物理習(xí)題-《中極值問題的數(shù)學(xué)求解方法》.docx

物理習(xí)題中極值問題的數(shù)學(xué)求解方法本文結(jié)合平常的習(xí)題教學(xué)，將高中物理習(xí)題中的極值問題解法歸納分類，以饗讀者。一、利用一元二次函數(shù)知識(shí)求極值設(shè)有二次函數(shù)若0則有極大值，當(dāng)時(shí)，若0則有極小值，當(dāng)時(shí)，例1：一輛汽車以10m/s的速度勻速直線行駛15s后，一輛摩托車從靜止開始，在同一地點(diǎn)出發(fā)，以1m/s2的速度作勻加速直線運(yùn)動(dòng)追趕汽車，求二車何時(shí)相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離多大？解：設(shè)摩托車行駛t秒后二車相距S米，有10(t+15)1t2=S即：S=t2+10t +150題中“何時(shí)相距最遠(yuǎn)”實(shí)際就是t為何值時(shí)，有最大值Smax依一元二次函數(shù)知識(shí)可知：t =10(s)時(shí)，Smax=200(m)例1也可以借助如下方法進(jìn)行求解將S=t2+10t+150變形為t210t150S=0要使方程有解，則=(10) 24(150S)0得S200m，即S最大值Smax=200m二、利用一元二次方程根的判別式求極值應(yīng)用該方法，宜選擇適當(dāng)?shù)奈锢砹孔髯宰兞?，通過物理規(guī)律導(dǎo)出一個(gè)一元二次方程，利用=b240求解例2：如圖一，頂角為的光滑圓錐置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+Q的小球沿圓錐面在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球作圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑。解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受重力mg，彈力FN及洛侖茲力f的作用，如圖2建立坐標(biāo)系設(shè)：軌道半徑R在方向：在方向： 整理得：關(guān)于的一元二次方程中有實(shí)數(shù)解有=Q2B2R24m2gRCot0R4 m2gRCot/ Q2B2即Rmin=4m2gCot/ Q2B2三、利用三角函數(shù)的有界屬性求極值設(shè)有三角函數(shù)(或)在定義域內(nèi)一定有1y1即ymax=1 ymin=1例3：某人與一平直公路距離h=50m，一客車以速度v1=10m/s沿此公路勻速駛來，當(dāng)客車與人距離S=200m時(shí)，人開始追趕，求人能追上客車的最小奔跑速度。解：如圖3設(shè)該人沿OB方向以v2大小奔跑在B處追上客車在AOC中，Sin = 在AOB中，即 =可見當(dāng)Sin極大時(shí)，極小時(shí)，Sin=1圖3min= Sin=2.5m/s方向與OA垂直例4：質(zhì)量為m的物體放在水平桌面上，設(shè)物體與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，現(xiàn)用力F拉物體，則F方向如何才能使物體加速度最大？最大加速度是多少？圖4解：以物體為研究對(duì)象，分析受力建立坐標(biāo)系如圖4根據(jù)F=0 得：Fcos +FN=mg由F=ma 得：FSinf =ma又f =FN整理得物理問題又轉(zhuǎn)化為上述函數(shù)問題，為值時(shí)取最大值,令=則Sin+可見當(dāng)取極大值1時(shí)，即時(shí)四、利用分式函數(shù)的值域求極值設(shè)分式，當(dāng)分母最大時(shí)有，當(dāng)分母最小時(shí)有例5：一個(gè)質(zhì)量為m1，速度為的物體與一個(gè)質(zhì)量為m2的靜止物體發(fā)生彈性正碰，求m2獲得的最大動(dòng)能？設(shè)碰撞后m1m2的速度分別為與解：因碰撞動(dòng)量守恒彈性碰撞得 獲得的動(dòng)能=分子為定值，當(dāng)時(shí)分母最小為1所以例6：如圖5，有一半徑的圓形木板浮在深度H=5.3m的水池水面上。在木板圓心的正上方某一高度h處放置一個(gè)點(diǎn)光源。欲使池底影子的半徑R為最大，試問這個(gè)高度h應(yīng)為多少？另求影子的最大半徑？