專題3排列組合與二項式定理

專題3

排列組合與二項式定理【講*人教A版】【必備知識】1.分類加法計數原理2.分步乘法計數原理【考向歸類】考向一：分類加法計數原理的應用【典例1】（2425高二下·廣西防城港·期中）1．現有甲部門的員工9人，乙部門的員工8人，丙部門的員工5人，從這三個部門的員工中任選1人參加接待客戶的活動，不同的選法種數為（

）A．36 B．360 C．22 D．24【答案】C【分析】結合分類加法計數原理求解即可.故選：C【備考提醒】1.分類時，首先要根據問題的特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下分類，要做到分類“不重不漏”．2.利用分類加法計數原理計數時的解題流程．【舉一反三】（2425高二下·黑龍江牡丹江·期中）2．桌子上有一本數學書和一本英語書，從桌子上任取一本書，不同的取法數有（

）種.A．1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根據分類加法計數原理來計算從桌子上任取一本書的不同取法數．【詳解】從桌子上任取一本書，有兩類取法：第一類，取數學書，有種取法；第二類，取英語書，有種取法．不同的取法數有種．故選：D．考向二：分步乘法計數原理的應用【典例2】（2425高二下·北京·期中）3．學校組織游學，學生可以從華山、衡山、恒山、嵩山四個景點中任選一處前往，3個好朋友每人隨機選擇一個目的地，不同選法的種數是（

）A．81 B．64 C．24 D．12【答案】B【分析】利用分步計數原理即可求解.【詳解】學生可以從華山、衡山、恒山、嵩山四個景點中任選一處前往，故選：B.【備考提醒】利用分步乘法計數原理解題的注意點及解題思路（1）應用分步乘法計數原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可．（2）利用分步乘法計數原理解題的一般思路①分步：將完成這件事的過程分成若干步；②計數：求出每一步中的方法數；③結論：將每一步中的方法數相乘得最終結果．【舉一反三】（2425高二下·江蘇鹽城·期中）4．五一期間甲、乙、丙、丁、戊五個同學計劃在本地一日游，若每人計劃只去“新四軍紀念館、大豐麋鹿自然保護區(qū)、西溪旅游文化景區(qū)”這三個景點中的一個景點，則不同的游覽方法共有（

）A．40種 B．60種 C．125種 D．243種【答案】D【分析】應用分步乘法計數原理求不同的游覽方法數.故選：D（2425高二下·吉林·期中）5．某校羽毛球隊有5名男隊員，6名女隊員，現在需要派1名男隊員，1名女隊員作為一個組合參加市羽毛球混雙比賽，則不同的組合方式有（

）A．11種 B．15種 C．22種 D．30種【答案】D【分析】根據分步乘法原理在男隊員與女隊員各選一人即可得結論.【詳解】根據分步乘法計數原理可得不同的組合方式有5×6=30（種）.故選：D.考向三：兩個計數原理的簡單應用【典例3】（2425高二下·新疆烏魯木齊·期中）6．如圖為我國數學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現用4種不同顏色給圖中的5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂色方法共有多少種（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，分4步依次分析區(qū)域、、、、的涂色方法數目，由分步計數原理計算答案．【詳解】分4步進行分析：①，對于區(qū)域，有4種顏色可選；②，對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；③，對于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有2種顏色可選；④，對于區(qū)域、，若與顏色相同，區(qū)域有2種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有1種顏色可選，區(qū)域有1種顏色可選，故選：A【典例4】（2425高二下·北京·期中）7．甲、乙、丙、丁和戊5名同學進行數學演講比賽，若安排上場順序時甲、乙均不能第一個上場，且乙不能最后一個上場，則這5人上場順序的不同排法種數為（

