尊重學生提問遇見“美麗風景”

1尊重學生提問，遇見“美麗風景”摘要：核心素養(yǎng)是當前新課程中非常重要的能力要求，如何提升學生的數學核心素養(yǎng)是每一位數學教師都要研究的課題。下面筆者來分享正、余弦定理教學時如何抓住學生的“意外”提問來培養(yǎng)學生數學思維、提升數學核心素的案列。關鍵詞：核心素養(yǎng)，學生提問，課堂思考，三角形，總結反思引言：日常的教學過程中，有時學生會提出一些與當堂內容無關的“意外”問題，多數情況下為了在有限的時間內完成既定的教學任務，我們會輕描淡寫地回答，或者課下給予回答。筆者認為，我們應該分情況處理這類問題。有些問題確實意義不大，可以采用課上做個簡單回應，課后和學生單獨交流的方式：有些問題則恰恰相反，貌似無關，實則不然，有時甚至需要我們放下所謂的教學進度和原本的計劃安排，重調教學內容，重設教學方向。若我們處理得當，會有意外的驚喜收獲。課堂開始一段時間后，老師給出以下問題。教師：在DABC中，C為鈍角，若a=2,b=3,則c邊的取值范圍是o學生1:因為C為鈍角，由余弦定理可知。即a2+b2-c2<0,教師：這個答案正確嗎?有沒有同學要補充?學生2:我覺得不完整，用余弦定理研究邊長問題，首先應保證該三角形是存在的，即保證該任意兩邊之和大于第三邊，故還應限制2+3>c,2+c>3,解得1<c<5所以c的學生都覺得很有道理。于是，筆者順水推舟地對此做了強調。正當筆者想進入下一道題目時，一名學生站了起來，說出他的疑惑。學生3:老師，之前用余弦定理求邊長，從來沒有進行三角形是否存在的檢驗。如有這樣的一道題目“在DABC中，已知a=2√3,b=6,A=30°,求c的值”,根據,解得c=2√3或4√3,就沒有對c的這兩個值2進行檢驗。而為什么剛才問題中根據余弦定理求得c的范圍后，還要保證這樣的c能使得三角形的任意兩邊之和大于第三邊呢?這個問題也引起了其他同學的共鳴，大家也都疑惑不解，議論隨之展開，還有些學生陷入沉思和迷茫之中。這個問題完全在筆者的意料之外，可以說是課堂的“突發(fā)”事件，坦率地講這是一個很好的問題，即用余弦定理求得三角形的邊長后，要不要檢驗所求的邊長，以保證三角形的任意兩邊之和大于第三邊呢?當時筆者陷入了糾結之中，若搪塞過去，則可以按照原定的計劃進行教學，但對不起學生既充滿疑惑又飽含渴望的眼神；若停下來處理該問題，則不僅這節(jié)課原本的計劃和節(jié)奏會被這個與本節(jié)課主旨無關的問題打亂，而且對于這個問題將會處理得如何也不得而知，但是，可以肯定一點，對這個問題的研究可以提高學生的邏輯思維能力和探究能力。于是，筆者決定放棄原有的教學計劃，引導學生探究這一課堂生成的“好問題”。教師：現在我們一起來研究這個問題，即用余弦定理求得的三角形的邊長后，要不要再保證三角形的任意兩邊之和大于第三邊?學生4:需要檢驗，因為余弦定理成立的前提是該三角形要存在，而求出的邊的值不一定滿足前提，所以需要檢驗。在學生3提的這個具體問題中，c的兩個值恰好是滿足題意的，這里有偶然的因素，不是必然的結果，所以我覺得一定要檢驗。學生5:無須檢驗，由經驗得，利用余弦定理求得邊的值都滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊。其他同學基本持以上兩種觀點。教師：以上兩種觀點貌似都有一定的道理，還要做進一步的分析。學生6:我覺得利用余弦定理求三角形的邊長有這樣兩種情形：情形一是已知兩邊及它們的夾角，求第三邊；情形二是已知兩邊及其中一邊的對角，求第三邊。對于情形一，由計算和圖形都易知此時第三邊只有一解，無須檢驗，所以我們只需要研究第二種情形即可。教師：好的，對于情形二，我們可以先研究特殊的情形，再研究一般的情形，這也是我們研究問題的一般策略，即從特殊到一般(歸納推理)。我們不妨考慮下面這種特殊的情形：在DABC中，已知邊a,b邊的長和A=30°,求c邊的長，然后考察求得的邊c是否滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊。還可以將A角設定為45°○或者60°來研究3學生7:我選擇特殊角A=30°的情形。由余弦定理即c2√3bcb2a20,若該方程有正實數根，設為(一根或兩根),下面研究教師：學生7提出的問題想必也是我們其他同學的疑問，大家認真想一想如何驗證這三個不等式是否成立?在巡視過程中發(fā)現很多同學按照下面的兩種思路來嘗試驗證。思路1:將c2√3bcb2a20看作關于c的二次方程，利用求根公式將正實數根co表示出來，帶入三個不等式然后研究能否用成立。思路2:將c代入方程得等式c。