小升初六年級奧數(shù)題及答案

小升初六年級奧數(shù)題及答案

【題-001】抽屜原理

有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你

證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

【題-002】牛吃草：（中等難度）一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，水

勻速進入船內.如果1（）人淘水，3小時淘完；如5人淘水8小時淘完.如果要求2

小時淘完，要安排多少人淘水？

【題-003】奇偶性應用：（中等難度）桌上有9只杯子，全部口朝上，每次

將其中6只同時“翻轉”.請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉”，都不能使9只杯

子全部口朝下。

【題-004】整除問題：（中等難度）

用一個自然數(shù)去除另一個整數(shù)，商40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與余數(shù)的

和是933,求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？

【題-005】填數(shù)字：（中等難度）

請在下圖的每個空格內填入1至8中的一個數(shù)字，使每行、每列、每條對角線上

8個數(shù)字都互不相同.

【題-006】灌水問題：（中等難度）

公園水池每周需換一次水.水池有甲、乙、丙三根進水管.第一周小李按甲、乙、

丙、甲、乙、丙……的順序輪流打開小1時，恰好在打開某根進水管1小時后灌

滿空水池.第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開1小時，灌

滿一池水比第一周少用了15分鐘；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的

順序輪流打開1小時，比第一周多用了15分鐘.第四周他三個管同時打開，灌

滿一池水用了2小時20分，第五周他只打開甲管，那么灌滿一池水需用

小時.

【題-007】濃度問題：（中等難度）瓶中裝有濃度為15%的酒精溶液1000

克，現(xiàn)在又分別倒入100克和400克的A、B兩種酒精溶液，瓶中的濃度變成了

14%.已知A種酒精溶液濃度是B種酒精溶液濃度的2倍，那么A種酒精溶液

的濃度是百分之幾？

【題-008】水和牛奶：（中等難度）一個賣牛奶的人告訴兩個小學生：這兒

的一個鋼桶里盛著水，另一個鋼桶里盛著牛奶，由于牛奶乳脂含量過高，必須用

水柿釋才能飲用.現(xiàn)在我把A桶里的液體倒入B楠，使其中液體的體枳翻了一

番，然后我又把B桶里的液體倒進A桶，使A桶內的液體體積翻番.最后，我

又將A桶中的液體倒進B桶中，使B桶中液體的體積翻番.此時我發(fā)現(xiàn)兩個桶

里盛有同量的液體，而在B桶中，水比牛奶多出1升.現(xiàn)在要問你們，開始時

有多少水和牛奶，而在結束時，每個桶里又有多少水和牛奶？

【題-009】巧算：（中等難度）

…-,571719、

1153x（---------------------+LT+-----------+------------）=_______

計算.2x3x43x4x58x9x109x10x11

【題-010】隊形：（中等難度）做少年廣播體操時，某年級的學生站成一個實

心方陣時（正方形隊列）時，還多10人，如果站成一個每邊多1人的實心方陣，

則還缺少15人.問：原有多少人？

【題-011】計算：（中等難度）一個自然數(shù)，如果它的奇數(shù)位上各數(shù)字之和與

偶數(shù)位上各數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)，那么這個自然數(shù)是11的倍數(shù)，例如1001,

因為1+0=0+1,所以它是11的倍數(shù)；又如1234,因為4+2?（3+1）=2不是11

的倍數(shù)，所以1234不是11的倍數(shù).問：用0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字排成不

含重復數(shù)字的六位數(shù)，其中有幾個是11的倍數(shù)？

【題-012】分數(shù)：：中等難度）某學校的若干學生在一次數(shù)學考試中所得分數(shù)

之和是8250分.第一、二、三名的成績是88、85、80分，得分最低的是30分，

得同樣分的學生不超過3人，每個學生的分數(shù)都是自然數(shù).問：至少有幾個學生

的得分不低于60分？

【題-013】四位數(shù)：（中等難度）某個四位數(shù)有如下特點：①這個數(shù)加1之

后是15的倍數(shù)；②這個數(shù)減去3是38的倍數(shù)；③把這個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)左右倒

過來所得的數(shù)與原數(shù)之和能被10整除，求這個四位數(shù).

