2025年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試仿真（三）數(shù)學(xué)試卷

年湖南省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試仿真試卷（專家版三）數(shù)學(xué)本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共4頁(yè)時(shí)量分鐘，滿分分.一、選擇題：本大題共小題，每小題3分，滿分分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義來(lái)確定實(shí)數(shù)的值.【詳解】已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，那么其實(shí)部.可得，則或，解得或.因?yàn)榧兲摂?shù)的虛部不為，所以，解得.所以.實(shí)數(shù)值是1.故選：A.2.已知元素a∈{0,1,2,3}，且a{0,1,2}，則a的值為A0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的定義，運(yùn)用排除法直接得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)樵?，且，所以該元素?；故選：D.3.不等式x(x－2)<0成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A.x(0，2)B.x[－1，＋∞)C.x(0，1)D.x(1，3)【答案】B【解析】第1頁(yè)/共12頁(yè)【分析】由x(x－2)<0可得0<x<2，由題意只需找真包含的集合即可.詳解】由x(x－2)<0得0<x<2，因?yàn)?0，2)[－1，＋∞)，所以“x[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)<0成立”的一個(gè)必要不充分條件．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件的判定，真子集的概念，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.4.下列命題中，是存在量詞命題的是（）A.正方形的四條邊相等B.有兩個(gè)角是的三角形是等腰直角三角形C.正數(shù)的平方根不等于0D.至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的定義即可得出答案．DABC思，為全稱量詞命題.故選：D5.在中，若，則的形狀是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積為0向量垂直判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以三角形是直角三角?故選：A.6.sin120的值為A.B.－1C.D.－【答案】C第2頁(yè)/共12頁(yè)【解析】【詳解】因?yàn)椋蔬xC.7.如圖，在正方體中，直線與的位置關(guān)系是A.平行B.相交C.異面但不垂直D.異面且垂直【答案】D【解析】【詳解】由圖形可知，兩條直線既不相交也不平行，所以是異面直線，，故選D.8.不等式解集為（）A.B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定不等式的解集.【詳解】令，所以或.解得，.所以不等式的解集是.故選：A.9.函數(shù)y＝2sin(3x＋)，xR的最小正周期是()A.B.C.D.π第3頁(yè)/共12頁(yè)【答案】B【解析】【詳解】函數(shù)y＝2sin(3x＋)，xR的最小正周期是.選B.10.圖像最能符合上述情況的是A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)閯蛩衮T車，所以時(shí)間與路程的關(guān)系是線性關(guān)系，又中間阻塞，故一段時(shí)間內(nèi)路程不增加，符合題意的圖象只能選A.已知，則的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)二倍角的余弦公式運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，故選：D.12.甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層隨機(jī)抽樣法抽取一個(gè)容量為90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生（）A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人C.20人，30人，40人D.30人，50人，10人【答案】B【解析】【分析】先求出抽樣比，然后根據(jù)抽樣比即可求出各校應(yīng)抽取的學(xué)生數(shù).第4頁(yè)/共12頁(yè)【詳解】解：先求抽樣比＝，再各層按抽樣比分別抽取，甲校抽取3600×＝305400×＝451800×＝15故選：B.13.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零列不等式即可求解.【詳解】由，解得.故選：B.14.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）.A.B.3C.－D.－3【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算求解即可．【詳解】解：∵，，且，∴，∴，得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．15.設(shè)，則的值為第5頁(yè)/共12頁(yè)A.0B.1C.2D.1【答案】B【解析】【分析】選取解析式代入可得結(jié)論．【詳解】由題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是要判斷自變量的范圍，根據(jù)不同范圍選取不同的表達(dá)式計(jì)算．16.某袋中有9個(gè)除顏色外其他都相同的球,其中有5個(gè)紅球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任意取出1個(gè),則取出的球恰好是白球的概率為A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】樣本點(diǎn)總數(shù)為9，取出的球恰好是白球含4個(gè)樣本點(diǎn)，計(jì)算得到答案.【詳解】從9個(gè)球中任意取出1個(gè),樣本點(diǎn)總數(shù)為9,取出的球恰好是白球含4個(gè)樣本點(diǎn),故所求概率為,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.17.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是.A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)初等函數(shù)的圖象，可得函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，從而可得結(jié)論．