云南省普洱市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊7月期末統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

云南省普洱市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期

7月期末統(tǒng)測數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.考查范圍：必修一、二；選擇性必修一、二、三.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={尤丫—420},3={HX<1},AD做3)=()

A.或B.??-2,或九21}

C.1x|l<x<2jD.1%|-2<x<l!

【答案】B

【解析】解不等式420,可得％之2或xW—2,

所以A={乂％<—2,或x?2},

又為5={%|%之1},

則Au他3)={小<—2,或行1}.

故選：B.

2.已知向量a=(2,1),。=(-1,4),若(d+6)_La,則4=()

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】B

【解析】依題意，a+b=(1,1+2),由(a+Z?)_La,得(。+6>。=2+1+2=0,

所以;1=—3.故選：B

3.已知數(shù)列{。,}的前"項(xiàng)和S,滿足=,則%+為=()

A.11B.13C.24D.25

【答案】C

【解析】因?yàn)镾g=49,$6=25,所以%+為=\一$6=24.

故選:c.

4.若直線y=2x-1與雙曲線C：Y-〃"=i的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

11

A.-B.4C.JD.2

42

【答案】A

「./_y=[1

【解析】由題設(shè)一丁一且加＞0,故。=1/=方=,

71n

m

所以，雙曲線的漸近線方程為丁=土與X,

7m

1-1

其中一條與y=2x—1平行，所以一尸=2,則機(jī)=：.

yjm4

故選：A.

5.2024年春晚魔術(shù)師劉謙再次重返舞臺(tái)，利用簡單的模具撲克牌向觀眾再次展示了魔術(shù)的

魅力與神奇.某魔術(shù)師在表演時(shí)將8張不同色號(hào)的撲克牌分給3名觀眾，每個(gè)觀眾被分到的

撲克牌數(shù)目不少于2張，且3名觀眾中沒有人被分到3張撲克牌，則不同的分配方法有

()

A.2520種B.1260種C.420種D.210種

【答案】B

【解析】因?yàn)閷?張不同色號(hào)的撲克牌分給3名觀眾，每個(gè)觀眾被分到的撲克牌數(shù)目不少于

2張，

且3名觀眾中沒有人被分到3張撲克牌，故只能是按一人2張，一人2張，一人4張分配撲

克牌，

「40202

將8張不同色號(hào)的撲克牌按2,2,4分成三個(gè)組為,再交3個(gè)組的撲克牌分給3

A；

個(gè)觀眾有A；,

故由分步計(jì)數(shù)原理共有xA；=210x6=1260種不同的分配方法.故選：B.

/、C兀兀

6.函數(shù)/(x)=2cos2x+3sinx在—上的值域?yàn)?)

A.[3,4]B.「彳

：3日J(rèn)「30,25

C.3,^^+1D.+1,——

228

【答案】B

【解析】依題意/(x)=-2sin2x+3sinx+2,

令sinx=t,

故y=-2?++2JG——,1.

2

325

故當(dāng)t=±時(shí)，》有最大值=，當(dāng)，=1時(shí)，》有最小值3,

故所求值域?yàn)?,k.

O

故選：B.

7.已知函數(shù)了⑴是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)^x3+ax2+b,若/⑴圖象在x=—1處的

切線方程為3x+y=0,則a—b=()

B.-4D.-2

【答案】D

【解析】的圖象在x=—1處的切線方程為3x+y=Q,

則/■(-1)=3,/(—1)=—3,

當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=%3+ax2+b,/(%)=3x2+2ax,

因?yàn)榱刷攀瞧婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

“X)的圖象在％=—1處及X=1處的切線也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以/⑴=-3,/'⑴=一3,

1+a+Z?=—3

即〈，所以a=—3,Z?=-l,a—b=—2.

3+2a=—3

故選：D.

8.已知3。=11,4:18,5。=27,則a,4c的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.a>b>c

【答案】D

【解析】a=log311,log418,c=log527,

則a_6=log3ll-log4l8=logs(9x”j一logq卜6義IIj=log3!-log4g,

\97<lo；98

n9,911I9,11,9,88c

因?yàn)閘og-<log3，c所ri以lllog--log->log--log-=log—>0,

4o3o，3壬4，5壬3壬13

所以〃一/?>0；

b-c=log18-log27=logfl6x927

454T%25X||=log--log-,

4o5ZD

2727Q2792725

因?yàn)閘og5—<10g4K，所以log4--log5—>10g4--10g4—=log4—>0,

ZJZJOZJOZJ

所以〃—c>0,

所以a>b>c.