【題-014】行程：（中等難度）王強騎自行車上班，以均勻速度行駛.他觀察

來往的公共汽車，發(fā)現(xiàn)每隔12分鐘有一輛汽車從后面超過他，每隔4分鐘迎面

開來?輛，如果所有汽車都以相同的勻速行駛，發(fā)車間隔時間也相同，那么調度

員每隔幾分鐘發(fā)一輛車？

【題-015】跑步：（中等難度）狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離

狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開始追它。問：狗再跑多遠，馬可以追上它？

【題-016】排隊：（中等難度）有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二

人動相鄰的排法有（）

【題-017】分數(shù)方程：（中等難度）

若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個同樣的小球放在這些盒子里然后外;H,

小明從每支盒子里取出一個小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里

去。再把盒子重排了一下.小聰回來，仔細查看，沒有發(fā)現(xiàn)有人動過小球和盒

子.問：一共有多少只盒子？

【題-018】自然數(shù)和：（中等難度）在整數(shù)中，有用2個以上的連續(xù)自然數(shù)

的和來表達一個整數(shù)的方法.例如9：9=4+5,9=2+3+4,9有兩個用2個以上連

續(xù)自然數(shù)的和來表達它的方法.

【題-019】準確值：（中等難度）

ABC

—+—+--

已知A.B.C都是非0自然數(shù)，2416的近似值市6.4,那么它的準確值是多少?

【題-020】巧求整數(shù)部分題目：（中等難度）

（笫六屆小數(shù)報決賽）A8.88.988.9988.9998&99998,A的整數(shù)部分是

【題目答案】

【題-001解答】抽屜原理

首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，

1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.把每人的3枚棋作為一組當作一

個蘋果，因此共有5個蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應的

抽屜.由于有5個蘋果，比抽屜個數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個蘋果在

同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的

【題-002解答】牛吃草

這類問題，都有它共同的特點，即總水量隨漏水的延長而增加.所以總水量是個

變量.而單位時間內漏進船的水的增長量是不變的.船內原有的水量（即發(fā)現(xiàn)船漏

水時船內已有的水量）也是不變的量.對于這個問題我們換一個角度進行分

析。如果設每個人每小時的淘水量為“1個單位”.則船內原有水量與3小時內

漏水總量之和等于每人每小時淘水量x時間x人數(shù)，即1x3x10=30.船內原有水

量與8小時漏水量之和為1x5x8=40。每小時的漏水量等于8小時與3小時總

水量之差;時間差，即（40-30）-（8-3）=2（即每小時漏進水量為2個單位，相

當于每小時2人的淘水量）。船內原有的水量等于10人3小時淘出的總水量

-3小時漏進水量.3小時漏進水量相當于3x2=6人1小時淘水量.所以船內原有水

量為30-（2x3）=24o如果這些水（24個單位）要2小時淘完，則需24?2=

12（人），但與此同時，每小時的漏進水量乂要安排2人淘出，因此共需12+2

=14（人）。從以上這兩個例題看出，不管從哪一個角度來分析問題，都必

須求出原有的量及單，‘立時間內增加的量，這兩個量是不變的量.有了這兩個量，

問題就容易解決了。

【題-003解答】奇偶性應用

要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次"翻轉”.要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)

過9個奇數(shù)之和次"翻轉”.即“翻轉”的總次數(shù)為奇數(shù).但是，按規(guī)定每次翻轉6只

杯子，無論經(jīng)過多少次“翻轉”，翻轉的總次數(shù)只能是偶數(shù)次.因此無論經(jīng)過多少次

“翻轉”，都不能使9只杯子全部口朝下一??被除數(shù)=21x40+16=856。答：被除

數(shù)是856,除數(shù)是21。

【題-004解答】整除問題

???被除數(shù)=除數(shù)X商+余數(shù)，即被除數(shù)=除數(shù)X40+16。由題意可知：被除數(shù)十除數(shù)