）A．27 B．48 C．54 D．72【答案】C【分析】利用特殊元素法，分兩種情況：甲最后一個上場和甲不能最后一個上場，再安排其他人，計算即可得出結果.【詳解】甲、乙均不能第一個上場，且乙不能最后一個上場，可以先排甲分兩種情況進行考慮：故選：C【典例5】（2425高二下·山東棗莊·期中）8．用數字1，2，3，4，5組成無重復數字的三位數，其中偶數的個數為（

）A．24 B．30 C．36 D．60【答案】A【分析】根據分步乘法計數原理即可求解.【詳解】個位只能是2和4，十位和百位可以從剩下的數字中選擇，故選：A【備考提醒】在處理具體的應用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么，選擇合理的標準處理事件，關鍵是看能否獨立完成這件事，避免計數的重復或遺漏．【舉一反三】（2025·遼寧·一模）如圖2，有4種不同顏色的涂料，給圖中的12個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法共有種（用數字作答）【詳解】染色問題按以下步驟進行：第一步：給染色有4種方法；（2425高二下·天津·階段練習）10．高二年級(1)班有6人參加數學小組，(2)班有5人參加物理小組，(3)班有4人參加化學小組，問：(1)選其中1人擔任數理化小組組長，有多少種不同的選法?(2)每班選1人參加全國數理化競賽，有多少種不同的選法?(3)選取其中兩人參加不同的學科競賽，有多少種不同的選法?【答案】(1)15(2)120(3)74【分析】（1）由分類加法計數原理即可求解；（2）由分步乘法計數原理即可求解；（3）先分類再分步即可求解；【詳解】（1）選其中1人擔任數理化小組組長，可以來自數學或物理或化學，（2）分三步完成，第一步數學選1人，6種，第二步物理選1人，5種，第三步化學選1人，4種，（2425高二下·吉林松原·階段練習）11．拋擲一枚質地均勻的骰子3次，則3次中最大點數為3的情況有種．【答案】19【分析】先求出3次中沒有出現4，5，6點的情況，再求出沒有出現3，4，5，6點的情況，兩者相減得到答案.故答案為：19【必備知識】【必備知識】求解排列應用問題方法匯總直接法把符合條件的排列數直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉化的方法分組分配平均分組、部分平均分組1．對不同元素的分配問題（1）對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以(n為均分的組數)，避免重復計數．（2）對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數．(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．隔板法環(huán)排問題1.把個不同的元素圍成一個環(huán)狀，排法總數為；涂色問題涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進行涂色即可．【考向歸類】考向一：元素（位置）有限制的問題【典例1】（2425高二下·江蘇宿遷·期中）12．用數字0，1，2，3，4，5這6個數字組成無重復數字的四位數，下列說法正確的是（

）A．共可組成360個四位數B．四位偶數有156個C．能被25整除的四位數有21個D．從小到大排列第89個數為2340【答案】BC【分析】對于A，由特殊元素優(yōu)先法，先選定最高位為非零數，其余數位全排，可得正誤；對于B，由偶數個位的特征，分為個位為零與非零兩種情況，結合分類加法原理，可得正誤；對于C，由能被整除數的后兩位的特征，分為兩種情況，結合分類加法原理，可得正誤；對于D，由高到低的數位，排列由小到大的數，依次計數，可得答案.故選BC.【備考提醒】優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置是原則．【舉一反三】（2425高二下·浙江寧波·期中）13．甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同學相約到電影院觀看電影《哪吒2》，恰好買到了六張連號且在同一排的電影票，若甲不坐在6個人的兩端，乙和丙相鄰，則不同的排列方式種數為.用數字作答.【答案】144【分析】應用分步計數，先將丁、戊、戌排成一排，有4個空，再把乙和丙全排看作一個人插入，最后將甲插入中間3個空，即可得.【詳解】先將丁、戊、戌排成一排有種，隊列中有4個空，最后把甲插入中間3個空中有種，故答案為：144（2425高二下·山東·階段練習）14．某班某次班會準備從甲、乙2名女同學及其他5名男同學中安排5名同學依次發(fā)言．若甲、乙同時參與，且前3名發(fā)言的同學中有女同學，則不同的安排方法有（

