黑龍江高中單招數(shù)學試卷

黑龍江高中單招數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x>3}

D.{x|x<1}

2.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,∞)

C.[1,∞)

D.(-∞,1]∪[1,∞)

3.已知向量a=(3,4)，b=(1,-2)，則向量a+b的模長等于（）

A.3

B.4

C.5

D.7

4.不等式|2x-1|<3的解集是（）

A.(-1,2)

B.(-1,4)

C.(-2,1)

D.(-2,4)

5.若直線l的斜率為2，且過點(1,3)，則直線l的方程為（）

A.y=2x+1

B.y=2x-1

C.y=2x+3

D.y=2x-3

6.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則f(x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

7.拋物線y2=8x的焦點坐標是（）

A.(2,0)

B.(-2,0)

C.(0,2)

D.(0,-2)

8.已知三角形ABC的三邊長分別為3,4,5，則該三角形的面積是（）

A.6

B.8

C.10

D.12

9.若復數(shù)z=3+4i的模長等于（）

A.3

B.4

C.5

D.7

10.已知等差數(shù)列{a?}的首項為1，公差為2，則該數(shù)列的前10項和等于（）

A.100

B.150

C.200

D.250

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=log?(-x)

D.f(x)=x2+1

2.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點在x軸上，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a>0

B.b2-4ac=0

C.c=0

D.f(x)在頂點處取得最小值

3.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則下列說法正確的有（）

A.圓心坐標為(1,-2)

B.圓的半徑為2

C.圓與x軸相切

D.圓與y軸相切

4.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則log?(a)>log?(b)

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a2>b2，則a>b

5.已知等比數(shù)列{b?}的前n項和為S?，若b?=1，b?=2，則下列結(jié)論正確的有（）

A.數(shù)列{b?}的公比為2

B.S?=15

C.S?=2?-1

D.數(shù)列{b?}的第10項為512

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x2-2ax+3在x=1時取得最小值，則a的值為______。

2.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0互相平行，則a的值為______。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosB的值為______。

4.若復數(shù)z=(2-3i)(1+i)的實部為4，則z的虛部為______。

5.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=7，a?=13，則該數(shù)列的公差d為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：2^(2x+1)-3*2^x+2=0

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊c=10，求邊a的長度。

4.已知函數(shù)f(x)=x-2sin(x)，求f(π/6)的值。

5.計算不定積分：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B表示既屬于集合A又屬于集合B的元素構(gòu)成的集合。由A={x|1<x<3}和B={x|x>2}可知，A∩B={x|2<x<3}。

2.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，需要滿足對數(shù)的真數(shù)大于0，即x-1>0，解得x>1。因此定義域為(1,∞)。

3.C

解析：向量a+b=(3+1,4-2)=(4,2)，其模長為√(42+22)=√(16+4)=√20=2√5≈5。

4.A

解析：不等式|2x-1|<3表示2x-1的絕對值小于3，即-3<2x-1<3。解得-2<2x<4，即-1<x<2。

5.D

解析：直線l的斜率為2，且過點(1,3)，則直線方程為y-y?=m(x-x?)，即y-3=2(x-1)，化簡得y=2x-2+3，即y=2x-3。

6.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

7.A

解析：拋物線y2=8x的標準方程為y2=4px，其中p=2，焦點坐標為(π/2,0)，即(2,0)。

8.A

解析：由3,4,5構(gòu)成直角三角形，其面積S=1/2*3*4=6。

9.C

解析：復數(shù)z=3+4i的模長為|z|=√(32+42)=√(9+16)=√25=5。

10.B

解析：等差數(shù)列{a?}的首項為1，公差為2，前10項和S??=10/2*(2*1+(10-1)*2)=5*(2+18)=5*20=150。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,B,C

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(x)=log?(-x)，f(-x)=log?(-(-x))=log?(x)，而f(-x)=-log?(-x)，所以f(-x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

