廣西9省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

廣西9省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是（）

A.0B.1C.2D.3

2.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_2=5，則a_5的值為（）

A.8B.10C.12D.15

3.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)，則f(π/6)的值為（）

A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2

4.拋擲兩個均勻的六面骰子，則兩個骰子點數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6B.1/12C.5/36D.7/36

5.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，則角C的度數(shù)為（）

A.75°B.105°C.120°D.135°

6.已知圓的方程為(x-2)^2+(y+3)^2=16，則該圓的圓心坐標(biāo)為（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

7.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|的值為（）

A.1B.√2C.2D.√3

8.在直角坐標(biāo)系中，點P(a,b)到直線x+y=1的距離為（）

A.|a+b-1|/√2B.|a-b-1|/√2C.|a+b+1|/√2D.|a-b+1|/√2

9.已知函數(shù)f(x)=e^x，則f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)f'(0)的值為（）

A.0B.1C.eD.e^0

10.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則cosA的值為（）

A.3/5B.4/5C.1/2D.√2/2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=x^2B.y=3x+2C.y=1/xD.y=e^x

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_3=8，則該數(shù)列的通項公式a_n為（）

A.a_n=2^(n-1)B.a_n=2^nC.a_n=4^(n-1)D.a_n=4^n

3.下列命題中，正確的是（）

A.所有奇函數(shù)都是奇函數(shù)B.所有偶函數(shù)都是偶函數(shù)C.sin(x)是奇函數(shù)D.cos(x)是偶函數(shù)

4.在直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，則k的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

5.下列復(fù)數(shù)中，屬于純虛數(shù)的是（）

A.2+3iB.0C.-5iD.1-i

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的極小值點為______。

2.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_4=10，a_7=19，則該數(shù)列的公差d為______。

3.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值為______。

4.若復(fù)數(shù)z=2+3i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z^*為______。

5.在直角坐標(biāo)系中，點P(1,2)到直線3x-4y+5=0的距離為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.求極限lim(x→0)(sin(3x)/x)。

3.解微分方程dy/dx=x^2+1。

4.計算定積分∫[0,π/2]sin(x)dx。

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)，并求f(x)在x=2處的切線方程。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|在x=1時取得最小值0+0=0。

2.C

解析：等差數(shù)列中a_2=a_1+d=2+d=5，得d=3。則a_5=a_1+4d=2+4*3=14。

3.B

解析：f(π/6)=sin(π/6+π/3)=sin(π/2)=1。

4.A

解析：總共有6*6=36種可能結(jié)果，點數(shù)和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，概率為6/36=1/6。

5.A

解析：三角形內(nèi)角和為180°，故C=180°-45°-60°=75°。

6.A

解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)為圓心坐標(biāo)，r為半徑。由題意圓心為(2,-3)。

7.B

解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2。

8.A

解析：點P(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=|Aa+Bb+C|/√(A^2+B^2)。將直線x+y=1即1x+1y+(-1)=0代入，得d=|1*a+1*b-1|/√(1^2+1^2)=|a+b-1|/√2。

9.B

解析：f'(x)=e^x，所以f'(0)=e^0=1。

10.B

解析：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=4/5。

二、多項選擇題答案及解析

1.B,D

解析：y=3x+2是一次函數(shù)，斜率為正，故單調(diào)遞增。y=e^x是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)大于1，故單調(diào)遞增。y=x^2在其定義域內(nèi)先減后增。y=1/x是反比例函數(shù)，在(0,+∞)和(-∞,0)內(nèi)分別單調(diào)遞減。

2.A,C

解析：等比數(shù)列中a_3=a_1*q^2。由a_1=1,a_3=8得1*q^2=8，解得q=±√8=±2√2。通項公式為a_n=a_1*q^(n-1)=1*(±2√2)^(n-1)。當(dāng)q=2√2時，a_n=(2√2)^(n-1)=2^(n-1/2)。當(dāng)q=-2√2時，a_n=(-2√2)^(n-1)。選項A形式為2^(n-1)，選項C形式為4^(n-1)，4=(2√2)^2，故a_n=4^(n-1/2)=(2^(n-1/2))^2=((±2√2)^(n-1))^2=((-2√2)^(n-1))^2。選項A和C都正確。

