河南成人專升本高數(shù)2的考試真題含答案

河南成人專升本高數(shù)2的考試練習題含答案一、選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x2}}{\ln(x1)}\)的定義域是（）A.\((2,+\infty)\)B.\([2,+\infty)\)C.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)D.\([2,3)\cup(3,+\infty)\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\tan2x\sin2x}{x^3}=\)（）A.1B.2C.4D.83.設(shè)\(y=\ln(\arctan\sqrt{x})\)，則\(y'=\)（）A.\(\frac{1}{\arctan\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\)B.\(\frac{1}{\arctan\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{1+x}\)C.\(\frac{1}{\arctan\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\)D.\(\frac{1}{\arctan\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{1+x^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\)4.曲線\(y=x^33x^2+1\)的拐點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,1)\)C.\((2,3)\)D.\((3,1)\)5.\(\intx\cos2x\,dx=\)（）A.\(\frac{x}{2}\sin2x+\frac{1}{4}\cos2x+C\)B.\(\frac{x}{2}\sin2x\frac{1}{4}\cos2x+C\)C.\(\frac{x}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x+C\)D.\(\frac{x}{2}\sin2x\frac{1}{2}\cos2x+C\)6.設(shè)\(D\)是由\(x=0,y=0,x+y=1\)圍成的區(qū)域，則\(\iint_Dx\,d\sigma=\)（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(1\)7.冪級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x1)^n}{n\cdot2^n}\)的收斂區(qū)間是（）A.\((1,3)\)B.\([1,3)\)C.\((1,3]\)D.\([1,3]\)8.微分方程\(y''3y'+2y=0\)的通解是（）A.\(y=C_1e^x+C_2e^{2x}\)B.\(y=(C_1+C_2x)e^x\)C.\(y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}\)D.\(y=C_1\cosx+C_2\sinx\)二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）9.\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x}=\)________。10.設(shè)\(f(x)=\begin{cases}\frac{\sinax}{x},&x\neq0\\2,&x=0\end{cases}\)在\(x=0\)處連續(xù)，則\(a=\)________。11.曲線\(y=x^32x+1\)在點\((1,0)\)處的切線方程為________。12.\(\int\frac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\)________。13.設(shè)\(z=e^{xy}+x^2y\)，則\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\)________。14.定積分\(\int_{1}^1(x^3\cosx+x^2)\,dx=\)________。15.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的和為________。16.微分方程\(y'+2y=4x\)滿足初始條件\(y(0)=1\)的特解是________。三、計算題（本大題共6小題，每小題8分，共48分）17.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x1x\frac{x^2}{2}}{x^3}\)。18.設(shè)\(y=x^{\sinx}\)（\(x>0\)），求\(y'\)。19.計算定積分\(\int_0^1x\sqrt{1x^2}\,dx\)。20.設(shè)\(z=f(xy,x+y)\)，其中\(zhòng)(f\)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)。21.求冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n\)的和函數(shù)，并指出其收斂域。22.求微分方程\(y''4y'+4y=e^{2x}\)的通解。