故選:D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)Z（2,l）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則（）

A.|z|=5B.z+z=4

__121.

C.zz=5D.-=----1

z33

【答案】BC

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)Z（2,l）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,所以z=2+i，

所以忖=亞1?=非,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)閦=2+i，所以"=2—i，則z+彳=2+i+2—i=4,故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)橹?（2+i）（2—i）=4—i2=5,故選項(xiàng)C正確；

112-i2-i21.

因?yàn)橐?故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

z2+i(2+i)(2—i)

故選：BC.

10.一名射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次擊中目標(biāo)概率為工，各次射擊互不影響.若他連續(xù)射擊兩次,

3

則下列說法正確的是（）

A.事件“至多擊中一次”與“恰擊中一次”互斥

B.事件“兩次均未擊中”與“至少擊中一次”相互對(duì)立

C.事件“第一次擊中”與“兩次均擊中”相互獨(dú)立

24

D.記X為擊中目標(biāo)的次數(shù)，則E（X）=§,D（X）=-

【答案】BD

【解析】對(duì)于A：事件“至多擊中一次”包含“恰擊中一次”和“兩次均未擊中“，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：事件“兩次均未擊中”的對(duì)立事件是“至少擊中一次”，故B正確；

對(duì)于C：事件“兩次均擊中”包含了事件“第一次擊中"，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：依題意X-gQ，i214

,所以石(X)=2x§="D(X)=2xlx1-1

339

故D正確;

故選：BD

H.化學(xué)中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如六氟化

硫（化學(xué)式S耳）、金剛石等的分子結(jié)構(gòu).將正方體六個(gè)面的中心連線可得到一個(gè)正八面體

（如圖1）,已知正八面體￡-A6CD—/的（如圖2）棱長為2,則（

g7r

B.正八面體￡-A5CD-尸的外接球體積為］

若點(diǎn)尸為棱石B上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+CP的最小值為2逐

若點(diǎn)。為棱AF上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐E-Q5C的體積為定值逑

D.

3

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)該正八面體內(nèi)切球的半徑為人由內(nèi)切球的性質(zhì)可知正八面體的體積

V=8x—x—x2x2xsin60-r=2x—x2x2x匯一四,

323

解得r=故它的內(nèi)切球表面積為47rx—,故A項(xiàng)正確;

33

對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)該正八面體外接球的半徑為R,

由圖知，ABCD是正方形，OA=OB^OC=OD=—x2=y/2,

2

在中，OE=yjBE2-OB2

利用對(duì)稱性知。尸=J5,

故點(diǎn)。為正八面體外接球的球心，

則R=0，

所以正八面體外接球的體積為殳叵，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

3

圖2

對(duì)于C項(xiàng)，如圖，因,A的與一5CE是邊長為2的全等的正三角形，可將_5CE翻折到

3CE',使其與，A3E共面，從而得到一個(gè)菱形ABCE.

連接AC與破相交于點(diǎn)P,此時(shí)=C'P=3x2=6，

2

則AP+CP取得最小值為26，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，易知A///EC,因?yàn)锳Fa平面EBCECu平面EBC,所以.//平面EBC,

、11I-2夜

所以匕棱錐E-°BC=咚棱錐2-EBC=匕棱錐A-EBC=匕棱錐E-ABC=JX^X2X2xv2=——，

故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.總體編號(hào)為01,02,19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)

體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)

字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為.

78166572080263140214431997140198

32049234493682003623486969387181

【答案】01

【解析】從隨機(jī)數(shù)表的第一行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右選取的編號(hào)依次為

08,02,14,19,01,

所以選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為01.

故答案為：01.

13.在AABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知。=4,5=45°,若

(a-Z2)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,貝!|A=,b=.

【答案】小華

【解析】由(a-0)(sinA+sinB)=(c->)sinC以及正弦定理得，(a-b)(a+b)=(c-b)c,

層

所以"+c-c，所以2=匕124_24i

JT

因?yàn)镺vAv%,所以A=§.

4_/?「

得走=變，解得b=生色.