3.C,D

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)，偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)。sin(x)滿足sin(-x)=-sin(x)，是奇函數(shù)。cos(x)滿足cos(-x)=cos(x)，是偶函數(shù)。命題A“所有奇函數(shù)都是奇函數(shù)”是正確的。命題B“所有偶函數(shù)都是偶函數(shù)”也是正確的。命題C“sin(x)是奇函數(shù)”是正確的。命題D“cos(x)是偶函數(shù)”是正確的。因此，所有選項都正確。根據(jù)題目通常要求選出所有正確的選項，故全選。但若題目隱含“下列說法中正確的有______個”，則需判斷。此處按全選解析。

4.A,D

解析：直線y=kx+b與圓(x-1)^2+(y-2)^2=4相切，意味著直線與圓有且只有一個公共點。將直線方程代入圓方程：(x-1)^2+(kx+b-2)^2=4。展開得x^2-2x+1+k^2x^2+2bkx+b^2-4kx-4b+4=4。合并同類項得(1+k^2)x^2+(-2+2bk-4k)x+(1+b^2-4b)=0。這是一個關(guān)于x的一元二次方程，相切的條件是判別式Δ=0。Δ=[(-2+2bk-4k)]^2-4(1+k^2)(1+b^2-4b)=0。令A(yù)=1+k^2,B=-2+2bk-4k,C=1+b^2-4b。則B^2-4AC=0。(-2+2bk-4k)^2-4(1+k^2)(1+b^2-4b)=0。這是一個關(guān)于k和b的方程。為了簡化計算，可以嘗試代入選項中的k值。若k=-1，代入得(-2+2b(-1)-4(-1))^2-4(1+(-1)^2)(1+b^2-4b)=(0)^2-4(2)(1+b^2-4b)=-8(1+b^2-4b)=-8b^2+32b-8=0。整理得b^2-4b+1=0。判別式Δ_b=4^2-4*1*1=16-4=12≠0。故k=-1不成立。若k=1，代入得(-2+2b(1)-4(1))^2-4(1+1^2)(1+b^2-4b)=(0)^2-4(2)(1+b^2-4b)=-8b^2+32b-8=0。整理得b^2-4b+1=0。判別式Δ_b=12≠0。故k=1不成立。若k=-2，代入得(-2+2b(-2)-4(-2))^2-4(1+(-2)^2)(1+b^2-4b)=(6-4b)^2-4(5)(1+b^2-4b)=36-48b+16b^2-20-20b^2+80b=16b^2-48b+16-20b^2+80b-20=-4b^2+32b-4=0。整理得b^2-8b+1=0。判別式Δ_b=8^2-4*1*1=64-4=60≠0。故k=-2不成立。若k=2，代入得(-2+2b(2)-4(2))^2-4(1+2^2)(1+b^2-4b)=(6-4b)^2-4(5)(1+b^2-4b)=36-48b+16b^2-20-20b^2+80b=16b^2-48b+16-20b^2+80b-20=-4b^2+32b-4=0。整理得b^2-8b+1=0。判別式Δ_b=60≠0。故k=2不成立?？雌饋碇苯咏夥匠瘫容^復(fù)雜?？紤]幾何方法：圓心(1,2)到直線kx-y+b=0的距離等于半徑2。距離公式d=|k*1-1*2+b|/√(k^2+1^2)=2。|k-2+b|/√(k^2+1)=2。兩邊平方得(k-2+b)^2=4(k^2+1)。展開得k^2-4k+4+4kb+b^2-4b=4k^2+4。移項合并得0=3k^2-4kb+b^2+4k-4b-4。嘗試代入k=-1：(0=3(-1)^2-4(-1)b+b^2+4(-1)-4b-4)=(0=3+4b+b^2-4-4b-4)=b^2-5=0。b=±√5。代入直線方程y=-x+b，有兩條切線，相切條件滿足。嘗試代入k=2：(0=3(2)^2-4(2)b+b^2+4(2)-4b-4)=(0=12-8b+b^2+8-4b-4)=b^2-12b+16=0。b=6±2√5。代入直線方程y=2x+b，有兩條切線，相切條件滿足。因此，k=-1和k=2是正確的。選項A和D。

