第13講重難點專題拓展二次函數(shù)綜合之四種角度問題（3知識點4大核心考點過關(guān)測）

第13講重難點專題拓展：二次函數(shù)綜合之四種角度問題（3知識點+4大核心考點+過關(guān)測）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：4大核心考點精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點01：角相等問題對于二次函數(shù)中的角相等問題，首選方法是利用等角的三角比解決問題（利用一線三等角模型或者拆分特殊角來發(fā)現(xiàn)等角），其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問題。二次函數(shù)中的角相等問題比較靈活，在遇到具體問題時具體分析，合理構(gòu)造等角，解決問題。利用三角函數(shù)值：根據(jù)等角的三角函數(shù)值相等，通過計算角的正弦、余弦或正切值來證明角相等?？衫靡痪€三等角模型或者拆分特殊角來發(fā)現(xiàn)等角，進(jìn)而利用等角的三角比解決問題。借助相似三角形：證明包含這些角的三角形相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等得出結(jié)論。也可利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理，通過角平分線得到等角。依據(jù)幾何性質(zhì)：運用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等的性質(zhì)來證明角相等。還可將等角轉(zhuǎn)化在一個三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決。知識點02：二倍角問題倍角減半法：將二倍角轉(zhuǎn)化為等角，如作一個角等于二倍角的一半，利用三角函數(shù)求解。加倍法構(gòu)造等腰三角形：構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)或相似三角形來求解。二倍角的構(gòu)造方法這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)（一般用正切）計算就可以了知識點03：特殊角問題運用三角函數(shù)值：已知特殊角（如30°、45°、60°、90°等），可直接利用其三角函數(shù)值來建立邊與邊之間的關(guān)系，進(jìn)而解決問題。構(gòu)造特殊三角形：遇45°構(gòu)造等腰直角三角形，遇30°、60°構(gòu)造等邊三角形，遇90°構(gòu)造直角三角形，利用特殊三角形的性質(zhì)來求解。【題型1角相等問題】(1)求b的值；(2)點M的橫坐標(biāo)為．【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、角度問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是、二次函數(shù)綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；點M的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；【知識點】角度問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合（2）如圖1所示：連接．（3）①如圖2所示：如圖3所示：【點睛】此題考查了勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合題中的角度問題等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，通過分析題目中角度之間的關(guān)系得到線段之間的關(guān)系．(1)求拋物線解析式及對稱軸；【知識點】y=ax2+bx+c的最值、角度問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出解析式即可得到答案；【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解直角三角形，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，圖像與坐標(biāo)軸的交點，平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．(1)求該拋物線的表達(dá)式及點D的坐標(biāo)；(2)存在，點的橫坐標(biāo)或【知識點】角度問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離，解直角三角形；（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；連接交于點，點的橫坐標(biāo)為或；、關(guān)于對稱軸對稱，【題型2二倍角問題】(1)求點A，B，C的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．【知識點】角度問題(二次函數(shù)綜合)、一次函數(shù)與幾何綜合、求拋物線與y軸的交點坐標(biāo)、三線合一【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰三角形的三線合一等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求解即可得；【知識點】角度問題(二次函數(shù)綜合)【知識點】角度問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，角度問題是解題的關(guān)鍵．(1)求二次函數(shù)的解析式；【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、角度問題(二次函數(shù)綜合)、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型3特殊角問題】【例3】綜合與探究(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、角度問題(二次函數(shù)綜合)【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分兩種情況畫出圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可得到答案．

(1)求拋物線的解析式；【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、角度問題(二次函數(shù)綜合)【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到解直角三角形、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，用解直角三角形的方法求出點H的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．（1）由待定系數(shù)法即可求解；