已知水的折射率解：設(shè)入射角為，折射角為根據(jù)折射定律得：又在SMO中在ONP中=圖5整理得：在r、H、h為定值條件下，顯然只有當(dāng)h=0時(shí)分母最小為（實(shí)際情況，只能是h0，7m）五、利用均值不等式知識(shí)求極值由數(shù)學(xué)知識(shí)可知（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)例7：如圖6所示電路中，已知電源電動(dòng)熱E=6V，內(nèi)阻r =1，R1=3，R2=3，R為5的滑動(dòng)變阻器，當(dāng)滑片P滑到什么位置時(shí)電流表讀數(shù)最小？其值為多少？解：由閉合電路歐姆定律可知，當(dāng)外電阻R為最大時(shí)，干路中電流最小，設(shè)R上在a、p音電阻為Rap則R=（R1+Rap）（R2+R Rap）/ （R1+ R2+R）因（R1+Rap）+（R2+R Rap）= R1+ R2+R為定值當(dāng)（R1+Rap）=（R2+R Rap）即Rap = 3時(shí)，圖6Rmax =2.5所以Imin=例8：如圖7所示，小球在光滑的軌道上由A靜止開始運(yùn)動(dòng)，其中半徑為R的環(huán)中段CD為缺口，問為何值時(shí)，小球完成ABCD路徑所需的離地面高度h最小，且最小值是多少？解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，從AC過程滿足機(jī)械能守恒，選擇地面為重力勢(shì)能為零勢(shì)能面，有EA=EC 又小球在CD間做斜拋運(yùn)動(dòng)，有水平方向： 圖7豎直方向： 整理得：h=R（1+）因是定值當(dāng)時(shí) hmin=（1+）R例9：如圖8所示，帶電量均為+Q的點(diǎn)電荷相距為2L，MN是電荷連線的中垂線，求MN上場(chǎng)強(qiáng)的最大值。解：設(shè)P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)最大，PAO=則E=2（E1sin）=2k即圖8因定值所以當(dāng) 即時(shí)，E有最大值E六、利用，求極值由數(shù)學(xué)知識(shí)可知在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)或 一定有例10：質(zhì)量為m和M的二個(gè)粒子發(fā)生正碰，在碰撞過程中損失的動(dòng)能為E。今要使碰撞前二粒子的總動(dòng)能為最小，求碰前二粒子的速度。解：設(shè)碰撞前m1、m2速度分別為v1、v2碰撞后速度分別為v1、v2碰撞過程動(dòng)量守恒m1v1+m2v2= m1v1+ m2v2碰撞過程能量守恒題中要求碰前總動(dòng)能最小即要最小所以總動(dòng)能最小的條件是有v1=v2=0將代入得v1= v2=七、利用幾何作圖法求極值例11：如圖9，質(zhì)量為m的小球放在傾角為的光滑斜面上，試分析擋板OA與斜面夾角多大時(shí)，OA所受壓力最??？解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受重力mg，斜面支持力F1，擋板OA的彈力F2的作用，處于平衡狀態(tài)，故有mg+ F1+ F2=0（矢量式）圖9由數(shù)學(xué)知識(shí)可知mg、F1、F2組成閉合矢量三角形，當(dāng)擋板與斜面的夾角由圖示位置變化時(shí)，mg大小方向不變，大F1大小改變方向不變，F(xiàn)2大小方向均改變，可作出一系列閉合三角形，由圖中不難看出當(dāng)F1F2時(shí)，即=時(shí)、八、利用數(shù)學(xué)定義域求極值有些習(xí)題，得出數(shù)學(xué)解析式后，單純從求數(shù)學(xué)知識(shí)無法求出極值或極值不存在，這時(shí)結(jié)物理知識(shí)確定自變量的定義域，進(jìn)而從數(shù)學(xué)角度求出極值。例12：如圖10所示電路，已知電源電動(dòng)勢(shì)E=6.3V，內(nèi)阻r =0.5，固定電阻R1=2R2=3，R3是阻值為5的滑動(dòng)變阻器，按下電鍵K，調(diào)節(jié)變阻器滑片，求通過電源電流的范圍。圖10圖11解：設(shè)間電阻為則外電路的總電阻根據(jù)閉合電路歐姆定律得整理得令易知當(dāng)時(shí)，從數(shù)學(xué)知識(shí)可知y不存在極小值，但是從物理知識(shí)可知的定義域?yàn)?5可作