杭州二中奧賽 數(shù)學(xué)試卷

杭州二中奧賽數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.設(shè)集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},則A∩B等于？

2.函數(shù)f(x)=x^3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上的最大值是？

3.不等式|2x-1|<3的解集為？

4.拋物線y=ax^2+bx+c的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1/4a)，則該拋物線的開(kāi)口方向是？

5.已知向量a=(1,2),b=(3,4)，則向量a+b的模長(zhǎng)為？

6.三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于？

7.柯西不等式在實(shí)數(shù)a,b,c,d>0時(shí)，有(a+b)(c+d)≥？

8.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是？

9.等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，d=2，則a_5的值為？

10.概率論中，事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，若A和B互斥，則P(A∪B)等于？

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有？

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=1/x

D.y=ln(x)

2.在空間幾何中，下列命題正確的有？

A.過(guò)空間中一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面垂直于已知直線

B.兩條平行直線必定在同一平面內(nèi)

C.空間中三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面

D.直線與平面平行的充要條件是直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行

3.下列不等式成立的有？

A.(a+b)/2≥√(ab)(a,b>0)

B.a^2+b^2≥2ab

C.a^3+b^3≥ab(a+b)

D.1/a+1/b≥2(a,b>0)

4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確的有？

A.f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增

B.f(0)=0

C.f(-x)=-f(x)對(duì)所有x∈R成立

D.f(x)在R上存在反函數(shù)

5.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有？

A.2,4,8,16,...

B.1,1,1,1,...

C.3,3,3,3,...

D.a,b,ab,ab^2,...

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，(2,3)，且對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，則a+b+c的值為？

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，公比q=3，則a_4+a_5的值為？

3.設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,5}，集合B={2,4,6}，則(A∪B)補(bǔ)集的元素個(gè)數(shù)為？

4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，則邊b的長(zhǎng)度為？

5.不等式組{x|1<x≤3}∩{x|2<x<4}的解集用集合表示為？

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程組：

{2x+3y=8}

{5x-2y=1}

2.計(jì)算不定積分：∫(x^2+2x+3)dx

3.已知向量a=(2,-1,3)，向量b=(1,2,-1)，求向量a·b及|a+b|的值。

4.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。

5.在直角坐標(biāo)系中，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(3,0)，C(-1,-4)的圓的方程。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.答案：{2,4}

解析：集合A與集合B的交集是兩個(gè)集合共有的元素。

2.答案：7

解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。計(jì)算f(-2)=-1，f(-1)=1，f(1)=-1，f(2)=3，故最大值為3。

3.答案：(-1,2)

解析：由絕對(duì)值不等式性質(zhì)，|2x-1|<3等價(jià)于-3<2x-1<3，解得-1<x<2。

4.答案：向上

解析：拋物線y=ax^2+bx+c的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1/4a)，若1/4a>0，則a>0，拋物線開(kāi)口向上。

5.答案：√13

解析：向量a+b=(1+3,2+4)=(4,6)，其模長(zhǎng)為|a+b|=√(4^2+6^2)=√(16+36)=√52=√(4*13)=2√13。

6.答案：75°

解析：三角形內(nèi)角和為180°，角C=180°-角A-角B=180°-60°-45°=75°。

7.答案：ab+ad

解析：根據(jù)柯西不等式(a+b)(c+d)≥ac+ad+bc+bd，當(dāng)且僅當(dāng)a/d=b/c時(shí)取等號(hào)。

8.答案：(2,-3)

解析：圓方程x^2+y^2-4x+6y-3=0可化為(x-2)^2+(y+3)^2=16，圓心坐標(biāo)為(2,-3)。

9.答案：11

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_n=a_1+(n-1)d，a_5=a_1+4d=1+4*2=9。

10.答案：0.9

解析：事件A和B互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3，但概率最大為1，故此處應(yīng)為0.6+0.7-0.6*0.7=0.9。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.答案：B,D

解析：函數(shù)y=2^x是指數(shù)函數(shù)，單調(diào)遞增；y=ln(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，單調(diào)遞增。

2.答案：A,C

解析：空間中一點(diǎn)可確定無(wú)數(shù)個(gè)平面垂直于已知直線；三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面。

3.答案：A,B,C,D

解析：均為基本不等式及其推廣，均成立。

4.答案：A,B,C

解析：奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(0)=0；f(-x)=-f(x)是奇函數(shù)定義；若f(x)單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，則其反函數(shù)也存在。

5.答案：A,B,C,D

解析：均為等比數(shù)列定義，公比分別為2,1,1,1。

三、填空題答案及解析

1.答案：0

解析：f(1)=0即a+b+c=0；對(duì)稱(chēng)軸x=-1即-1=-b/2a，b=-2a。代入f(2)=3得4a+2b+c=3，聯(lián)立解得a=2，b=-4，c=2，a+b+c=0。

2.答案：54

解析：a_4=2*3^3=54，a_5=2*3^4=162，a_4+a_5=54+162=54（此處答案應(yīng)為216，計(jì)算有誤，修正為216）。

3.答案：3

解析：(A∪B)=U-{A補(bǔ)∩B補(bǔ)}=U-{?∩B補(bǔ)}=U-B補(bǔ)={1,2,3,4,5,6}-{4,6}={1,2,3,5}，元素個(gè)數(shù)為4（此處答案計(jì)算有誤，修正為3）。

4.答案：√2

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，b=√3*sin45°/sin60°=√3*√2/2*2/√3=√2。

5.答案：{x|2<x<3}

解析：交集為兩個(gè)區(qū)間的重疊部分。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：

2x+3y=8①

5x-2y=1②

①*2+②*3得19x=22，x=22/19。

代入①得2*(22/19)+3y=8，3y=8-44/19=120/19，y=40/19。

答案：(22/19,40/19)。

2.解：

∫(x^2+2x+3)dx=∫x^2dx+∫2xdx+∫3dx=x^3/3+x^2+3x+C。

3.解：

a·b=2*1+(-1)*2+3*(-1)=2-2-3=-3。

a+b=(2+1,-1+2,3-1)=(3,1,2)，

|a+b|=√(3^2+1^2+2^2)=√14。

4.解：

f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0,2。

f(0)=2，f(2)=0，f(3)=6。

最大值為6，最小值為0。

5.解：

圓心為△ABC的重心(-1/3,-2/3)，

半徑r=√{[1-(-1/3)]^2+[2-(-2/3)]^2}=√(16/9+16/9)=4/3√2。

方程為(x+1/3)^2+(y+2/3)^2=(4/3√2)^2=16/9。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.集合與函數(shù)：集合運(yùn)算、函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）、基本初等函數(shù)圖像與性質(zhì)

2.代數(shù)運(yùn)算：方程組求解、不等式解法、數(shù)列通項(xiàng)與求和

3.向量與幾何：向量運(yùn)算（加減、數(shù)量積）、空間幾何基本定理

4.微積分初步：導(dǎo)數(shù)求法與最值、不定積分計(jì)算

5.幾何與解析：圓的方程與性質(zhì)、解析幾何基本方法

各題型知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

選擇題：考察基礎(chǔ)概念與運(yùn)算能力，如集合運(yùn)算需掌握∪∩補(bǔ)關(guān)系；函數(shù)性質(zhì)需熟