=933-40-16=877,:.（除數(shù)x40+16）+除數(shù)=877,二除數(shù)x41=877-16,除數(shù)

=861?41,除數(shù)=21,???被除數(shù)=21x40+16=856.答：被除數(shù)是856,除數(shù)

是2I

【題-005解答】填數(shù)字：

解此類數(shù)獨題的關鍵在于觀察那些位置較特殊的方格（對角線上的或者所在

行、列空格比較少的），選作突破口.本題可以選擇兩條對角線上的方格為突破

口，因為它們同時涉及三條線，所受的限制最嚴，所能填的數(shù)的空間也就最

小.副對角線上面已經(jīng)填了2,3,8,6四個數(shù)，剩下1,4,5和7,這是

突破口.觀察這四個格，發(fā)現(xiàn)左下角的格所在的行已經(jīng)有5,所在的列已經(jīng)有1

和4,所以只能填7.然后，第六行第三列的格所在的行已經(jīng)有5,所在的列已

經(jīng)有4,所以只能填1.第四行第五列的格所在的行和列都已經(jīng)有5,所以只能

填4,剩下右上角填5.再看主對角線，已經(jīng)填了1和2,依次觀察剩余的6

個方格，發(fā)現(xiàn)第四行第四列的方格只能填7,因為第四行和第四列已經(jīng)有了5,1,

6,8,3.再看第五行第五列，已經(jīng)有了4,8,3,5,所以只能填6.此時似

乎無法繼續(xù)填主對角線的格子，但是，可觀察空格較少的行列，例如第四列已經(jīng)

填了5個數(shù)，只剩下1,2,5,則很明顯第六格填2,第八格填1,第三格填5.此

時可以填主對角線的格子了，第三行第三列填8,第二行第二列填3,第六行第

六列填4,第七行第七列填5.繼續(xù)依次分析空格較少的行和列（例如依次第五

列、第三行、第八行、第二列……），可得出結果如下圖.

12763845

6354712S

47852316

25374681

一

1486273

38125467

86231754

74618532

【題-006解答】灌水問題:

如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的順序輪流打開1小時，恰好在打

開丙管1小時后灌滿空水池，則第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序

輪流打開I小時，應在打開甲管I小時后灌滿一池水.不合題意.如第一周

小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的順序輪流打開1小時，恰好在打開乙管1

小時后灌滿空水池，則第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開

1小時，應在打開丙管45分鐘后灌滿一池水：第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、

甲……的順序輪流打開1小時，應在打開甲管后15分鐘灌滿一池水.比較第二

周和第三周，發(fā)現(xiàn)開乙管1小時和丙管45分鐘的進水量與開丙管、乙管各1小

時加開甲管15分鐘的進水量相同，矛盾.所以第一周是在開甲管1小時后

灌滿水池的.比較三周發(fā)現(xiàn)，甲管I小時的進水量與乙管45分鐘的進水量相同，

乙管30分鐘的進水量與丙管1小時的進水量相同.三管單位時間內的進水量之

比為3:4:2.

【題-007解答】濃度問題

(法1)方程法.新倒入純酒精：(1000-100-400)xl4%-1000xl5%=60(克).

設，種酒精溶液的濃度為X,則5種為g.根憲新倒入的純酒精量，可列方程:

100x-400x|=60,解得x=20%,即以種酒精溶液的濃度是20%.

(法2)濃度三角法.設N種酒精溶滿的濃度為X,則B種為

根據(jù)題意，假設先把100克月種酒精和400克3種酒精混合，得到500克的酒精溶液，再

與1000克15%的酒精溶液混合，所以以、B兩種酒精混合得到的酒精溶浴的濃度為

14%-(15%-14%)x喘=12%.

根據(jù)濃度三角，有

(x-12%):；12%-^>400:100,解得x=20%.

故月種酒精溶液的濃度是20%.