四、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）23.某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的可變成本為10元，市場需求函數(shù)為\(Q=5002P\)（\(Q\)為需求量，\(P\)為價格）。求利潤最大時的產(chǎn)量和最大利潤。24.求由曲線\(y=x^2\)和\(y=2x\)圍成的平面圖形繞\(x\)軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。五、證明題（本大題10分）25.證明：當\(x>0\)時，\(\ln(1+x)>x\frac{x^2}{2}\)。答案及解析一、選擇題1.【答案】A解析：要使函數(shù)有意義，需滿足\(x2\geq0\)（根號下非負）且\(\ln(x1)\neq0\)（分母不為零），即\(x\geq2\)且\(x1\neq1\)（\(\ln1=0\)），故\(x>2\)，選A。2.【答案】B解析：分子\(\tan2x\sin2x=\sin2x\left(\frac{1}{\cos2x}1\right)=\sin2x\cdot\frac{1\cos2x}{\cos2x}\)，當\(x\to0\)時，\(\sin2x\sim2x\)，\(1\cos2x\sim2x^2\)，故分子\(\sim2x\cdot\frac{2x^2}{1}=4x^3\)，分母\(x^3\)，極限為\(4x^3/x^3=4\)？此處更正：正確展開應(yīng)為\(\tan2x=2x+\frac{(2x)^3}{3}+o(x^3)\)，\(\sin2x=2x\frac{(2x)^3}{6}+o(x^3)\)，相減得\(\frac{8x^3}{3}+\frac{8x^3}{6}=\frac{8x^3}{3}+\frac{4x^3}{3}=4x^3\)，故極限為\(4x^3/x^3=4\)？原解析錯誤，正確計算應(yīng)為：\(\tan2x\sin2x=\sin2x\left(\frac{1}{\cos2x}1\right)=\sin2x\cdot\frac{1\cos2x}{\cos2x}\)，當\(x\to0\)，\(\sin2x\sim2x\)，\(1\cos2x\sim2x^2\)，\(\cos2x\sim1\)，故分子\(\sim2x\cdot2x^2=4x^3\)，分母\(x^3\)，極限為4，選C？原選項中C是4，正確。（注：經(jīng)詳細計算，正確極限為4，故第2題答案應(yīng)為C，原選項設(shè)置可能有誤，此處以正確計算為準）3.【答案】C解析：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，外層\(\lnu\)導(dǎo)數(shù)為\(1/u\)，\(u=\arctanv\)導(dǎo)數(shù)為\(1/(1+v^2)\)，\(v=\sqrt{x}\)導(dǎo)數(shù)為\(1/(2\sqrt{x})\)，故\(y'=\frac{1}{\arctan\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，選C。4.【答案】B解析：二階導(dǎo)數(shù)\(y''=6x6\)，令\(y''=0\)得\(x=1\)，代入原函數(shù)\(y=13+1=1\)，故拐點為\((1,1)\)，選B。5.【答案】A解析：分部積分，設(shè)\(u=x\)，\(dv=\cos2xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=\frac{1}{2}\sin2x\)，故\(\intx\cos2xdx=\frac{x}{2}\sin2x\int\frac{1}{2}\sin2xdx=\frac{x}{2}\sin2x+\frac{1}{4}\cos2x+C\)，選A。6.【答案】A解析：積分區(qū)域\(D\)為\(0\leqx\leq1\)，\(0\leqy\leq1x\)，故\(\iint_Dxd\sigma=\int_0^1x\left(\int_0^{1x}dy\right)dx=\int_0^1x(1x)dx=\int_0^1(xx^2)dx=\left[\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)，選A。7.【答案】B解析：令\(t=x1\)，級數(shù)變?yōu)閈(\sum\frac{t^n}{n\cdot2^n}\)，收斂半徑\(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)\cdot2^n}{n\cdot2^{n+1}}=\frac{1}{2}\times1=2\)？正確計算：收斂半徑\(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\frac{(n+1)\cdot2^{n+1}}{n\cdot2^n}=2\lim\frac{n+1}{n}=2\)，故\(|t|<2\)即\(2<x1<2\)，\(1<x<3\)。端點\(x=1\)時，級數(shù)為\(\sum\frac{(1)^n}{n}\)條件收斂；\(x=3\)時，級數(shù)為\(\sum\frac{1}{n}\)發(fā)散，故收斂區(qū)間為\([1,3)\)，選B。8.【答案】A解析：特征方程\(r^23r+2=0\)，解得\(r=1,2\)，故通解\(y=C_1e^x+C_2e^{2x}\)，選A。二、填空題9.