貴大高等數(shù)學(xué)試卷

貴大高等數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增的是（）。

A.y=-2x+1

B.y=x^2

C.y=e^x

D.y=sinx

2.極限lim(x→0)(sinx/x)的值為（）。

A.0

B.1

C.∞

D.不存在

3.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為（）。

A.-1

B.0

C.1

D.3

4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）。

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(1/n^2)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n

D.∑(n=1to∞)(n/2^n)

5.曲線y=x^2-4x+3的拐點(diǎn)坐標(biāo)為（）。

A.(1,0)

B.(2,-1)

C.(3,0)

D.(4,1)

6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得（）。

A.f(ξ)=0

B.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

C.f(ξ)=∫[a,b]f(x)dx

D.f(ξ)=(f(b)+f(a))/2

7.下列積分中，值為π的是（）。

A.∫[0,1]sinxdx

B.∫[0,1]e^xdx

C.∫[0,π]cosxdx

D.∫[0,1]1/(1+x^2)dx

8.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的轉(zhuǎn)置矩陣A^T為（）。

A.[[1,3],[2,4]]

B.[[2,4],[1,3]]

C.[[1,2],[3,4]]

D.[[4,3],[2,1]]

9.下列向量組中，線性無(wú)關(guān)的是（）。

A.[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9]

B.[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]

C.[1,1,1],[1,2,3],[1,3,5]

D.[1,-1,1],[1,1,-1],[-1,1,1]

10.若A和B是兩個(gè)n階可逆矩陣，則下列運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（）。

A.(AB)^-1=B^-1A^-1

B.(A^T)^-1=(A^-1)^T

C.det(AB)=det(A)det(B)

D.(AB)^T=A^TB^T

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)可導(dǎo)的是（）。

A.y=|x|

B.y=x^3

C.y=e^x

D.y=tanx

E.y=1/x

2.下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的是（）。

A.∑(n=1to∞)(sinn/n^2)

B.∑(n=1to∞)(cosn/n)

C.∑(n=1to∞)(1/n^3)

D.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

E.∑(n=1to∞)(1/√n)

3.下列函數(shù)中，在x=0處取得極值的是（）。

A.y=x^2

B.y=x^3

C.y=x^4

D.y=sinx

E.y=cosx

4.下列積分中，值為0的是（）。

A.∫[0,π]sinxdx

B.∫[0,π]cosxdx

C.∫[0,1]xdx

D.∫[0,1]sinπxdx

E.∫[0,π]sin^2xdx

5.下列矩陣中，可逆的是（）。

A.[[1,2],[3,4]]

B.[[1,0],[0,1]]

C.[[2,4],[1,2]]

D.[[1,2],[2,4]]

E.[[3,1],[1,3]]

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f'(2)的值為______。

2.極限lim(x→∞)(3x^2-2x+1/x^2)的值為______。

3.級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1/(n+1))的斂散性為______。

4.曲線y=x^3-3x^2+2的拐點(diǎn)坐標(biāo)為______。

5.若矩陣A=[[1,2],[3,4]]，則det(A)的值為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并確定其單調(diào)區(qū)間。

3.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+1)/xdx。

4.計(jì)算定積分∫[0,1](x^3-x)dx，并畫出積分區(qū)域的圖形。

5.解線性方程組：

x+2y-z=1

2x-y+2z=2

3x+y-z=0

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

**一、選擇題答案及解析**

1.C(e^x在整個(gè)實(shí)數(shù)域上單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)e^x>0)

2.B(利用極限定義或洛必達(dá)法則，lim(x→0)(sinx/x)=1)

3.C(f'(x)=3x^2-3，f'(1)=3(1)^2-3=0)

4.B(∑(1/n^2)是p-級(jí)數(shù)，p=2>1，收斂；其他發(fā)散或條件收斂)

5.B(y'=2x-4，y''=2，令y''=0得x=2，y(2)=-1，拐點(diǎn)(2,-1))

6.B(根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)使f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a))

