2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程講義含解析新人教A版.docx

22.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程預(yù)習(xí)課本P4548，思考并完成以下問(wèn)題 1平面內(nèi)滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡是雙曲線？雙曲線的焦點(diǎn)、焦距分別是什么？2什么是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？1雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距點(diǎn)睛平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)，即|MF1|MF2|2a，關(guān)鍵詞“平面內(nèi)”當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，軌跡不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b2點(diǎn)睛(1)標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征：方程右邊是1，左邊是關(guān)于x，y的平方差，并且分母大小關(guān)系不確定(2)a，b，c三個(gè)量的關(guān)系：標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，與橢圓中b2a2c2相區(qū)別，且橢圓中ab0，而雙曲線中，a，b大小不確定1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程1中，a0，b0且ab()(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是ab()答案：(1)(2)(3)2已知雙曲線1，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(，0)，(，0)B(5,0)，(5,0)C(0，5)，(0,5) D(0，)，(0，)答案：B3平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)F1(5,0)和F2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|PF2|6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是()A.1(x4) B.1(x3)C.1(x4) D.1(x3)答案：D4雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(0,3)，F(xiàn)2(0，3)，b2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_答案：1雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)典例已知方程1對(duì)應(yīng)的圖形是雙曲線，那么k的取值范圍是()Ak5Bk5或2k2或k2 D2k0.即或解得k5或2k2.答案B雙曲線方程的辨識(shí)方法將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，假如雙曲線的方程為1，則當(dāng)mn0時(shí)，方程表示雙曲線若則方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若則方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線活學(xué)活用1已知雙曲線1，焦點(diǎn)在y軸上，若焦距為4，則a等于()A.B5C7 D.解析：選D根據(jù)題意可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由其焦距為4，得c2，則有c22a3a4，解得a.2在方程mx2my2n中，若mn0，則方程所表示的曲線是()A焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 D焦點(diǎn)在y軸上的橢圓解析：選C方程mx2my2n可化為1.由mn0知0，b0)，則有a2b2c28，1，解得a23，b25.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.1求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)定位：是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以確定方程的形式(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解2雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫(xiě)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1或1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可注意若焦點(diǎn)的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2ny21的形式，注意標(biāo)明條件mn0. 活學(xué)活用根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與雙曲線1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3，2)；(2)雙曲線過(guò)兩點(diǎn)P，Q.解：(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(4k16)將點(diǎn)(3，2)代入，解得k4或k14(舍去)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)所求雙曲線方程為Ax2By21(AB0)點(diǎn)，在雙曲線上，解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.雙曲線定義的應(yīng)用典例已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1的左、右焦點(diǎn)，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1|PF2|32.試求F1PF2的面積解因?yàn)镻是雙曲線左支上的點(diǎn)，所以|PF2|PF1|6，兩邊平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF290，所以SF1PF2|PF1|PF2|3216.一題多變1變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)若本例中雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不變，且其上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為10.求點(diǎn)P到F2的距離解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1，得a3，b4，c5.由雙曲線定義得|PF1|PF2|2a6，|10|PF2|6，解得|PF2|4或|PF2|16.2變條件若本例條件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其它條件不變，求F1PF2的面積解：由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，SF1PF2448.在解決雙曲線中與焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意定義中的條件|PF1|PF2|2a的應(yīng)用；與三角形有關(guān)的問(wèn)題要考慮正、余弦定理、勾股定理等另外在運(yùn)算中要注意一些變形技巧和整體代換思想的應(yīng)用 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1已知F1(8,3)，F(xiàn)2(2,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|PF2|10，則P點(diǎn)的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C直線 D一條射線解析：選DF1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，且|F1F2|10，所以滿足條件|PF1|PF2|10的點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為一條射線2橢圓1與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，則a的值是()A. B1或2C1或 D1解析：選D依題意知解得a1.3焦點(diǎn)分別為(2,0)，(2,0)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax21 B.y21Cy21 D.1解析：選A由雙曲線定義知，2a532，a1.又c2，b2c2a2413，因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.4“0k3”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A0k3，方程1表示雙曲線；反之，方程1表示雙曲線，(k1)(k5)0，解得1k5.故“0k0，b0)，則c，即a2b25.設(shè)P(x，y)，由線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，可知得即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，4)，代入雙曲線方程，得1.聯(lián)立，得a21，b24，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.故選B.6設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m_.解析：由點(diǎn)F(0,5)可知該雙曲線1的焦點(diǎn)落在y軸上，所以m0，且m952，解得m16.答案：167設(shè)點(diǎn)P在雙曲線1上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PF1|PF2|13，則F1PF2的周長(zhǎng)等于_解析：由題意知|F1F2|210，|PF2|PF1|6，又|PF1|PF2|13，|PF1|3，|PF2|9，F(xiàn)1PF2的周長(zhǎng)為391022.答案：228已知定點(diǎn)A，B且|AB|4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值為_(kāi)解析：如圖所示，點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上的點(diǎn)，當(dāng)P在M處時(shí)，|PA|最小，最小值為ac2.答案：9求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，5)，焦點(diǎn)在y軸上；(2)與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，它們的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.解：(1)因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)由題設(shè)知，a2，且點(diǎn)A(2，5)在雙曲線上，所以解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為(，4)(或(，4)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.10已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(3，2)且與橢圓4x29y236有相同的焦點(diǎn)(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)M在雙曲線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|MF1|MF2|6，試判斷MF1F2的形狀解：(1)橢圓的方程可化為1，焦點(diǎn)在x軸上，且c.故可設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)依題意得解得a23，b22.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，則有|MF1|MF2|2.又|MF1|MF2|6，解得|MF1|4，|MF2|2.又|F1F2|2c2，因此在MF1F2中，|MF1|邊最長(zhǎng)，由余弦定理可得cosMF2F10.所以MF2F1為鈍角，故MF1F2是鈍角三角形層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1已知F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|PF2|2a，當(dāng)a分別為3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別為()A雙曲線和一條直線B雙曲線和一條射線C雙曲線的一支和一條射線D雙曲線的一支和一條直線解析：選C依題意，得|F1F2|10.當(dāng)a3時(shí)，|PF1|PF2|2a6|F1F2|，可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)a5時(shí)，|PF1|PF2|2a10|F1F2|，可知點(diǎn)P的軌跡為以F2為端點(diǎn)的一條射線故選C.2已知雙曲線過(guò)點(diǎn)P1和P2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.1 D.1解析：選B因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)位置不確定，所以設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，則1，所以y，即|AF1|.又|AF2|AF1|2a24，所以|AF2|24.即所求距離分別為，.答案：，7已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別為橢圓x25y25的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足關(guān)系式sin Bsin Asin C.(1)求線段AB的長(zhǎng)度；(2)求頂點(diǎn)C的軌跡方程解：(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為y21.a25，b21，c2a2b24，則A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|21)8設(shè)圓C與兩圓(x)2y24，(x)2y24中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切(1)求C的圓心軌跡L的方程；(2)已知點(diǎn)M，F(xiàn)(，0)，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)求|MP|FP|的最大值解：(1)兩圓的圓心分別為A(，