）A．840種 B．960種 C．1080種 D．1200種【答案】C【分析】先從5名男同學中選3人，再分前3名同學有1名女同學，2名女同學2種情況排前3名同學，最后排剩下2名同學可得總安排方法數.故選：C考向二：相鄰（不相鄰）問題【典例2】（2425高三下·云南臨滄·階段練習）A． B． C． D．【答案】A【分析】由插空法結合分步乘法計數原理即可求解.【詳解】用插空法：先排丁、戊、己三家企業(yè)，共有種方法，在它們之間的兩個空加上兩頭共有四個空位，從位中任意選三個排列甲、乙、丙三個企業(yè)，共有種方法．故選：A．【典例3】（2425高二下·湖北·期中）16．2025年某影院在春節(jié)檔引入了5部電影，包含3部喜劇電影、2部動畫電影．其中《哪吒之魔童鬧?！菲狈砍?50億，成為全球動畫票房冠軍．該影院某天預留了一個影廳用于放映這5部電影，這5部電影當天全部放映，則下列選項正確的是（

）A．《哪吒之魔童鬧海》不排在第1場，共有96種排法B．兩部動畫片放映的先后順序固定（不一定相鄰），一定共有60種排法C．兩部動畫片相鄰放映，共有48種排法D．3部喜劇電影不相鄰，共有24種排法【答案】ABC【分析】由特殊元素優(yōu)先法即可判斷A，由倍縮法即可判斷B，由捆綁法即可判斷C，由插空法即可判斷D.【詳解】對于A，先從剩下的四場中選一場排《哪吒之魔童鬧?！罚缓罅硗獾?部電影全排列，對于C，先將兩部動畫片捆綁，再與另外三部電影全排列，對于D，先排兩部動畫片，剛好形成3個空，將三部喜劇電影插入這3個空，故選：ABC【備考提醒】1.捆綁法：解決“相鄰”問題用“捆綁法”，就是將n個不同的元素排成一排，其中k個元素排在相鄰位置上，求不同的排法種數的步驟：①先將這k個元素“捆綁”在一起，看成一個整體；③然后“松綁”，即將“捆綁”在一起的元素內部進行排列，其排列方法有種；【舉一反三】（2425高二下·天津·階段練習）17．天津市第四十七中學為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“雨水”“驚蟄”“春分”“清明”“谷雨”“立夏”七張知識展板放置在七個并列的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰．且“清明”和“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數為（

）A．265 B．320 C．480 D．960【答案】D【分析】利用捆綁法和插空法，以及分步乘法計數原理求解即可.【詳解】將“立春”和“春分”兩塊展板看成一個整體，與“雨水”，“谷雨”，“立夏”三塊展板進行全排列，再將“清明”和“驚蟄”兩塊展板插空.故選：D.（2425高三下·山東聊城·階段練習）18．某班組織了國慶文藝晚會，從甲、乙、丙、丁等7個節(jié)目中選出5個節(jié)目進行演出，選出的5個節(jié)目要求相鄰依次演出，且要求甲、乙、丙必選，且甲、乙相鄰，但甲、乙均不與丙相鄰，若丁被選中，丁必須排在前兩位，則不同的演出順序種數為.（用數字作答）【答案】96【分析】由分類加法原理，利用捆綁法與插空法，可得答案.故答案為：.考向三：分組分配問題【典例4】（2025·河南鄭州·三模）19．河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊，其美食也獨具特色．現有一名游客計劃在三天內品嘗完以下六種河南特色美食：燴面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、燜餅、黃河鯉魚．該游客每天從這六種美食中選擇1到3種進行品嘗（每天必須選擇且不能重復選擇已品嘗過的美食）．若三天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數為（