【答案】\(e^6\)解析：\(\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x}=\left[\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{x/3}\right]^6=e^6\)。10.【答案】2解析：連續(xù)則\(\lim_{x\to0}\frac{\sinax}{x}=a=2\)，故\(a=2\)。11.【答案】\(y=x1\)解析：\(y'=3x^22\)，在\(x=1\)處導(dǎo)數(shù)為\(32=1\)，切線方程\(y0=1\cdot(x1)\)，即\(y=x1\)。12.【答案】\(\arctan(x+2)+C\)解析：分母配方\(x^2+4x+5=(x+2)^2+1\)，故\(\int\frac{1}{(x+2)^2+1}dx=\arctan(x+2)+C\)。13.【答案】\(e^{xy}(1+xy)+2x\)解析：\(\frac{\partialz}{\partialx}=ye^{xy}+2xy\)，再對\(y\)求偏導(dǎo)：\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=e^{xy}+xye^{xy}+2x=e^{xy}(1+xy)+2x\)。14.【答案】\(\frac{2}{3}\)解析：奇函數(shù)\(x^3\cosx\)在對稱區(qū)間積分和為0，偶函數(shù)\(x^2\)積分\(2\int_0^1x^2dx=2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)。15.【答案】\(\frac{\pi^2}{6}\)（注：成人考試中可能直接考察已知結(jié)論）16.【答案】\(y=2x1+2e^{2x}\)解析：一階線性方程，通解\(y=e^{\int2dx}\left(\int4xe^{\int2dx}dx+C\right)=e^{2x}\left(\int4xe^{2x}dx+C\right)\)。計算積分\(\int4xe^{2x}dx=2xe^{2x}\int2e^{2x}dx=2xe^{2x}e^{2x}+C\)，故通解\(y=2x1+Ce^{2x}\)。代入\(y(0)=1\)得\(1=1+C\)，\(C=2\)，特解\(y=2x1+2e^{2x}\)。三、計算題17.【解析】使用洛必達法則，三次求導(dǎo)：\(\lim_{x\to0}\frac{e^x1x\frac{x^2}{2}}{x^3}\)（0/0型）=\(\lim_{x\to0}\frac{e^x1x}{3x^2}\)（0/0型）=\(\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{6x}\)（0/0型）=\(\lim_{x\to0}\frac{e^x}{6}=\frac{1}{6}\)。18.【解析】取對數(shù)\(\lny=\sinx\lnx\)，兩邊求導(dǎo)：\(\frac{1}{y}y'=\cosx\lnx+\sinx\cdot\frac{1}{x}\)，故\(y'=x^{\sinx}\left(\cosx\lnx+\frac{\sinx}{x}\right)\)。19.【解析】令\(t=1x^2\)，則\(dt=2xdx\)，當\(x=0\)時\(t=1\)，\(x=1\)時\(t=0\)，\(\int_0^1x\sqrt{1x^2}dx=\frac{1}{2}\int_1^0\sqrt{t}dt=\frac{1}{2}\int_0^1t^{1/2}dt=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}t^{3/2}\bigg|_0^1=\frac{1}{3}\)。20.【解析】設(shè)\(u=xy\)，\(v=x+y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}=f_u'\cdoty+f_v'\cdot1\)，再對\(y\)求偏導(dǎo)：\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=f_u'+y\cdot(f_{uu}''\cdotx+f_{uv}''\cdot1)+f_{vu}''\cdotx+f_{vv}''\cdot1\)，由于\(f\)二階連續(xù)偏導(dǎo)，\(f_{uv}''=f_{vu}''\)，故=\(f_u'+xyf_{uu}''+(x+y)f_{uv}''+f_{vv}''\)。21.【解析】設(shè)和函數(shù)\(S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n\)，收斂半徑\(R=1\)，收斂域\((1,1)\)。注意到\(S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=\frac9w1tcia{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}=\fracuv329us{dx}\left(\frac{x}{1x}\right)=\frac{1}{(1x)^2}\)（\(|x|<1\)）。22.【解析】對應(yīng)齊次方程\(y''4y'+4y=0\)，特征方程\(r^24r+4=0\)，根\(r=2\)（二重根），齊次通解\(Y=(C_1+C_2x)e^{2x}\)。設(shè)特解\(y^=Ax^2e^{2x}\)（因\(\lambda=2\)是二重根），代入原方程求得\(A=\frac{1}{2}\)，故通解\(y=(C_1+C_2x)e^{2x}+\frac{1}{2}x^2e^{2x}\)。四、應(yīng)用題23.【解析】成本函數(shù)\(C(Q)=200