2018年高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.3復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案蘇教版.docx

3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義問題1：平面向量可以用坐標(biāo)表示，試想復(fù)數(shù)能用坐標(biāo)表示嗎？提示：可以問題2：試說明理由提示：因復(fù)數(shù)zabi(a，bR)與有序?qū)崝?shù)對(a，b)惟一確定，由(a，b)與平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)一一對應(yīng)，從而復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間一一對應(yīng)建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).已知復(fù)數(shù)zabi(a，bR)問題1：在復(fù)平面內(nèi)作出復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)Z.提示：如圖所示問題2：向量和點(diǎn)Z有何關(guān)系？提示：有一一對應(yīng)關(guān)系問題3：復(fù)數(shù)zabi與有何關(guān)系？提示：也是一一對應(yīng)1復(fù)數(shù)與點(diǎn)，向量間的對應(yīng)關(guān)系2復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)zabi(a，bR)對應(yīng)的向量為，則的模叫做復(fù)數(shù)z的模(或絕對值)，記作|z|，且|z|abi|.如圖、分別與復(fù)數(shù)abi，cdi對應(yīng)問題1：試寫出、及、的坐標(biāo)提示：(a，b)，(c，d)，(ac，bd)，(ac，bd)問題2：向量及所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是什么？提示：(ac)(bd)i及(ac)(bd)i.1復(fù)數(shù)加法的幾何意義設(shè)向量，分別與復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi對應(yīng)，且和不共線如圖，以，為鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2，則其對角線OZ所表示的向量就是復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對應(yīng)的向量2復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)abi，cdi相對應(yīng)，且，不共線，如圖則這兩個復(fù)數(shù)的差z1z2與向量 (等于)對應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義3設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則|z1z2|，即兩個復(fù)數(shù)的差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離1復(fù)平面上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的虛部2表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，它們是一一對應(yīng)的；表示純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上，但虛軸上的點(diǎn)不都表示純虛數(shù)，如原點(diǎn)表示實(shí)數(shù)0.3在平面向量中，向量的加法、減法的幾何解釋同復(fù)數(shù)加法、減法的幾何解釋是相同的例1實(shí)數(shù)x分別取什么值時，復(fù)數(shù)zx2x6(x22x15)i對應(yīng)的點(diǎn)Z在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直線xy30上？思路點(diǎn)撥利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系求解若已知復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，則當(dāng)a0且b0且b0時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；當(dāng)ab30時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在直線xy30上精解詳析因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以x2x6，x22x15也是實(shí)數(shù)若已知復(fù)數(shù)zabi，則當(dāng)a0，且b0時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限；當(dāng)a0，且b0時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限；當(dāng)ab30時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在直線xy30上(1)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足即3x2時，點(diǎn)Z在第三象限(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足即2x5時，點(diǎn)Z在第四象限(3)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足(x2x6)(x22x15)30，即x2時，點(diǎn)Z在直線xy30上一點(diǎn)通按照復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合之間的一一對應(yīng)關(guān)系，每一個復(fù)數(shù)都對應(yīng)著一個有序?qū)崝?shù)對，只要在復(fù)平面內(nèi)找出這個有序?qū)崝?shù)對所表示的點(diǎn)，就可根據(jù)點(diǎn)的位置判斷復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部的取值1(湖北高考改編)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) z(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)位于第_象限解析：zi1的共軛復(fù)數(shù)為1i，對應(yīng)的點(diǎn)為(1，1)在第四象限答案：四2求當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)z(m28m15)(m23m28)i 在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)分別滿足下列條件：(1)位于第四象限；(2)位于x軸的負(fù)半軸上解：(1)由題意，知解得即7m3.故當(dāng)7m3時，復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)位于第四象限(2)由題意，知由得m7或m4.因m7不適合不等式，m4適合不等式，所以m4.故當(dāng)m4時，復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)位于x軸的負(fù)半軸上例2已知復(fù)數(shù)z1i及z2i.(1)求|z1|及|z2|的值并比較它們的大??；(2)設(shè)zC，滿足|z2|z|z1|的點(diǎn)z的集合是什么圖形思路點(diǎn)撥由復(fù)數(shù)的模長公式求出|z1|及|z2|，然后比較大??；(2)根據(jù)點(diǎn)數(shù)模的幾何意義畫出圖形精解詳析(1)|z1|i|2，|z2| 1，所以|z1|z2|.