）A．450 B．360 C．180 D．90【答案】A故選：A.【備考提醒】1．對不同元素的分配問題①對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以(n為均分的組數)，避免重復計數．②對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數．③對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．2.分組問題（分成幾堆，無序）有等分、不等分、部分等分之別.一般地，平均分成堆（組）必須除以；如果有堆（組）元素個數相同，必須除以.【舉一反三】（2425高三上·陜西西安·階段練習）20．某學校擬派2名語文老師、3名數學老師和3名體育老師共8人組成兩個支教分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務支教，其中每個分隊都必須有語文老師、數學老師和體育老師，則不同的分配方案有（

）A．72種 B．36種 C．24種 D．18種【答案】B【分析】先分配語文老師，再把數學體育老師按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解；【詳解】兩名語文老師由種分配方程；數學老師按1，2分，則體育老師按2，1分，故選：B（2425高二上·遼寧遼陽·期末）21．元旦假期，某旅游公司安排6名導游分別前往沈陽故宮、本溪水洞、鞍山千山、盤錦紅海灘四個景區(qū)承擔義務講解任務，要求每個景區(qū)都要有導游前往，且每名導游都只安排去一個景區(qū)，則不同的安排方法種數為（

）A．1280 B．300 C．1880 D．1560【答案】D【分析】利用先分組再分配的思想結合排列組合的知識求解.【詳解】將6名導游分成四組，各組人數分別為1，1，1，3或1，1，2，2．故選：D.【必備知識】1．二項式定理2．二項展開式形式上的特點(1)項數為；(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n；(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n；3.二項式系數的性質(2)增減性與最大值：當n是偶數時，中間一項取得最大值；【考向歸類】考向一：二項展開式中特定項的系數問題【典例1】（2425高二下·江蘇南京·期中）(1)求展開式中的一次項；(2)證明展開式中沒有常數項；(3)求展開式中所有的有理項.(2)證明見解析【分析】（1）根據二項式定理的展開式公式及等差數列的性質先計算n的值，再利用二項式展開式的通項公式計算一次項即可；（2）根據通項公式設出常數項計算得出矛盾，即可證明；（3）利用二項式展開式通項待定系數求有理項即可.【典例2】（2425高二下·山東威?！て谥校敬鸢浮緽故選：B.【典例3】（2025·山西晉中·三模）【答案】10故答案為：.【備考提醒】第二步，根據題目中的相關條件（如常數項要求指數為零，有理項要求指數為整數）先列出相應方程（組）或不等式（組），解出r；第三步，把r代入通項公式中，即可求出Tr＋1，有時還需要先求n，再求r，才能求出或者其他量．【舉一反三】（2025·四川攀枝花·三模）【答案】【分析】利用展開式的通項公式來求指定項系數即可.所以含的項的系數為，故答案為：（2025·福建漳州·一模）（2425高二下·江蘇連云港·階段練習）【答案】【分析】根據二項展開式通項公式直接構造方程求解即可.故答案為：.考向二：二項式系數【典例1】（2425高二下·廣東汕頭·期中）A．第三項的二項式系數為15 B．所有項的二項式系數之和為64C．有理項共有3項 D．常數項為第五項【答案】C【分析】結合二項展開式的通項公式可判斷ACD的真假，利用二項式系數的性質可判斷B的真假.故選：C【備考提醒】1.三條性質：1.對稱性；2.增減性；3.各項二項式系數的和.2.二項式展開式中的最值問題（2）系數的最大項【舉一反三】（2425高二下·重慶·期中）A．11 B．14 C．11或23 D．14或23【答案】D【分析】根據二項式系數的定義列出等式，解方程即可.故選：D.（2425高二下·廣東深圳·階段練習）A． B． C．2或3 D．3或4【答案】D【分析】首先根據二項式系數最大值問題求，再根據第項的系數大于前一項，也大于后一項，根據不等式，即可求解.所以展開式中系數最大的項是第3或4項.故選：D.考向三：系數和問題【典例1】（24