=8,

:?DH=6,

：.CH=yjDH2+CD2=V62+82=10,

...線段FTf的最小值=。/-CF=10-3V2,

故答案為：10-3VL

總結提升：本題主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，線

段的極值，利用相似三角形的判定與性質求得線段CP的長，從而得出點F的運動軌跡

是解題的關鍵.

針對訓練

1.在正方形ABC。中，AB=2,點P是C。邊上一動點（不與點。、C重合），連接BP,

過點C作CELBP,垂足為E,點尸在線段8尸上，且滿足EF=EC,連接AF,則AF的

思路引領：不論P怎么運動，ZBFC=135°保持不變，則△BCF的外接圓中臉所對的

圓心角為90°,從而。。的圓心與半徑確定，于是可得當點尸在。4與。0的交點位置

時，A廠就取最小值，求出此時的AF值便可.

解：作△BCF的外接OO,連接OB、OC、04、OF,在優(yōu)弧船上取點M,連接MB、

MC,過。作OMLAB,與AB的延長線交于點M

18/52

?；CE_LBP,CE=CF,

.,.ZCFE=45°,

ZBMC=ZCFE=45°,

AZBOC=90°,

U：AB=BC=2,

：.OB=OC=OF=專BC=V2,ZOBC=45°

'：ON.LAB,ZABC=90°,

J.ON//BC,

：.ZONB=45°,

：.BN=ON=辱0B=\,

：.OA=7AN2+0N2=7（2+l）2+I2=VTo,

'：AF^OA-OF,

當A、F、。三點依次在同一直線上時，A尸=。4-。/=同一夜的值最小，

故AP的最小值為：V10-V2,

故答案為：V10-V2.

總結提升：本題考查了正方形的性質，三角形的外接圓，圓內接四邊形的性質，勾股定

理，兩點之間線段最短，關鍵是構造圓與直角三角形.

類型五利用相似三角形的判定和性質求“kAD+BD”（動點D在圓弧上）型的

最值（阿氏圓）

典例5（2022?南召縣開學）如圖，在△ABC中，ZA=90°,AB=AC=4,點E、尸分別是

1

邊AB、AC的中點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，則］PB+PC的

最小值為.

19/52

A

EF

1

思路引領:在上截取連接證明SXABP可得

ABAQ=\,AP,PQ,CQ,△APQ/,PQ=加,

1

則5依+PC=PC+PQ,當C、Q、尸三點共線時，PC+PQ的值最小，求出CQ即為所求.

解：如圖，在A5上截取AQ=1,連接AP,PQ,CQ,

???點從/分別是邊A3、AC的中點，點尸是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，

#AP21

AB—4—2，

*.,AP=2,AQ=1,

.絲」

AP—2

ZPAQ=/BAP,

JAAPg^AABP,

1

：.PQ=今PB,

1

：.-PB+PC=PC+PQ^CQ,

在Rt/XACQ中，AC=4,AQ=1,

QC=J-C2+4Q2="6+1=V17.,

1

J.-PB+PC的最小值g.,

2

故答案為：V17.

總結提升：本題考查了阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，添加

恰當輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

針對訓練

1.（2021秋?龍鳳區(qū)期末）如圖，在中，ZC=90°,AC=9,BC=4,以點C為

1

圓心，3為半徑做OC,分別交AC,BC于D,E兩點，點尸是OC上一個動點，則?4+尸2

的最小值為.

20/52

A

思路引領:在AC上截取CQ=1,連接CP,PQ,BQ,證明△ACPS\PCQ,可得%p,

ZPQ=

當3、Q、尸三點共線時，的值最小，求出即為所求.

解：在AC上截取CQ=1,連接CHPQ,BQ,

???AC=9,CP=3,

.CP1

"AC-3，

■:CP=3,CQ=\,

.CQ_1

??CP?3’

，AACP^APCg,

：.PQ=^AP,

1

：.-PA+PB=PQ+PB^BQ,

1

...當8、Q、P三點共線時，孑科+尸8的值最小，

在Rt/XBCQ中，BC=4,CQ=1,

：.QB=V17,

1

：.-PA+PB的最小值舊，

故答案為：V17.

21/52

A

總結提升：本題考查阿氏圓求最短距離，熟練掌握胡不歸求最短距離的方法，利用三角

1

形相似將]周轉化為PQ是解題的關鍵.

類型七相似三角形與多邊形的綜合題

CG]

典例6（2022?惠山區(qū)一模）（1）【操作發(fā)現】如圖1,四邊形A8CZXCEGP都是矩形,一=-，

AG2

AB=9,40=12,小明將矩形CEGF繞點C順時針轉a°（0/a/360）,如圖2所示.

AQA（Z

①若二的值不變，請求出丁的值，若變化，請說明理由.

BEBE

②在旋轉過程中，當點B、E、F在同一條直線上時，畫出圖形并求出AG的長度.