2√3bgb2a20,在這樣的關系式下研究三個不等式能否成立。但是這兩個思路都很難繼續(xù)下去。此時教師要進行適時的點撥：思路1是減少變元，c。2√3b?b2a20看作一個等式，但是沒有關注到該等式和要證的不等式之間的聯(lián)系。要適當對欲證的三個不等式做變形處理，請學生繼續(xù)思考。一些學生在結合分析法研究后獲得如下思路：要證b+c。>a,只需證明(b+c)2-a2=3+2)bc>0,即(b+c)2>a2成立，故b+c>a得證；要證明acbb將以上思路板書后，學生的疑慮已解決了大半。但還沒完全解決，有學生繼續(xù)提問。學生8:那當A角為一般情形時邊c是否也滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊呢?(學生再次自主研究與合作探究，教師巡查指導)有了剛才的經驗，學生得到了如下的處理策略。4學生9:設關于c的方程A有正實數根co(一根或兩根),下面研究,a,aCb,a(b+c)2>a2成立，故b+c>a時正實數根co也能滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊，所以，更一般的情形下，對求得的正實數根co也無須檢驗。教師：以上，我們先對特殊情形進行研究，得到了解決這個問題的策略，然后再對A(0<A<p)的一般情形利用同樣的策略研究得到相同的結果，這一研究過程體現了特殊到一般的數學思想(歸納推理)。學生10:我們剛才的研究分兩種情形，情形1是已知兩邊及它們的夾角，關注求得的第三邊是否需要檢驗；情形2是已知兩邊及一邊的對角，關注求得的第三邊是否需要檢驗，其實我覺得可以將這兩種情形統(tǒng)一起來處理，方法如下：(b+c)2>a2,即b+c>a;由不等式的右邊得(b-c)2<a2,這樣，利用余弦定理求得的三角形的邊長一定能滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊，所以利用余弦定理求得的邊長無須檢驗。學生10很好地解決了開始提出的疑問，臺下給以了熱烈的掌聲。教師：學生10的方法非常好，簡潔明了。通過共同的研究，我們明確了一個結論：利用余弦定理求得的三角形的邊長無須檢驗。這樣，我們明確了學生3提出的問題中c的兩個值無須檢驗。那么,開始的問題中又為什么要對邊c檢驗呢?(學生又一次回到研究之中)學生11:原解法中，只限制了這樣解出c√5的范圍是不1完整的，應限制1樣用余弦定理處理就無須檢驗邊c了。 ■5學生紛紛表示贊同，至此，學生所有的疑惑和迷茫都煙消云散了，臉上洋溢著滿足的笑容。課堂教學固然需要不折不扣地完成既定的教學內容，但適當地以教學內容為載體動態(tài)地調控課堂的走向往往可以取得更好的效果。另外，課堂教學價值取向的最重要一點就是是否提高了學生的數學思維能力。本節(jié)課的教學任務雖然被“突發(fā)”問題耽擱，取而代之的是學生通過自我研究和相互討論弄清了利用余弦定理求得邊長無須對其檢驗的原因。客觀上，這一問題的探究超出了教學要求，但從另一個側面來看，本節(jié)課中，學生經過質疑、思考、合作、探究最終解決疑問，這樣的認知過程，從知識本身層面而言，它是對余弦定理認識的進一步加深；從知識應用層面而言，它是不等式知識的綜合運用；從數學能力層面而言，它不僅提升了運算求解、演繹證明的思維能力，也提高了學生自我提出問題、分析問題、解決問題的能力。課堂中如何開展數學探究活動?數學探究活動的根本目的是促進學生學習方式的變革，實現學生對知識的自主建構。開展數學探究活動，首先要關注學生已有的知識基礎和已具備的能力，應將學生的探究活動置于學生的“最近發(fā)展區(qū)”。本節(jié)課，學生已經具備了余弦定理和不等式的相關知識，對特殊到一般以一個協(xié)作者、促進者和指導者的角色參與其中，讓學生說思路、講道理，注重學生對研究過程的經歷。在研究A=30°的特殊情形中，學生更多的是對三個不等式做變形處理遇到了障礙，此時教師應給予必要的啟發(fā)和點撥，如給出“關注條件和悅目。教師作為課堂教學的組織者，應該努力為學生創(chuàng)設一個互助型、支持性的研究氛圍，并以恰當的形式給予學生心理上的安全感，讓學生想說、敢說、能說。另外，教師還應善于觀察學生，學會傾聽，給學生留足表達的空間，在學生遇到困難時給予一定的發(fā)表意見，包括朦朧的想法、遇到的困難、錯誤的思路，等等，學生各抒己見，毫不怯場，在思路的碰撞中成功地完成了這一環(huán)節(jié)，也在無形中提升了學生的數學核心素養(yǎng)。學生課堂中提出的問題是可貴的教學資源，從某種意義上來說是教學中要解決的真6正的問題。所以我們要尊重