24.2《解一元二次方程》公式法課件冀教版九年級數(shù)學(xué)上冊

24.2解一元二次方程——

公式法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解求根公式的推導(dǎo)過程；（難點(diǎn)）2.掌握用公式法解一元二次方程；(重點(diǎn)）3.會(huì)用判別式判斷一元二次方程的根的情況.知識(shí)回顧用配方法解一元二次方程的步驟有哪些？一“化”：將方程化為一般形式，且把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；二“移”：將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；三“配”：方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將方程左邊配成完全平方的形式；四“開”：方程兩邊開方，將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程；五“解”：解所得的兩個(gè)一元一次方程；六“寫”：將兩個(gè)一元一次方程的解寫成x1=a，x2=b的形式.導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入解：方程整理得配方得開平方得解得1.如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?想一想

任何一個(gè)一元二次方程都可以寫成一般形式

ax2+bx+c=0(a≠0).能否也用配方法得出它的解呢？分析：我們發(fā)現(xiàn)用配方法解此類一元二次方程有困難，那我們能不能找到另外的思路來解此類方程呢？用配方法解方程：?我們知道，給出不同的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)會(huì)構(gòu)造出不同的一元二次方程，那一元二次方程的解會(huì)不會(huì)和二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)有最直接的關(guān)系呢？我們不妨通過一元二次方程的一般形式來進(jìn)行探究。移項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)化1配方寫成完全平方形式開平方點(diǎn)擊下一頁，你有一封信件，請查看寫出方程的解分三種情況探究新知探究新知第一頁第二頁第三頁∵a≠0,4a2>0，∴式子b2-4ac

有三種情況：

將（1）兩邊開平方，得：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，第二頁將（1）兩邊開平方，得：∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，無論x取任何實(shí)數(shù)，都不能使成立，第三頁方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程無實(shí)數(shù)根一元二次方程根的判別式：利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況時(shí)，要先把方程轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.總結(jié)歸納我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，用希臘字母“△”來表示，讀作“德爾塔”.即：△=

b2-4ac.注意用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0).解：系數(shù)化為1，得：移項(xiàng)，得：配方，得：即：合作探究能用直接開平方法解方程（1）嗎？為什么？∵a≠0,4a2>0，∴式子b2-4ac

有三種情況：

將（1）兩邊開平方，得：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，合作探究將（1）兩邊開平方，得：∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，無論x取任何實(shí)數(shù)，都不能使成立，合作探究方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程無實(shí)數(shù)根方程有實(shí)數(shù)根一元二次方程根的判別式：利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況時(shí)，要先把方程轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.總結(jié)歸納我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，用希臘字母“△”來表示，讀作“德爾塔”.即：△=

b2-4ac.兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根兩個(gè)實(shí)數(shù)根判別式的情況

根的情況我們把

b2?4ac叫做一元二次方程

ax2+bx+c=0根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示，即

Δ=b2?4ac.

Δ

>0

Δ=0

Δ<0

Δ≥0一元二次方程根的判別式二按要求完成下列表格：練一練的值04根的情況有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根Δ例1已知一元二次方程

x2+x=1，下列判斷正確的是()A.該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.該方程無實(shí)數(shù)根D.該方程根的情況不確定解析：原方程即

x2+x?1=0，a=1，b=1，c=?1，∵

Δ=b2?4ac=12?4×1×(?1)=5＞0，∴

該方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，故選B.B典例精析例2不解方程，判斷下列方程的根的情況：（1）3x2+4x?3=0；

（2）4x2=12x?9；解：（1）a=3，b=4，c=?3，∴Δ=b2?4ac=42?4×3×(?3)=52＞0.∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）方程化為4x2?12x+9=0，

a=4，b=?12，c=9，∴Δ=b2?4ac=(?12)2?4×4×9=0.∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．方法歸納判斷一元二次方程根的情況的方法：將方程整理為一般形式ax2+bx+c=0Δ=b2?4ac>0Δ=b2?4ac=

0Δ=b2?4ac<0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根例3

若關(guān)于

x的一元二次方程

x2+8x+q=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則

q的取值范圍是()A.q≤4B.q≥4C.q＜16D.q＞16C解析：方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式，則Δ=b2?4ac＞0，即82?4q＞0.解得

q＜16，故選C.典例精析【變式題】二次項(xiàng)系數(shù)含字母若關(guān)于

x的一元二次方程

kx2?2x?1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則

k的取值范圍是()A.k>?1B.k>?1且

k≠0C.k<1D.k<1且

k≠0B(-2)2+4k>0

當(dāng)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)是字母時(shí)，一定要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0，再根據(jù)“Δ”求字母的取值范圍.歸納方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根分析：二次項(xiàng)系數(shù)不為0k≠0k>?1且

k≠0【變式題】刪除限制條件“二次”若關(guān)于

x的方程

kx2?2x?1=0有實(shí)數(shù)根，則

k的取值范圍是()A.k≥

?1B.k≥

?1且

k≠0C.k<1D.k<1且

k≠0分析：分類討論k=0k≠0原方程變形為?2x?1=0，有實(shí)數(shù)根Δ=4

+4k≥0k≥?1A注意：用公式法解一元二次方程時(shí)，首先要將方程化為一般式，然后當(dāng)Δ=b2-4ac≥0時(shí)，才可以用求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法解方程三

由上可知，當(dāng)

Δ≥0時(shí)，方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根可寫為的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程

ax2+bx+c=0的求根公式.±-例4

用公式法解下列方程：典例精析(1)x2?4x?7=0；

方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根解：a=1，b=?4，c=?7.Δ=b2－4ac=(?4)2－4×1×(?7)=44＞0.即-±方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(2)2x2?x+1=0；

解：a=2，b=?，c=1.

Δ=b2－4ac=(?)2－4×2×1=0.-±x1=x2

(3)5x2－3x=x+1；方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根即a=5，b=－4，c=－1.Δ=b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.解：方程化為5x2－4x－1=0.-±(4)x2+17=8x.方程沒有實(shí)數(shù)根.a=1，b=?8，c=17.Δ=b2?4ac=(?8)2?4×1×17=?4＜0.解：方程化為

x2－8x+17=0.-±要點(diǎn)歸納公式法解方程的步驟1.化：化已知方程為一般形式；2.定：確定各項(xiàng)系數(shù)a，b，c的值；3.求：求Δ=b2

?4ac

的值；4.判：若Δ=b2

?4ac≥0，則方程有實(shí)數(shù)根；

若

b2

?4ac＜0，則方程沒有實(shí)數(shù)根.5.代：將a，b，c的值代入求根公式，寫出方程的根.知識(shí)點(diǎn)三用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程解：方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根解：方程無實(shí)數(shù)根原方程可化為：練一練（1）解：∴方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根將方程化為一化（一般形式）二定（系數(shù)值）三求（求b2-4ac的值）四判（方程根的情況）五