2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第4講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)不等式的綜合應(yīng)用練習(xí)理.docx

第二篇專題二第4講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用限時(shí)訓(xùn)練素能提升(限時(shí)50分鐘，滿分48分)解答題(本題共4小題，每小題12分，共48分)1(2018全國卷)已知函數(shù)f(x).(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)a1時(shí)，f(x)e0.解析(1)f(x)，f(0)2.因此曲線yf(x)在(0，1)處的切線方程是2xy10.(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，則g(x)2x1ex1.當(dāng)x1時(shí)，g(x)1時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.2(2018鷹潭二模)已知函數(shù)f(x)2ln x2ln ak，(1)若k0，證明f(x)0；(2)若f(x)0，求k的取值范圍；并證明此時(shí)f(x)的極值存在且與a無關(guān)解析(1)若k0，f(x).當(dāng)x時(shí)，f(x)0，得證(2)若f(x)2ln x2ln ak0，變形得到2ln k.令t(t0)，得到k，令g(t)，g(t)，令k(t)ttln t1，k(t)ln t，可得k(t)在(0，1上單調(diào)遞增，在1，)上單調(diào)遞減，所以k(t)0，g(t)0.g(t)在(0，)上單調(diào)遞減，當(dāng)t，g(t)0，所以g(t)0，所以k0，下面再證明f(x)的極值存在且與a無關(guān)：k0，f(x)，f(x)極小值f2ln 22ln a2(1ln 2)與a無關(guān)k0且f(x)在x2處取極小值f(x2)2ln x22ln ak2ln k.因?yàn)閤2，所以是關(guān)于k的函數(shù)(與a無關(guān))，所以f(x2)2ln k也是關(guān)于k(與a無關(guān))3(2018長春二模)已知函數(shù)f(x)xex.(1)求證：函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)；(2)若對任意x(0，)，xexln x1kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解析(1)f(x)(x1)ex，易知f(x)在(0，e)上為正數(shù)因此f(x)在區(qū)間(0，1)上為增函數(shù)，又f0，因此ff(1)0在(1，)上恒成立，即在(1，)上無零點(diǎn)，所以f(x)在(0，)上有唯一零點(diǎn)(2)設(shè)f(x)的零點(diǎn)為x0，即x0ex00.原不等式可化為k，令g(x)，則g(x)，由(1)可知g(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，故g(x0)為g(x)的最小值，下面分析x0ex00.設(shè)x0ex0t，則t，可得即x0(1t)ln t，若t1，等式左負(fù)右正不相等，若t0，f(x)1aaln x.當(dāng)a0時(shí)，f(x)x，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)1aaln x單調(diào)遞增，f(x)1aaln x0xe10，故當(dāng)x(0，e1)時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(0，e1)上單調(diào)遞減，在(e1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0，故當(dāng)x(0，e1)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(e1，)時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(0，e1)上單調(diào)遞增，在(e1，)上單調(diào)遞減(2)由(1)可知若函數(shù)f(x)xaxln x存在極大值，且極大值點(diǎn)為1，則a0，則h(x)ex2xln x.令g(x)h(x)，則g(x)ex20，所以函數(shù)h(x)ex2xln x單調(diào)遞增，又he10，故h(x)ex2xln x在上存在唯一零點(diǎn)x0，即ex02x0ln x00.所以當(dāng)x(0，x0)時(shí)，h(x)0，所以函數(shù)h(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，故h(x)h(x0)ex0xx0x0ln x0，所以只需證h(x0)ex0xx0x0ln x00即可，由ex02x0ln x00，得ex02x0ln x0，所以h(x0)(x01)(x0ln x0)，又x010，所以只要x0ln x00即可證法一當(dāng)x0ln x00時(shí)，ln x0x0x0ex0ex0x00，所以ex0x0x0ln x00與ex02x0ln x00矛盾，故x0ln x00，得證證法二當(dāng)x0ln x00時(shí)，ln x0x0x0ex0ex0x00，所以ex0x0x0ln x00時(shí)，ln x0x0x0ex0ex0x00，所以ex0x0x0ln x00與ex02x0ln x00矛盾；當(dāng)x0ln x