【題-008解答】水和牛奶

假設一開始幺桶中有港體X升，8桶中有j升.第一次將幺桶的液體倒入B桶后，3桶有液

體2）升，4桶剩（x-y）升：第二次將3桶的液體倒入N桶后，月桶有港體2。-?。┥?桶

剩（3j，-x）升；第三次將“桶的液體倒入8桶后，3桶有液體（6j-2x）升，4桶乘”（3x-?，）

升.由此時兩桶的液體體積相等，得3x-5y=6j-2x,5x=11v,x:j=ll:5.

現(xiàn)在還不知道A桶中裝的是牛奶還是水，可以將稀釋牛奶的過程列成下表：

/桶8桶

原/桶'液體：原月桶液體：

原B桶液體原B桶液體

初始狀態(tài)11:00:5

第一次幺桶6:05:5

倒入B桶

第二次3桶9:32:2

倒入月桶

第三次/桶6:25:3

倒入5桶

由上表看出，最后B桶中的液體，原金桶液體與原8桶滿體的比是5:3,而題目中說“水比

牛奶多1升”，所以原月桶中是水，原8桶中是牛奶.

因為在5:3中，“5-3”相當于1升,所以2個單位相當于1升.由此得到，開始時，/桶

中有?升水，5桶中有：升牛奶；結束時，月桶中有3升水和1升牛奶，5桶中有3升

水和:開牛奶.

【題-009解答】巧算:

本題的重點在于計算括號內的算式：2x3x「3x4x5-^8x9x10*9x10x11.這個算

式不同于我們常見的分投裂項的地方在于每一項的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相

同、或分子是分母的差麗口的情況.所以應當對分子進行適當?shù)淖冃危怪D化成我們熟悉

的形式.

法一：

觀察可知5=2+3,7=3+4,……即每一項的分子都等于分母中前兩個乘數(shù)的和，所以

571719

2x3x4?3x4x5??8x9x10*9x10x1!

2+33+49+10

-2x3x4*3x4x5**9x10x11

till11

?1?III?I.I????I?一?..??I■■—?lll????....................

3x42x44x53x510x119x11

13IlJ2U103\\)

8I(28、3!

-55*2xl5455j-?

所以原式＞1155x爐651.

【題-010解答】隊形

當擴大方陣時，需補充10+15人，這25人應站在擴充的方陣的兩條鄰邊處，形

成一層人構成的直角拐角.補充人后，擴大的方陣每邊上有（10+15+1）-2=13人.

因此擴大方陣共有13x13=169人，去掉15人，就是原來的人數(shù)169-15=154人

【題-011解答】計算答案

用1.2.3.4.5組成不合重復數(shù)字的六位數(shù)，a】a2a3如asa6,它能被整除，并

設al-a3-a5Za2-a4-a6,則對某一整數(shù)虻0,有:

al*a3+a5-a2-a4-a6=l1k(*)

也就是：

al-a2-a3-a4-a5-a6=llk-2(a2-a4-a6)

15Wl+2+3+4+5=Uk+2（a2-a4-a6）（**）

由此看出k只能是奇數(shù)

由（*〉式看出，0*2,又因為k為奇數(shù)，所以只可能k-1,但是當k-1口寸，由（**）式

看出a2-a4-a6=2.

但是在0、1、2、3、4、5中任何三個數(shù)之和也不等于2,可見群。因此（*）不成在

對于a2+aJ+a6>al+a3+a5的情形，也可類似地證明（a2+a4+a6）-（al+a3+a5）不

是11的倍數(shù).

根據(jù)上述分析知：用0、1、2、3、4、5不能組成不包含重復數(shù)字的能被11整除的六位數(shù).

