《節(jié)三重積分》PPT課件.ppt

1,第七章 重積分,7.3 三重積分,計算三重積分的方法也是將它化為累次積分,即化為先定積分后二重積分或先二重積分后定積分的形式,從而化為三次積分,這兩種方法稱為”投影”法和”切片”法。,7.3.1 三重積分的定義,2,定義7.3.1 設(shè)f (x,y,z)是空間有界閉區(qū)域 上的有界函數(shù)。將任意分成n個小閉區(qū)域 v1, v2, vn, 其中vi表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的體積。,在每個vi上任取一點( i , i, i) ，作乘積 f ( i , i, i) vi (i=1,2, ,n) ，,3,其中dv叫做體積元素。,在直角坐標系中，如果用平行于坐標面的平面來劃分，那末除了包含的邊界點的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，得到的小閉區(qū)域vi為長方體。,設(shè)長方體小閉區(qū)域vi的邊長為xj, yk, zl，則vi= xj yk zl。,在直角坐標系下的體積元素：dv=dxdydz,4,7.3.2 直角坐標系下的三重積分的計算法,基本方法：化三重積分為三次單積分,dv=dxdydz,1、 為母線平行于z 軸的柱體時,假設(shè)平行于z軸且穿過閉區(qū)域內(nèi)部的直線與閉區(qū)域的邊界曲面S相交不多于兩點。,一、投影法,5,先將x，y看作定值，將f (x,y,z)只看作z的函數(shù)，在區(qū)間z1(x,y), z2(x,y)上對z積分。,然后計算F(x,y)在閉區(qū)域D的二重積分,積分的結(jié)果是x,y的函數(shù)，記為F(x,y)，即,6,若在xoy平面上的投影區(qū)域記為Dxy，則有,投影區(qū)域Dxy用不等式表示:,1(x) y 2(x)，a x b,則將二重積分化為二次積分，于是得到三重積分的計算公式：,7,公式(2)把三重積分化為先對z、次對y、最后對x的三次積分。,上式的數(shù)學(xué)方法概括為：,“先單后重法”，或 “投影法”,8,解,x+2y=1,Dxy,9,2、 為母線平行y軸或 x 軸的柱體時,10,11,12,13,14,15,16,17,18,二、奇偶函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分性質(zhì),19,20,三、切片法,又叫“先重后單法”,設(shè)區(qū)域 夾在平面z = c1，z = c2(c1 c2)之間,用豎坐標為z (c1 z c2)的平面截所得截面為Dz或D(z)，即,21,特別當(dāng)f (x,y,z)只是 z 的函數(shù)：f (x,y,z)=(z), f (x,y,z)在Dz上對x、y的二重積分簡單，,Dz簡單（圓、橢圓、長方形等）,上式的適用范圍：,22,解,D0,Dz,23,Dz是橢圓域，較簡單, f (x,y,z)=z2只是 z 的函數(shù),用 “切片法”較方便,24,D0,Dy,25,用“先單后重法”,26,用先重后單法。,27,解,y4sinx關(guān)于x是奇函數(shù),關(guān)于yoz平面對稱，,28,用先重后單法。,29,用“先單后重法”,30,7.3.3 柱面坐標系下的三重積分的計算法,設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點,一、柱面坐標,并設(shè)點M(x,y,z)在xoy面上的投影P的極坐標為(r,0)。,這樣的三個數(shù)r,z 就叫做點M的柱面坐標。,31,0 r + ，,0 2，, z +,三組坐標面分別為,r 常數(shù)，即以z 軸為軸的圓柱面；, 常數(shù)，即過z 軸的半平面；,z常數(shù)，即與xoy面平行的平面；,規(guī)定r、 、z的變化范圍為：,32,點M的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系為：,柱面坐標系中的體積元素,33,二、