D67(1)對(duì)坐標(biāo)曲線積分.ppt

,第七節(jié)（1）,二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì),三、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法,四、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,第六章,一、場(chǎng)的概念,一 數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng),分布著某種物理量的平面或空間區(qū)域稱(chēng)為場(chǎng),如果這個(gè)物理量能用數(shù)表示，稱(chēng)為數(shù)量場(chǎng),如果這個(gè)物理量用向量表示，稱(chēng)為向量場(chǎng),如果這個(gè)物理量與時(shí)間有關(guān)，稱(chēng)為時(shí)變場(chǎng),如果這個(gè)物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱(chēng)為定常場(chǎng),函數(shù),數(shù)量場(chǎng) (數(shù)性函數(shù)),場(chǎng),向量場(chǎng)(矢性函數(shù)),如: 溫度場(chǎng), 電勢(shì)場(chǎng)等,數(shù)量場(chǎng)的等值面,向量場(chǎng)的向量線,二、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì),1. 引例: 變力沿曲線所作的功.,設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用,在 xOy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn) B,求移,“大化小”,“常代變”,“近似和”,“取極限”,恒力沿直線所作的功,解決辦法:,動(dòng)過(guò)程中變力所作的功W.,1) “大化小”.,2) “常代變”,把L分成 n 個(gè)小弧段,有向小弧段,近似代替,則有,所做的功為,則,用有向線段,3) “近似和”,4) “取極限”,(其中 為 n 個(gè)小弧段的 最大長(zhǎng)度),2. 定義.,設(shè) L 為xOy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑,弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧 L 上,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱(chēng)此極限為函數(shù),或第二類(lèi)曲線積分.,其中,L 稱(chēng)為積分弧段 或 積分曲線 .,稱(chēng)為被積函數(shù) ,在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù),極限,若 為空間曲線弧 , 記,稱(chēng)為對(duì) x 的曲線積分;,稱(chēng)為對(duì) y 的曲線積分.,若記, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫(xiě)作,類(lèi)似地,3. 性質(zhì),(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則,則,定積分是第二類(lèi)曲線積分的特例.,說(shuō)明:,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !,(3) 若由閉合曲線C所圍成的平面區(qū)域被劃分為兩個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的區(qū)域1和2 ，它們的邊界分別記作C1 ，C2 ，那么沿閉合曲線C的第二型線積分等于按同一方向閉合曲線 C1和C2 的第二型線積分之和，即,其中曲線C、C1和C2 或者都取正向或者都取負(fù)向.,將上式兩端同乘以-1，并利用 性質(zhì)2就有,三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定義且,L 的參數(shù)方程為,則曲線積分,連續(xù),存在, 且有,特別是, 如果 L 的方程為,則,對(duì)空間光滑曲線弧 :,類(lèi)似有,定理,14,例1,解,例2. 計(jì)算,其中L 為沿拋物線,解法1 取 x 為參數(shù), 則,解法2 取 y 為參數(shù), 則,從點(diǎn),的一段.,例3. 計(jì)算,其中 L 為,(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的,上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?,(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的參數(shù)方程為,(2) 取 L 的方程為,則,則,例4. 計(jì)算,其中L為,(1) 拋物線,(2) 拋物線,(3) 有向折線,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,例5,解,例6. 設(shè)在力場(chǎng),作用下, 質(zhì)點(diǎn)由,沿 移動(dòng)到,解: (1),(2) 的參數(shù)方程為,試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.,其中 為,例7. 求,其中,從 z 軸正向看為順時(shí)針?lè)较?,解: 取 的參數(shù)方程,例8. 已知,為折線 ABCOA(如圖), 計(jì)算,提示:,例9. 質(zhì)量為,的質(zhì)點(diǎn)，從空間一點(diǎn)A沿某光滑曲線C,移動(dòng)到另一點(diǎn)B，求重力所做的功W。,四、兩類(lèi)曲線積分之間的聯(lián)系,兩型線積分的異同,（1）第一型線積分無(wú)方向， 第二型線積分有方向。,（2）第一型線積分是對(duì)弧長(zhǎng)的積分， 第二型線積分是對(duì)坐標(biāo)的積分,（3）第一型線積分對(duì)應(yīng)參數(shù)的下限小，上限大， 第二型線積分對(duì)應(yīng)參數(shù)的下限為起點(diǎn)，上限為終點(diǎn),（4）第一型線積分用于求質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等， 第二型線積分用于求變力作功、引力場(chǎng)作功等。,（5）兩類(lèi)線積分的被積函數(shù)都定義在曲線上。,（6）兩類(lèi)線積分的計(jì)算都是化為定積分計(jì)算的。,例9.,將積分,化為對(duì)弧長(zhǎng)的積,分,解：,其中L 沿上半圓周,1. 定義,2. 性質(zhì),(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) L 表示 L 的反向弧,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!,內(nèi)容小結(jié),3. 計(jì)算, 對(duì)有向光滑弧, 對(duì)有向光滑弧,4. 兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系, 對(duì)空間有向光滑弧 :,原點(diǎn) O 的距離成正比,思考與練習(xí),1. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在,處受,恒指向原點(diǎn),沿橢圓,此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn),沿逆時(shí)針移動(dòng)到,提示:,(解見(jiàn) P196 例5),備用題 1.,解:,線移動(dòng)到,向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到 xOy 面的