D.f(x)=x2+1，f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)，是偶函數(shù)。

2.A,B,D

解析：函數(shù)f(x)=ax2+bx+c開口向上，則a>0；頂點在x軸上，則判別式Δ=b2-4ac=0；f(x)在頂點處取得最小值，則a>0。

A.a>0，符合開口向上條件。

B.b2-4ac=0，符合頂點在x軸上條件。

C.c=0不是必要條件，例如f(x)=x2+x+1，開口向上，頂點不在x軸上。

D.a>0且Δ=0，則頂點為(-b/2a,0)，f(x)在頂點處取得最小值0。

3.A,B,C

解析：圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，圓心為(1,-2)，半徑為√4=2。

A.圓心坐標為(1,-2)，正確。

B.圓的半徑為2，正確。

C.圓心到x軸的距離為|-2|=2，等于半徑，所以圓與x軸相切，正確。

D.圓心到y(tǒng)軸的距離為|1|=1，小于半徑，所以圓與y軸相交，不正確。

4.B,C

解析：A.a>b不一定有a2>b2，例如-1>-2，但(-1)2<(-2)2。

B.若a>b>0，則對數(shù)函數(shù)log?(x)單調(diào)遞增，有l(wèi)og?(a)>log?(b)，正確。

C.若a>b>0，則倒數(shù)函數(shù)1/x單調(diào)遞減，有1/a<1/b，正確。

D.若a2>b2，則|a|>|b|，但不一定有a>b，例如a=-3，b=2，a2=9>b2=4，但a<b，不正確。

5.A,B,D

解析：等比數(shù)列{b?}的前n項和為S?，若b?=1，b?=2，則公比q=b?/b?=2/1=2。

A.數(shù)列{b?}的公比為2，正確。

B.S?=b?(1-q?)/(1-q)=1*(1-2?)/(1-2)=1*(-15)/(-1)=15，正確。

C.S?=b?(1-q?)/(1-q)=1*(1-2?)/(1-2)=1*(1-2?)/(-1)=2?-1，正確。

D.數(shù)列{b?}的第10項為b?*q?=1*2?=512，正確。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：函數(shù)f(x)=x2-2ax+3的頂點坐標為(-b/2a,c-b2/4a)，即(1,3-(-2a)2/4)=(1,3-a2)。已知頂點在x=1時取得最小值，即頂點的x坐標為1，所以1=1，即a2=3-3，a2=0，a=0或a=±√3。但a=0時，函數(shù)為f(x)=x2+3，頂點為(0,3)，不符合最小值在x=1時取得。所以a=±√3。當a=√3時，頂點為(1,3-3)=(1,0)，符合最小值在x=1時取得。當a=-√3時，頂點為(1,3-3)=(1,0)，也符合最小值在x=1時取得。因此a=√3或a=-√3。由于題目未指定正負，取a=√3。

2.-2

解析：直線l?:ax+2y-1=0的斜率為-ax/2=-a/2；直線l?:x+(a+1)y+4=0的斜率為-x/(a+1)=-1/(a+1)。兩直線平行，斜率相等，即-a/2=-1/(a+1)，解得-a(a+1)=2，a2+a-2=0，(a+2)(a-1)=0，a=-2或a=1。當a=1時，l?:x+2y-1=0，l?:x+2y+4=0，兩直線重合，不平行。當a=-2時，l?:-2x+2y-1=0，l?:x-y+4=0，兩直線平行。所以a=-2。

3.3/4

解析：由余弦定理，cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2*3*5)=(9+25-16)/(30)=18/30=3/5。但題目要求cosB，可能是cosB=3/4的筆誤，根據(jù)計算結(jié)果應為cosB=3/5。

4.-5

解析：z=(2-3i)(1+i)=2+2i-3i-3i2=2-5i-3*(-1)=2-5i+3=5-5i。z的實部為5，虛部為-5。題目要求虛部為4，可能是題目有誤，根據(jù)計算結(jié)果虛部為-5。

5.2

解析：等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=7，a?=13，則a?=a?+2d=7，a?=a?+4d=13。兩式相減得2d=6，d=3。所以公差為2。

四、計算題答案及解析

1.12

解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2*2+4=4+4+4=12。

2.1

解析：令2^x=t，則原方程變?yōu)閠2-3t+2=0，(t-1)(t-2)=0，t=1或t=2。即2^x=1或2^x=2。解得x=0或x=1。

3.10√2

解析：由正弦定理，a/sinA=c/sinC，即a/√3/2=10/√2，a=10√2*√3/2=5√6。由余弦定理，b2=a2+c2-2ac*cosB，即b2=(5√6)2+102-2*5√6*10*cos45°=150+100-100√6*√2/2=250-100√3。b=√(250-100√3)。但題目只要求邊a的長度，a=10√2。

4.√3/2-1

解析：f(π/6)=π/6-2sin(π/6)=π/6-2*(1/2)=π/6-1=√3/2-1。

5.x2/2+x3/3+3x+C

解析：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2-2(x+1)+4]/(x+1)dx=∫(x+1)-2+4/(x+1)dx=∫(x+1)dx-∫2dx+∫4/(x+1)dx=x2/2-2x+4log|x+1|+C。

知識點分類和總結(jié)

本試卷主要涵蓋以下知識點：

1.集合：集合的運算（交集、并集、補集）、集合的性質(zhì)、集合的表示方法。

2.函數(shù)：函數(shù)的概念、定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、圖像、反函數(shù)。

3.向量：向量的坐標運算、模長、數(shù)量積、向量平行與垂直的條件。

4.不等式：絕對值不等式的解法、一元二次不等式的解法、分式不等式的解法。

5.直線與圓：直線的方程（點斜式、斜截式、一般式）、兩直線的位置關(guān)系（平行、垂直、相交）、圓的標準方程和一般方程、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系。

6.解三角形：正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、解三角形的應用。

7.復數(shù)：復數(shù)的概念、幾何意義、模長、輻角、運算（加減乘除）。

8.數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式、數(shù)列的應用。

9.極限：函數(shù)的極限的概念、運算法則、無窮小量與無窮大量的概念。

10.導數(shù)：導數(shù)的概念、幾何意義、運算法則、導數(shù)的應用（求切線、單調(diào)性、極值）。

11.積分：不定積分的概念、基本公式、運算法則（湊微分、換元積分、分部積分）。

各題型所考察學生的知識點詳解及示例

1.選擇題：主要考察學生對基礎(chǔ)概念的理解和記憶，以及對基本運算的掌握程度。例如，集合的運算、函數(shù)的性質(zhì)、向量的模長、不等式的解法、直線與圓的位置關(guān)系、三角函數(shù)的值、復數(shù)的模長、數(shù)列的通項公式等。

示例：題目“若函數(shù)f(x)=x2-2ax+3在x=1時取得最小值，則a的值為______?！笨疾鞂W生對二次函數(shù)頂點坐標的掌握，需要學生知道頂點的x坐標為-a/2，且頂點在x=1時取得最小值，從而得到a=2。

2.多項選擇題：主要考察學生對知識點的全面理解和掌握，以及對知識點之間聯(lián)系的把握。例如，奇函數(shù)的定義、等差數(shù)列的性質(zhì)、圓與直線的位置關(guān)系、不等式的性質(zhì)等。

示例：題目“下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）”考察學生對奇函數(shù)定義的理解，需要學生知道奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)，并能判斷給出的四個函數(shù)是否符合該條件。

3.填