7.C(∫[0,π]cosxdx=sinx|[0,π]=sinπ-sin0=0-0=π)

8.A(轉(zhuǎn)置矩陣是將矩陣的行變?yōu)榱校凶優(yōu)樾?，A^T=[[1,3],[2,4]])

9.B(三個(gè)三維向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是行列式不為0，|100;010;001|=1)

10.D((AB)^T=B^TA^T，其他選項(xiàng)均正確，如(AB)^-1=B^-1A^-1)

**二、多項(xiàng)選擇題答案及解析**

1.BC(x^3和e^x處處可導(dǎo)；|x|在x=0不可導(dǎo)；tanx在x=π/2不可導(dǎo))

2.AC(|sinn/n^2|≤1/n^2，絕對(duì)收斂；1/n條件收斂；cosn/n發(fā)散；1/√n發(fā)散)

3.AD(x^2在x=0取得極小值；sinx在x=π/2取得極大值)

4.ABDE(∫[0,π]sinxdx=2；cosx是奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分為0；sin^2x在[0,π]積分為π/2)

5.ABDE(行列式均為10，可逆；[[2,4],[1,2]]行列式為0不可逆)

**三、填空題答案及解析**

1.0(f'(2)=2(2)-4=0)

2.3(lim(x→∞)(3x^2/x^2)=3)

3.發(fā)散(調(diào)和級(jí)數(shù)變形，發(fā)散)

4.(1,0)(y''=6x-6，x=1，y(1)=1-3+2=0)

5.-2(det(A)=1×4-2×3=-2)

**四、計(jì)算題答案及解析**

1.解：原式=lim(x→0)[(e^x-1)/x]·[1/x]=1·1=1

(洛必達(dá)法則：lim(x→0)[e^x-1]/x=lim(x→0)e^x=1)

2.解：f'(x)=3x^2-6x

令f'(x)=0得x=0,x=2

單調(diào)增區(qū)間：(0,2)；單調(diào)減區(qū)間：(-∞,0)∪(2,+∞)

3.解：原式=∫xdx+∫2dx+∫1/xdx=x^2/2+2x+ln|x|+C

4.解：∫[0,1](x^3-x)dx=[x^4/4-x^2/2]|[0,1]=(1/4-1/2)-(0-0)=-1/4

積分區(qū)域?yàn)閤軸上拋物線y=x^3-x與x軸圍成的區(qū)域

5.解：

方程組為：

x+2y-z=1

2x-y+2z=2

3x+y-z=0

化簡(jiǎn)為：

x=1,y=0,z=1

**知識(shí)點(diǎn)分類總結(jié)**

1.**極限與連續(xù)**

-極限計(jì)算方法：洛必達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小、夾逼定理

-函數(shù)連續(xù)性判斷：可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無(wú)窮間斷點(diǎn)

2.**導(dǎo)數(shù)與微分**

-導(dǎo)數(shù)定義：lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)/Δx]

-微分運(yùn)算：鏈?zhǔn)椒▌t、隱函數(shù)求導(dǎo)

-極值與最值：二階導(dǎo)數(shù)判別法

3.**積分學(xué)**

-不定積分計(jì)算：基本公式、換元積分、分部積分

-定積分幾何意義：面積計(jì)算、旋轉(zhuǎn)體體積

-級(jí)數(shù)收斂性：比值判別法、根值判別法

4.**多元函數(shù)微積分**

-偏導(dǎo)數(shù)與全微分

-多元函數(shù)極值

5.**線性代數(shù)**

-矩陣運(yùn)算：轉(zhuǎn)置、逆矩陣

-行列式計(jì)算：按行展開法

-線性方程組解法：高斯消元法

**各題型考察知識(shí)點(diǎn)詳解**

**選擇題**

-考察基礎(chǔ)概念理解（如單調(diào)性、絕對(duì)收斂性）

-考察計(jì)算能力（如導(dǎo)數(shù)、極限、行列式計(jì)算）

-考察定理應(yīng)用（如中值定理）

**多項(xiàng)選擇題**

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