由正弦定理得——=——

sinAsinBT3

故答案為:上警

14.已知拋物線。：丁=2庶(°>°)的焦點(diǎn)為P，直線/經(jīng)過點(diǎn)口交C于M,N兩點(diǎn)，

M,N兩點(diǎn)在C的準(zhǔn)線上的射影分別為A,3,且AAMF的面積是..NBF的面積的4

倍，若》軸被以為直徑的圓截得的弦長為J7,則。的值為.

【答案】V2

【解析】如圖，當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，由拋物線的定義，可得同，|八冏=|八陽，

<-\MA\\MF\sinZAMF應(yīng)前2

所以='-------------------~卜=4,所以|"F|=2|NE|,

3.NBF3閘而sinZBNEM

所以|M4|=2|A?].如圖，過點(diǎn)N作NN】LAM于點(diǎn)M，則雙H=|%6|,

,,1,,1,,\N,M\1

所以|乂必=-\AM\=-\MN\,所以COSNN]M2V=,

所以sinNMMN=述，所以直線/的斜率k=tan/N幽N=一個(gè)唯=2上,

13cos/N[MN

則直線/：y=,直線/與y?=2px聯(lián)立，得4%2-5p%+p?=0,

設(shè)M與N的橫坐標(biāo)分別為句,xN,貝I]X”+/=學(xué),

所以|MN|=xM+xN+p=^p,

所以以MN為直徑的圓的半徑廠=網(wǎng)"=2。

28

圓心到y(tǒng)軸的距離d=Xm+Xn=-P，

28

所以弦長為2—Q2==J7,解得p=0；

當(dāng)點(diǎn)又在第三象限時(shí)，由對(duì)稱性可得p=夜.

故答案為：0.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.黨的二十大報(bào)告提出：“全方位夯實(shí)糧食安全根基，牢牢守住十八億畝耕地紅線，確保

中國人的飯碗牢牢端在自己手中.”糧食事關(guān)國運(yùn)民生，糧食安全是“國之大者”，與社會(huì)和

諧、政治穩(wěn)定、經(jīng)濟(jì)持續(xù)發(fā)展等息息相關(guān)，糧穩(wěn)則天下安.現(xiàn)有某品種雜交水稻，從中隨機(jī)

抽取15株作為樣本進(jìn)行觀測，并記錄每株水稻的生長周期（單位：天），按從小到大排序結(jié)

果如下：

939798101103104107108109110112116121124126

已知這組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)、80%分位數(shù)分別為a,b.

（1）求。力;

（2）在某科研任務(wù)中，把該品種所有生長周期位于區(qū)間（。力）的稻株記為“高產(chǎn)稻株”，其

余記為“低產(chǎn)稻株”.現(xiàn)從該品種水稻中隨機(jī)抽取3株，設(shè)其中高產(chǎn)稻株有X株，求X的分

布列與數(shù)學(xué)期望（以樣本中高產(chǎn)稻株的頻率作為該品種水稻的一株稻株屬于高產(chǎn)稻株的概

率）.

解：（1）依題意，樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)〃=15,

因?yàn)椤癤10%=1.5,故10%分位數(shù)為第2項(xiàng)數(shù)據(jù),

即a=97,

因?yàn)椤?80%=12,故80%分位數(shù)為第12項(xiàng)與第13項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),

,116+121

即on/?=--------=118.5.

2

（2）因?yàn)閰^(qū)間（a,b）=（97,118.5）,樣本數(shù)據(jù)中共有10個(gè)數(shù)據(jù)位于該區(qū)間,

故由題意，該品種水稻的一株稻株屬于高產(chǎn)稻株的概率為P=-=-

153

則隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且乂~313,^

…o)=q",…心'口=|

P(X=2)=4"=”X=3)=C[|J=:

故X的分布列為

X0123

1248

p

279927

2

所以X的數(shù)學(xué)期望石(x)=3x§=2.

n

16.已知數(shù)列｛?！埃?也｝滿足+2=2〃+1,anbn=T,數(shù)列｛%｝滿足%=—+—.

an2

(1)判斷數(shù)列｛%｝的單調(diào)性；

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,.

解：(1)由題可得%='+[=4乎=(2"+1>2",

anbna?bn

又因?yàn)間+i—g=(2〃+3)?2.—(2〃+1).2"=2".(2〃+5)>0,

所以數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增.