【題-012解答】分數(shù)：（中等難度）

除得分88、85、80的人之外，其他人的得分都在30至79分之間，其他人

共得分：8250-（88+85+80）=7997（分）.為使不低于60分的人數(shù)盡

量少，就要使低于60分的人數(shù)盡量多，即得分在30?59分中的人數(shù)盡量多，在

這些分數(shù)上最多有3x（30+31+...+59）=4005分（總分），因此，得60?79

分的人至多總共得7997-4005=3992分.如果得60分至79分的有60人，共占

分數(shù)3x（60+61+…+79）=4170,比這些人至多得分7997-4005=3992分還多

178分，所以要從不低于60分的人中去掉盡量多為人.但顯然最多只能去掉兩個

不低于60分的（另加一個低于60分的，例如，178=60+60+58）.因此，加上

前三名，不低于60分的人數(shù)至少為61人.

【題-013解答】四位數(shù)：（中等難度）

設所求的四瞞為abed.因為該數(shù)加1之后是15的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，所以d=

4或d=9.

因為該數(shù)瀛去3是38的倍數(shù)，可見原數(shù)是奇數(shù)，因此d盧4,只能是d=9.

因為abed+deba是10的倍數(shù)，所以a+d

=10,進而知a=l,這時所求的

四位數(shù)是由.

這表明m=27、37、47；32、42、52.（因為38m的尾數(shù)為6）又因為38m+3=15k-l

（m、k是正整數(shù)）所以38m+4=15k.由于38m的個位數(shù)是6,所以5|（38m+4）,

因此38m+4=15k等價于3|（38m+4）,即3除m余1,因此可知m=37,m=52.所

求的四位數(shù)是1409,1979.

【題-014解答】行程答案：

汽車間隔距離是相等的，列出等式為：（汽車速度■自行車速度）xl2=（汽車速

度+自行車速度）x4得出：汽車速度;自行車速度的2倍.汽車間隔發(fā)車的時間

=汽車間隔距離+汽車速度=（2倍自行車速度-自行車速度）X12?2倍自行車速度

=6（分鐘）.

【題-015解答】跑步：（中等難度）

根據(jù)■馬跑4步的距離狗跑7步”，可以設馬每步長為7x米，則狗每步長為4x米。

根據(jù)■狗跑5步的時間馬跑3步”，可知同一時間馬跑3*7x米=21x米，則狗跑

5*4x=20x米?？梢缘贸鲴R與狗的速度比是21x：20x=21：20根據(jù)"現(xiàn)在狗已跑

出30米”，可以知道狗與馬相差的路程是30米，他們相差的份數(shù)是21-20=1,

現(xiàn)在求馬的21份是多少路程，就是30:（21-20）X2I=630米

【題-016解答】排隊：（中等難度）

根據(jù)乘法原理，分兩步：第一步是把5對夫妻看作5個整體，進行排列有

5x4x3x2x1=120種不同的排法，但是因為是圍成一個首尾相接的圈，就會產(chǎn)生

5個5個重復，因此實際排法只有120+5=24種。第二步每一對夫妻之間乂可以

相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又2x2x2x2x2=32種綜

合兩步，就有24x32=768種

【題-017解答】分數(shù)方程：(中等難度)

設原來小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加了b只，由于小聰沒有發(fā)現(xiàn)

有人動過小球和盒子，這說明現(xiàn)在又有了一只裝有a個小球的盒子，而這只盒子

里原來裝有(a+1)個小球.同樣，現(xiàn)在另有一個盒子裝有(a+1)個小球，這只盒子

里原來裝有(a+2)個小球.類推，原來還有一只盒子裝有(a+3)個小球，(a+4)個小

球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù).現(xiàn)在變成：將42分

拆成若干個連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個加數(shù)？因為

42=6x7,故可以看成7個6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個6,從而

42=3+4+5+6+7+8+9,一共有7個加數(shù)；又因為42=14x3,故可將42：13+14+15,

一共有3個加數(shù)；又因為42=21x2,故可將42=9+10+11+12,一共有4個加數(shù).所

以原問題有三個解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子.

【題-018解答】自然數(shù)和：(中等難度)

(1)請寫出只有3種這樣的表示方法的最小自然數(shù).(2)請寫出只有6種這樣的表

示方法的最小自然數(shù).關于某整數(shù)，它的.奇