畢業(yè)論文--淺談極坐標(biāo)及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用.doc

本科畢業(yè)論文（設(shè)計）1摘要極坐標(biāo)法是一種重要的解題方法，雖然高中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)刪去極坐標(biāo)的內(nèi)容，但這一思想和方法對解決平面幾何問題和高等數(shù)學(xué)問題都有很重要的作用，有必要加以深入研究。本文首先對極坐標(biāo)的基礎(chǔ)知識進(jìn)行闡述，給出了極坐標(biāo)的相關(guān)概念，以及求曲線方程的方法與步驟，并求出了三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程，然后討論了極坐標(biāo)在平面解析幾何中的應(yīng)用，最后探討了極坐標(biāo)在解決高等數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用。通過對極坐標(biāo)在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用的探討，我們能夠發(fā)現(xiàn)極坐標(biāo)有很大的優(yōu)越性。通過探討研究，使我們對極坐標(biāo)這一思想和方法有更深的了解，并使學(xué)生對高中平面解析幾何內(nèi)容有完整的把握，有更深層次的掌握。同時，這種對知識的深入掌握可以使教育者更好的完成對其的教學(xué)任務(wù)。關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)；應(yīng)用；優(yōu)越性本科畢業(yè)論文（設(shè)計）2AbstractThemethodofusingthepolarcoordinatesisanusuallyusedmethod.Althoughthecontentofthemethodhasbeendeletedintheprocessofeditingthemathematicaltextbookformiddleschoolstudents,thismethodisveryimportanttosolvetheproblemofplanegeometryandadvancedmathematics.Itisnecessarytostudythismethodfurther.Firstthispaperillustratesthebasicknowledgeofpolarcoordinates.Thewritergivestherelativeconceptsofpolarcoordinatesandthemethodandstepsofsolvingcurveequation,andworkoutthepolarcoordinatesequationofthreetapercurves.Seconditdiscussestheapplicationofthemethodinplaneanalyticgeometry.Andthenitprobesintotheapplicationofthemethodinsolvingtheadvancedmathematicalproblem.Byexploringtheapplicationofpolarcoordinatesinmanymathematicalaspects,wemaynoticetheadvantagesofpolarcoordinatesanditscertainapplicablerange.Bystudying,itmakesusunderstandtheconceptsandthethinkingfurther.Italsomakesthestudentsgraspthecontentofplaneanalyticgeometrywhollyanddeeperinmiddleschool.Also,thedeepunderstandingoftheknowledgemakestheteacherfinishtheeducationaltasksbetter.Keywords:polarcoordinates；application；advantages本科畢業(yè)論文（設(shè)計）3前言第一個用極坐標(biāo)來確定平面上點的位置的是牛頓。他的流數(shù)法與無窮級數(shù)，大約于1671年寫成，出版于1736年。此書包括解析幾何的許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線，書中創(chuàng)見之一，是引進(jìn)新的坐標(biāo)系。瑞士數(shù)學(xué)家J.貝努力利于1691年在教師學(xué)報上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標(biāo)的文章，所以通常認(rèn)為J.貝努利是極坐標(biāo)的發(fā)現(xiàn)者。J.貝努利的學(xué)生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標(biāo)的普遍可用，而且自由地應(yīng)用極坐標(biāo)去研究曲線。在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，是人們公認(rèn)的最容易接受并且被經(jīng)常采用的方法，但它并不是確定點的位置的唯一方法。有些復(fù)雜的曲線用直角坐標(biāo)表示，形式極其復(fù)雜，但用極坐標(biāo)表示，就變得十分簡單且便于處理，在此基礎(chǔ)上解決平面解析幾何問題也變的極其簡單。通過探究極坐標(biāo)在平面解析幾何中的廣泛應(yīng)用，使我們能夠清楚的認(rèn)識到，用極坐標(biāo)來解決某些平面解析幾何問題和某些高等數(shù)學(xué)問題比用直角坐標(biāo)具有很大的優(yōu)越性，故本文對其進(jìn)行了初步探討。國內(nèi)外研究動態(tài)，不僅在數(shù)學(xué)理論方面，很多學(xué)者對極坐標(biāo)以及極坐標(biāo)方程做了深入探究，而且在如物理、電子、軍事等領(lǐng)域，很多學(xué)者對極坐標(biāo)也有較深的研究。由此看來，極坐標(biāo)已應(yīng)用到各個領(lǐng)域。