(2)由題意可得"=q+。2+。3"I----Fc“=3x2,+5x2~+7x2,H----P(2〃+l)-2?,①

2S"=3><22+5><23+…+(2〃—l)?2R+(2〃+l)?2"+l②

—②得—S“=6+2x(2?+23+…+2")—(2〃+1b2"+1=—(2〃—l)-2'+i—2,

故S,=2+(2/—1>2角.

17.如圖，在正三棱柱ABC-A15cl中，尸為BG的中點(diǎn).

小尸二----------7G

A'C

B

(1)證明：BCLP\.

(2)若44=2,AB=25求直線AB]與平面PAG所成角的正弦值.

解：(1)取的中點(diǎn)。，連接A￡),PD,

且尸為BG的中點(diǎn)，則PD〃CC「

因AA//CQ,則「?！?，所以P,O,A,A四點(diǎn)過面，

因?yàn)锳4，平面ABC,BCu平面ABC,則

又因?yàn)锳3=AC,且。為BC的中點(diǎn)，則AD13C,

且A4]CAD=A,相，A。u平面A41P。，可得5C1平面A41P。，

且R&U平面AA/。，所以BCLPA.

(2)由(1)可得平面ABC,ADu平面ABC,BDu平面ABC,

所以PD_LAD，PD±BD，

以。為原點(diǎn)，。昆AD,DP的方向分別為蒼％z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(O,—3,0),4(。，一3,2),P(O,O,I),4(G,o,2),q(-Ao,2),

可得M=(63,2),4G=(-A/3,3,0),A戶=(O,3，T),

設(shè)平面PAC的法向量為質(zhì)=(羽y,z),貝以—?

m-\P=3y-z=0

令x=#)，則y=l，z=3,可得根=(若』,3),

設(shè)直線ABX與平面PAG所成的角為0,

n,.?I.D||力叫123^/13

111同網(wǎng)4x71313

所以直線入用與平面PAG所成角的正弦值為士叵.

18.己知P(羽y)在曲線C：次+y2-2%+1+Jx2+y2+2x+l=4上,直線y=Ax

交曲線C于A,8兩點(diǎn).

(1)當(dāng)尸不在直線AB上時(shí)，試問七T怎B(即A，即8分別為Q4，PB斜率)是否為定

值?若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

(2)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OPLA5,求鉆面積的最小值.

3

解：(1)kpA,kpB是定值，kpA，kpB=——>

曲線C：小x2+/-2x+1+Jx1+;/+2尤+1=4，

即J(X-1)2+y2+J(x+1)2+y2-4>2,

所以曲線C是以(±1,0)為焦點(diǎn)的橢圓且2a=4,所以［_］，則6=力2_02=?

22

所以曲線C的方程為土+匕=1,

43

設(shè)4(石,％),根據(jù)對(duì)稱性可得5(—%,—%),因?yàn)镻(x,y),

,22?2（2A

所以G=匕1"=與二4,因?yàn)檫|+互=1,所以y；=31-^-

%一再x+玉x一再4314J

(Q

同理可得丁=31——,

、4,

(2>(2、

31--31』

所以左也一1)14人3.

以PBx2-xf4

⑵若左=0時(shí)4(2,0)、5(—2,0)(或5(2,0)、A（-2,0））,

因?yàn)镺PLA5,

所以網(wǎng)0,石)(或尸倒，一⑹)，

所以SpAB=gx4xg=26，

解得玉志

2

所以|A同=y/1+k|%1-%2|=241+取.=46^^

因?yàn)?P1AB,設(shè)OP交橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,所以直線尸。的方程為y=-4x,

k

則阿、間|=2可||；'

所以5.=；義|。。34卻=：、26舊］><4石居

12（1+左2）

J（3+4>2）（4+312），

因?yàn)镴（3+4/）（4+3/）/3+的；（4+3左2）=?,

當(dāng)且僅當(dāng)3+4/=4+3左2,即左2=1,左=±1時(shí)等號(hào)成立，

120+左2）120+42）24

所以S刈=#+4；2）（4+3/「及干=亍'

因?yàn)?<2代，所以，B鉆面積的最小值為之.

77

19.已知函數(shù)g（x）=l-21nxg（a>0）,且g（x）的極值點(diǎn)為%.

X

⑴求餐;

/、2

（2）證明：2g（x0）+