5.C

解析：純虛數(shù)是指實部為0且虛部不為0的復(fù)數(shù)。選項A的實部為2，不是純虛數(shù)。選項B是0，既實部為0，虛部也為0，不是純虛數(shù)。選項C是-5i，實部為0，虛部為-5，是純虛數(shù)。選項D的實部為1，不是純虛數(shù)。

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，故x=0為極大值點。f''(2)=6>0，故x=2為極小值點。

2.3

解析：由a_7=a_4+3d得19=10+3d，解得d=3。

3.-11/5

解析：向量a與向量b的夾角θ的余弦值為cosθ=(a·b)/(|a||b|)。a·b=1*3+2*(-4)=3-8=-5。|a|=√(1^2+2^2)=√5。|b|=√(3^2+(-4)^2)=√(9+16)=√25=5。cosθ=-5/(√5*5)=-5/(5√5)=-1/√5=-√5/5。注意：參考答案為-11/5，計算過程有誤。正確答案應(yīng)為-√5/5。

4.2-3i

解析：復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)是z^*=a-bi。所以z^*=2-3i。

5.5/5=1

解析：點P(1,2)到直線3x-4y+5=0的距離為d=|3*1-4*2+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3-8+5|/√(9+16)=|0|/√25=0/5=0。參考答案為1，計算過程有誤。正確答案應(yīng)為0。

四、計算題答案及解析

1.x^3/3+x^2+3x+C

解析：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x^2+x)+(x+3)]/(x+1)dx=∫[(x(x+1)+x)/(x+1)+(x+3)/(x+1)]dx=∫[x+x/(x+1)+1+2/(x+1)]dx=∫xdx+∫dx+∫dx/(x+1)+2∫dx/(x+1)=x^2/2+x+ln|x+1|+2ln|x+1|+C=x^2/2+x+3ln|x+1|+C。

2.3

解析：lim(x→0)(sin(3x)/x)=lim(x→0)[sin(3x)/(3x)]*3=sin(θ)/θ*3(令t=3x，x→0時t→0，θ→0)=1*3=3?；蛘呤褂寐灞剡_(dá)法則：lim(x→0)(sin(3x)/x)=lim(x→0)(3cos(3x)/1)=3cos(0)=3。

3.y=x^3/3+x+C

解析：dy/dx=x^2+1。兩邊積分∫dy=∫(x^2+1)dx。y=∫x^2dx+∫1dx=x^3/3+x+C。

4.2

解析：∫[0,π/2]sin(x)dx=-cos(x)|_[0,π/2]=-cos(π/2)-(-cos(0))=-0-(-1)=1。參考答案為2，計算過程有誤。正確答案應(yīng)為1。

5.f'(x)=3x^2-6x+2，切線方程為y=2

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。求f'(2)=3(2)^2-6(2)+2=12-12+2=2。點P(2,f(2))=(2,2^3-3(2)^2+2*2)=(2,8-12+4)=(2,0)。切線方程為y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)，即y-0=2(x-2)，即y=2x-4。參考答案切線方程為y=2，計算點或求導(dǎo)有誤。正確切線方程為y=2x-4。

本試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識點分類和總結(jié)：

本試卷主要考察了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，包括函數(shù)、三角函數(shù)、向量、復(fù)數(shù)、數(shù)列、幾何等幾個方面。具體知識點如下：

1.函數(shù)：函數(shù)的概念、定義域、值域、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)的圖像、函數(shù)的極限和導(dǎo)數(shù)等。

2.三角函數(shù)：三角函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)、三角恒等式、解三角形等。

3.向量：向量的概念、表示、運算、數(shù)量積等。

4.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念、表示、運算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等。

5.數(shù)列：數(shù)列的概念、通項公式、求和公式、等差數(shù)列、等比數(shù)列等。

6.幾何：直線和圓的方程、點到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系等。

各題型所考察學(xué)生的知識點詳解及示例：

一、選擇題：主要考察學(xué)生對基礎(chǔ)概