（2）【類比探究】如圖3,△ABC中，AB=AC=2A/5,ZBAC=a,tanZABC=1,G

為2C中點，。為平面內一個動點，且DG=得，將線段即繞點。逆時針旋轉a。得到

DB',則四邊形朋CB'面積的最大值為.（直接寫出結果）

圖1圖2圖3

思路引領：（1）①利用勾股定理求出AC,再利用相似三角形的性質求解即可；

②分兩種情形：如圖2-1中，當點E在線段BE上時，如圖2-2中，當點E在B尸的延

長線上時，分別求出BJ,EJ,可得結論；

（2）如圖3中，連接AD,AG,過點G作于點"解直角三角形求出G8,證

22/52

2

明,推出S"BD=（空）2=（空I）=A,由題意OG=造，推出點

S&CBB，BC8165

V5

G的運動軌跡是以G為圓心，g為半徑的圓，當點。在HG的延長線上時，的面

14V5A/5

積最大，最大值=5x2V^X（—―+—）=5,由此可得結論.

/55

24G

解：（1）①二7的值不變，理由如下：

???四邊形A3CO是矩形，

AZABC=90°,AD=BC=U,

*：AB=9,

.AC=7AB2+BC2=V92+122=15,

；ZACB=/ECG,

；ZBCE=ZACG,

.ACCG155

'BC~CE~12~4

'?AACG^ABCE,

,AGAC5

?BE-BC-4‘

②如圖2-1中，當點E在線段3/上時，連接CG,過點C作CJ,跖于J.

23/52

.3X412

??=丁=虧’

22

：.EJ=y]EC-CJ=J42一始2=?BJ=個BC2一c/2=J12r_(竽)2=

.RIe24屈16

..BDZE7—BJ-EJ=--------g-

NACB=/GCE,

：.ZBCE=ZACG,

_ACCG5

*CB-EC-4’

：.△ACGS^BCE,

9AGAC5

…BE~BC~4

524V616「

AG=-7x(-------——)=6A/6—4.

455

如圖2-2中，當點E在防的延長線上時，同法可得BE=BJ+E/=q^+學,

：.AG=yBE=6V6+4,

4

綜上所述，AG的長為6粕-4或6萌+4.

(2)如圖3中，連接AD,AG,過點G作G8LA3于點

24/52

AB=AC=2A/5,BG=GC,

AGLBC,

./An—4G1

?tanZAnC==于

??AG=2,3G=4,

：sinZABG=sinZGBH,

.GHAG

?BG—AB'

.GH2

?4―2日'

?r'u4而

：AB=AC,DB=DB',NBAC=NBDB',

ABBD

\ZABC=ZDBB',

BC-BB/

\ZABD=ZCBB',

,.△ABDsACBB',

.S^ABD,4B、2,275、25

s〉CBB〔BC816

:DGT，

??點G的運動軌跡是以G為圓心，/為半徑的圓,

14V5V5

當點D在HG的延長線上時，\麗的面積最大，最大值=義x2遙x(―+—)=5,

：./\BCB'的面積的最大值為16,

1

四邊形ABB'C的面積的最大值X8X2+16=24.

故答案為：24.

總結提升：本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰三角形的性質，解直角三角形，相似三

角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問

題，屬于中考壓軸題.

針對訓練

1.(2022?內江)如圖，在矩形ABC。中，AB=6,BC=4,點、M、N分別在AB、AD±,

且MN_LMC,點E為CO的中點，連接BE交MC于點尸.

(1)當尸為BE的中點時，求證：AM=CE；

25/52

思路引領：(1)根據矩形的性質，利用A4S證明之△ECE得BM=CE,再利用

點七為。。的中點，即可證明結論；

BFBM1

(2)利用得一=—=一，從而求出BM的長，再利用△4VMs4

EFCE2

ANAM

BMC,得二77=總7,求出4V的長，可得答案；

BMBC

CEBC

(3)首先利用同角的余角相等得NC5/=NCM8,則tan/Ca』tanNCMB得一=—,

BCBM

可得的長，由(2)同理可得答案.

(1)證明：???方為3￡的中點,

:?BF=EF,

???四邊形A3CO是矩形,

：.AB//CD,AB=CD

：./BMF=/ECF,

NBFM=ZEFC,

：.ABMF^AECF(AAS),

；?BM=CE,

??,點E為。。的中點，

:.CE=DE,

：.BM=CE=DE,

*：AB=CDf

：.AM=CE；

(2)解：VZBMF=ZECF,ZBFM=ZEFC,

：.ABMFs/\ECF,

?BFBM1

?*EF-CE~2

?：CE=3,

3

：.BM=I，

26/52

9

：.AM=J,

?；CM1MN,

：.ZCMN=90°,

AZAMN+ZBMC=90°,

VZAMN+ZANM=90°,

NANM=/BMC,

ZA=ZMBC,

：.XANMs叢BMC,

.ANAM

??BM~BC'

9

.AN2

=I,

2

27

.MN=否

7737

:?DN=AD-AN=4-宅=蕓,

27

?竺_遠_￡1

??DN一二―37；

16

(3)解