(2)由(1)知1|z|2，因?yàn)椴坏仁絴z|1的解集是圓|z|1上和該圓外部所有點(diǎn)組成的集合，不等式|z|2的解集是圓|z|2上和該圓內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，所以滿足條件1|z|2的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并包括圓環(huán)的邊界，如圖所示一點(diǎn)通(1)計算復(fù)數(shù)的模時，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，然后再利用模的公式進(jìn)行計算，兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的模可以比較大小(2)復(fù)數(shù)的模表示該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離3(遼寧高考改編)復(fù)數(shù)z的模為_解析：zi，|z| .答案：4已知z3ai，且|z2|2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：z3ai，z21ai，|z2|2，即1a24，a23，即a.答案：(，)5設(shè)zC，則滿足條件|z|34i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？解：法一：由|z|34i|得|z|5.這表明向量的長度等于5，即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離等于5.因此滿足條件的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以5為半徑的圓法二：設(shè)zxyi(x，yR)，則|z|2x2y2.|34i|5，由|z|34i|得x2y225，點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，以5為半徑的C圓.例3已知OABC的三個頂點(diǎn)O，A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,32i，24i，試求：(1) 表示的復(fù)數(shù)；(2) 表示的復(fù)數(shù)；(3)點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)思路點(diǎn)撥精解詳析(1)，故表示的復(fù)數(shù)為(32i)，即32i.(2)，故表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)，故表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i，即點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為16i.一點(diǎn)通(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的兩種幾何意義可知：復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算或向量運(yùn)算(2)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算用向量進(jìn)行時，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則(3)復(fù)數(shù)及其加、減運(yùn)算的幾何意義為數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用提供了可能6已知復(fù)數(shù)z12i，z212i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B，求AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)z，z在平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？解：zz2z1(12i)(2i)1i，z的實(shí)部10，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)7在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A、B、C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z11i，z25i，z333i.以AB、AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，求D點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)z4及AD的長解：如圖，由復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即z4z1(z2z1)(z3z1)所以z4z2z3z173i.|AD|z4z1|(73i)(1i)|62i|2.1復(fù)數(shù)模的幾何意義復(fù)數(shù)模的幾何意義架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決，而幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，而不是(a，bi)；(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的對應(yīng)向量OZ是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與OZ相等的向量有無數(shù)個2復(fù)數(shù)的模(1)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模|z|；(2)從幾何意義上理解，表示點(diǎn)Z和原點(diǎn)間的距離，類比向量的?？蛇M(jìn)一步引申：|z1z2|表示點(diǎn)Z1和點(diǎn)Z2之間的距離一、填空題1若、對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是7i,32i，則|_.解析：(7,1)，(3，2)，(4，3)，|5.答案：52(重慶高考改編)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(12i)的點(diǎn)位于第_象限解析：i(12i)2i對應(yīng)的點(diǎn)為(2，1)，位于第一象限答案：一3若z|z|28i，則z_解析：法一：設(shè)zabi(a，bR)，則|z|，代入方程得abi28i.所以解得所以z158i.法二：原式可化為z2|z|8i，|z|R，2|z|是z的實(shí)部于是|z|，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入z2|z|8i，得z158i.答案：158i4已知z12i，z23ai(aR)，若z1z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則a_解析：z1z22i3ai5(a1)i，由z1z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上可知a10，即a1.答案：15(新課標(biāo)全國卷改編)設(shè)zi，則|z|_解析：iiii，則|z| .答案：二、解答題6若復(fù)數(shù)z(m2m2)(4m28m3)i(mR)的共軛復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的集合解：由題意得z(m2m2)(4m28m3)i，z對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以有所以所以即1m，故所求m的集合為.7在復(fù)平面內(nèi)A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2i，12i.(1)求，對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)判斷ABC的形狀；(3)求ABC的面積解：(1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為zBzA(2i)11i.對應(yīng)的復(fù)數(shù)為zCzB(12i)(2i)3i.對應(yīng)的復(fù)數(shù)