解：由題意，A的底數(shù)大于0小于1、C是圖象在一、三象限的單調(diào)減函數(shù)、D是余弦函數(shù)，在（0，+∞）上不單調(diào)，B的底數(shù)大于1，在（0，+∞）上單調(diào)增,故選B考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，掌握初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關(guān)鍵．第6頁(yè)/共12頁(yè)18.已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，的值域也是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性建立方程，再利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，依題意，，而，因此在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即有兩個(gè)不等的正根，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為；在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，由方程有兩個(gè)不等的正根，得直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共分.19.在△ABCABC所對(duì)應(yīng)的邊分別為abc______．【答案】；【解析】【詳解】根據(jù)正弦定理知，，所以，故填.20.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】4；【解析】【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的零點(diǎn)，所以，解得，故填4.21.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示，則的值為______．第7頁(yè)/共12頁(yè)【答案】2【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，可得到函數(shù)的周期，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，可得答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知，，所以周期，又，所以，故答案為：2.22.如圖1，矩形中，，，分別是，的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿把這個(gè)矩形折成一個(gè)直二面角（如圖22中直線與平面所成的角的大小為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得出平面，得到示直線與平面所成的角，在直角中，即可求解.【詳解】由題意，沿把這個(gè)矩形折成一個(gè)直二面角，可得平面，所以示直線與平面所成的角，在直角中，因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面所成角的求解，其中解答中利用線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，得到示直線與平面所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力.三、解答題：本大題共3小題，每小題分，滿分分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.23.某公司為了了解本公司職員的早餐費(fèi)用情況，抽樣調(diào)查了100第8頁(yè)/共12頁(yè)（1）試根據(jù)頻率分布直方圖求的值，并估計(jì)該公司職員早餐日平均費(fèi)用的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）已知該公司有1000名職員，試估計(jì)該公司有多少職員早餐日平均費(fèi)用不少于8元？【答案】（1），眾數(shù)為5，平均數(shù)5.6（2）200人【解析】1）由頻率和為1得到的值，頻率最高組的中間數(shù)即是眾數(shù)，用每組數(shù)據(jù)的中間數(shù)乘以頻率所得結(jié)果即為平均數(shù);（2）找到滿足題意的頻率乘以總數(shù)即得頻數(shù).【小問(wèn)1詳解】∵∴眾數(shù)為5，平均數(shù)【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可知，平均費(fèi)用不少于8元的頻率為：∴∴試估計(jì)該公司有200名職員早餐日平均費(fèi)用不少于8元.24.如圖，底面是正方形的直棱柱中，，.第9頁(yè)/共12頁(yè)（1）求直線與平面ABCD所成角的正切值；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】1）由題意可得為直線與平面ABCD所成的角，然后在中求解即可；（2）由平面，可得，再由底面是正方形可得，然后利用線面垂直的判定定理可得平面，從而可證得.【小問(wèn)1詳解】平面，為直線與平面ABCD所成的角，在中，，直線與平面ABCD所成角的正切值為.【小問(wèn)2詳解】證明：平面，平面，，又四邊形為正方形，則，∵，平面，平面，第10頁(yè)/共12頁(yè)平面，.25.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）設(shè)，若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，是否存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)的最小值為4？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）2）3）存在，.【解析】1）根據(jù)函數(shù)有意義，列出不等式，即可求解函數(shù)的定義域；（2）由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在定理，即可求解；（3）設(shè)，則，結(jié)合“對(duì)勾函數(shù)”的性質(zhì)，即可求解.1）由題意，函數(shù)有意義，則滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由，且，可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得為單調(diào)遞增函數(shù)，且函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由，設(shè)，則，當(dāng)