第06講用空間向量研究距離夾角問題（原卷版）

第06講用空間向量研究距離、夾角問題題型梳理題型梳理易錯分析易錯點一忽視向量的夾角與空間角的范圍及關系而致錯題型方法題型一用空間向量研究點線距題型二用空間向量研究點面距題型三用空間向量研究線面距、面面距題型四用空間向量研究線線角題型五用空間向量研究線面角題型六用空間向量研究二面角或面面角知識清單知識清單知識點01點到直線的距離點到直線的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).注意點：如果兩條直線l，m互相平行，可在其中一條直線l上任取一點P，將兩條平行直線的距離轉化為點P到直線m的距離求解知識點02點、直線、平面到平面的距離點到平面的距離已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則點P到平面α的距離PQ＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).注意點：(1)實質上，n是直線l的方向向量，點P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長度．(2)如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點P，將線面距離轉化為點P到平面α的距離求解．(3)如果兩個平面α，β互相平行，可在其中一個平面α內任取一點P，將兩個平行平面的距離轉化為點P到平面β的距離求解．知識點03兩異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq\f(|u·v|,|u||v|).注意點：兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關系．知識點04直線與平面所成的角設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).注意點：(1)直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角．(2)線面角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．知識點05兩個平面的夾角若平面α，β的法向量分別是n1和n2，設平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).注意點：(1)求兩平面的夾角問題轉化為兩平面法向量的夾角問題．(2)兩平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)二面角與兩平面的夾角不是相同的概念．易錯分析易錯分析【易錯點一】忽視向量的夾角與空間角的范圍及關系而致錯A． B．C． D．A． B． C．或 D．【變式2】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（

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A．－ B．題型方法題型方法【題型一】用空間向量研究點線距解題技巧用向量法求點到直線的距離的一般步驟(1)求直線的單位方向向量．(2)計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化．A． B． C． D．(2)求點到直線的距離.【題型二】用空間向量研究點面距解題技巧向量法求點面距離的步驟(1)建系：建立恰當的空間直角坐標系．(2)求點坐標：寫出(求出)相關點的坐標．(3)求向量：求出相關向量的坐標(eq\o(AP,\s\up6(→))，α內兩不共線向量，平面α的法向量n)．(4)求距離d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).A． B． C． D．

(2)求點到平面BCD的距離.【題型三】用空間向量研究線面距、面面距A． B． C． D．A． B． C． D．【題型四】用空間向量研究線線角解題技巧求異面直線所成角的步驟(1)確定兩條異面直線的方向向量．(2)確定兩個向量夾角的余弦值的絕對值．(3)得出兩條異面直線所成的角．A． B．4 C．2 D．3

【題型五】用空間向量研究線面角A． B． C．或 D．或解題技巧利用平面的法向量求直線與平面所成角的基本步驟(1)建立空間直角坐標系．(2)求直線的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)設線面角為θ，則sinθ＝eq\f(|u·n|,|u||n|).【題型六】用空間向量研究二面角或面面角A． B． C． D．解題技巧求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個平面內分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．(2)法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面的夾角為〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當〈n1，n2〉∈\b\l