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、角度問題(二次函數(shù)綜合)拋物線與軸的交點為、，(1)求拋物線的解析式；【知識點】角度問題(二次函數(shù)綜合)、求一次函數(shù)解析式、解直角三角形的相關(guān)計算、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)；（1）把點A和B的坐標(biāo)代入解析式求出b，c的值即可解題；再聯(lián)立直線和拋物線解析式求出交點P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：把點A和B的坐標(biāo)代入得：當(dāng)點P在直線的上方時，設(shè)直線交x軸于點D，當(dāng)點P在直線的下方時，設(shè)直線交x軸于點D，【題型4兩角和為特殊角問題】【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、角度問題(二次函數(shù)綜合)、求一次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)和判定∵點P在第一象限，【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)或【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、角度問題(二次函數(shù)綜合)、解直角三角形的相關(guān)計算∴點P在y軸右側(cè)，當(dāng)點P在x軸下方時，設(shè)延長線交x軸于點E，∴點的橫坐標(biāo)為；當(dāng)點P在x軸上方時，設(shè)與x軸交于點F，∴點的橫坐標(biāo)為；綜上，點的橫坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)與幾何綜合、待定系數(shù)法求解析式和拋物線上點的坐標(biāo)和特征，解直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．(1)求拋物線的解析式．【知識點】角度問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合∴點P在x軸上方，如圖，連接，延長交x軸于N，∴的值為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點問題，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，一次函數(shù)解析式求解，要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度是解題的關(guān)鍵．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、角度問題(二次函數(shù)綜合)、已知兩點坐標(biāo)求兩點距離、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

(1)求點、點的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)15【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式、角度問題(二次函數(shù)綜合)、面積問題(二次函數(shù)綜合)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求一次函數(shù)解析式：（1）先求出一次函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點A坐標(biāo)，再求出拋物線解析式，進(jìn)而聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出點C的坐標(biāo)即可；；(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)【知識點】求角的正切值、角度問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理逆定理，求角的正切值，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．(1)當(dāng)頂點縱坐標(biāo)為時，求該拋物線的表達(dá)式；【知識點】角度問題(二次函數(shù)綜合)、相似三角形問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合∵頂點縱坐標(biāo)為，【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形，通過相似三角形對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．(1)求拋物線的解析式：【知識點】角度問題(二次函數(shù)綜合)、相似三角形問題(二次函數(shù)綜合)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合當(dāng)點P在x軸上方時，如圖，連接，延長交x軸于N，當(dāng)點P在x軸下方時，如下圖所示：【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點問題，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，一次函數(shù)解析式求解，注意相似三角形分情況討論．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度是解題的關(guān)鍵．(1)求拋物線的表達(dá)式：【知識點】特殊四邊形(二次函數(shù)綜合)、解直角三角形的相關(guān)計算、角度問題(二次函數(shù)綜合)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合又∵拋物線經(jīng)過原點，過點M作y軸的平行線，過點N、P作平行線的垂線，垂足分別為G、H，∴點Q在原拋物線上，【點睛】本題考查了二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，函數(shù)圖像的平移，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造相似三角形．(1)求b、c的值；【知識點】解直角三角形的相關(guān)計算、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、角度問題(二次函數(shù)綜合)、二次函數(shù)圖象的平移∵點C在y軸正半軸上，∵原點O到新拋物線的對稱軸的距離等于的長度，②連接交軸于，∴新拋物線是由原拋物線向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到的，【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)圖象的平移問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．(1)求拋物線的表達(dá)式，并寫出它的對稱軸；(2)3【知識點】解直角三角形的相關(guān)計算、角度問題(二次函數(shù)綜合)、求一次函數(shù)解析式、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)∴它的對稱軸為直線．分類討論：①當(dāng)點D在x軸上方時，如圖，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點F，OD與拋物線對稱軸交于點E，②當(dāng)點D在x軸下方時，如圖，【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解直角三角形，一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的交點問題等知識，較難．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．(1)求拋物線的表達(dá)式；【知識點】特殊四邊形(二次函數(shù)綜合)、相似三角形問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、角度問題(二次函數(shù)綜合)【分析】（1）先求出A點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；第一種情況：為平行四邊形的一條邊，第二種情況：當(dāng)為平行四邊形的一條對角線時，當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，不妨設(shè)點P在的上方，點R在的下方，過點P、R分別作y軸的垂線，垂足分別為S、T，【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線并靈活運用所學(xué)知識成為解題的關(guān)鍵．(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫出其頂點坐標(biāo)；①求的值；【知識點】面積問題(二次函數(shù)綜合)、角度問題(二次函數(shù)綜合)、二次函