本科畢業(yè)論文（設(shè)計）4第一章預(yù)備知識1.1極坐標(biāo)系的建立在平面內(nèi)取一個定點O，叫作極點，引一條射線OX，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內(nèi)任意一點M，用表示線段OM的長度，表示從OX到OM的角度，叫點M的極徑，叫點M的極角，有序數(shù)對，就叫點M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫極坐標(biāo)系，記作M，若點M在極點，則其極坐標(biāo)為=0，可以取任意值。xOPMxPOM圖1-1圖1-2如圖1-2，此時點M的極坐標(biāo)可以有兩種表示方法：(1)0，M，(2)0，M，同理，與，也是同一個點的坐標(biāo)。又由于一個角加2nnZ后都是和原角終邊相同的角，所以一個點的極坐標(biāo)不唯一。但若限定0，02或，那么除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)了。1.2曲線的極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中，曲線可以用含有，這兩個變數(shù)的方程0，來表示，這種方程叫曲線的極坐標(biāo)方程。求曲線的極坐標(biāo)方程的方法與步驟：1建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，并設(shè)動點M的坐標(biāo)為，；2寫出適合條件的點M的集合；本科畢業(yè)論文（設(shè)計）530列方程，；4化簡所得方程；5證明得到的方程就是所求曲線的方程。三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程：yxPBFOKAM圖1-3過點F作準(zhǔn)線L的垂線，垂足為K，以焦點F為極點，F(xiàn)K的反向延長線FX為極軸，建立極坐標(biāo)系。設(shè)M，是曲線上任意一點，連結(jié)MF，作MAL，MBFX，垂足分別為AB，那么曲線就是集合MFpMeMA.設(shè)焦點F到準(zhǔn)線L的距離FKPMF，由，MABKPCOS得cosep即1cosepe這就是橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程。其中當(dāng)01e時，方程表示橢圓，定點F是它的左焦點，定直線L是它的左準(zhǔn)線。1e時，方程表示開口向右的拋物線。1e時，方程只表示雙曲線右支，定點F是它的右焦點，定直線L是它的右準(zhǔn)線。若允許0，方程就表示整個雙曲線。1.3極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，X軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，其直角坐標(biāo)x，y，極坐標(biāo)是，從點M作MNOX，由三角函數(shù)定義，得cossinxy，.本科畢業(yè)論文（設(shè)計）6yxyxNOM圖1-4進(jìn)一步有222,0yxytgxx注：在一般情況下，由tg確定角時，可根據(jù)點M所在的象限取最小角。本科畢業(yè)論文（設(shè)計）7第二章極坐標(biāo)在平面解析幾何中的應(yīng)用2.1極坐標(biāo)法求到定點的線段長度解析幾何中涉及到某定點的線段長度時，可以考慮利用極坐標(biāo)法求解。但是絕大多數(shù)解析幾何問題中題設(shè)條件是以直角坐標(biāo)方程形式給出的，在求解過程中運(yùn)算繁瑣復(fù)雜，將此類問題轉(zhuǎn)化為用極坐標(biāo)方程求解，十分簡潔，收到良好的效果。巧設(shè)極點，建立極坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵。2.1.1以定點為極點如果題設(shè)條件與結(jié)論中，涉及到過某定點M的線段長度問題，應(yīng)該取該點為極點，先將直角坐標(biāo)原點移動到M點，施行平移公式、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式，化普通方程為極坐標(biāo)方程求解。例1設(shè)等腰OAB的頂角為2，高為h，在OAB內(nèi)有一動點p，到三邊OAOB、OC的距離分別為PDPFPE、，并且滿足關(guān)系2PDPFPE，求P點的軌跡。xFEDPBAO圖2-1解:如圖2-1所示,以O(shè)為極點,AOB的平分線為極軸,建立極坐標(biāo)系，設(shè)P點極坐標(biāo)為p，,則sin,sin,PDPFcosPEh由2PDPFPE得22sinsincosh化簡得22222cos0coscoshh本科畢業(yè)論文（設(shè)計）8化成直角坐標(biāo)方程為22222sincoscoshhxy這是以2cosh，0為圓心，以2sincosh為半徑的圓，所求的軌跡是該圓在等腰OAB內(nèi)部的部分。2.1.2以原點為極點如果題設(shè)條件或結(jié)論中涉及到直角坐標(biāo)系原點的線段長度時，應(yīng)選取原點為極點，應(yīng)用互化公式，將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程求解。例2已知橢圓2212416xy，直線L:1128xy，P是L上一點，射線OP交橢圓于R，又點Q在OP上，且滿足2OQOPOR，當(dāng)點P在L上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。解:如圖2-2所示，以O(shè)為極點，OX為極軸，建立極坐標(biāo)系。則由互化公式知橢圓的極坐標(biāo)方程為2222cos3sin48(1)直線L的極坐標(biāo)方程為2cos3sin24(2)12QRP設(shè)，、，、，則由(1)式知2122482cos3sin由(2)式知2242cos3sin又221,有22244802cos3sin2cos3sin22222cos3sin4cos6sin所以2223440xyxy本科畢業(yè)論文（設(shè)計）9即22111,05523xyxy不同時為點Q的軌跡是以1，1為中心，長軸、短軸分別為25103，且長軸平行與X軸的橢圓，去掉坐標(biāo)原點。OPRQLyx圖2-22.1.3以焦點為極