其它類型的數(shù)字濾波器.ppt

第8章 其它類型的數(shù)字濾波器,8.1 幾種特殊的濾波器 8.2 格型濾波器 8.3 簡(jiǎn)單整系數(shù)數(shù)字濾波器 8.4 采樣率轉(zhuǎn)換濾波器,8.1 幾種特殊的濾波器,8.1.1 全通濾波器 如果濾波器的幅頻特性對(duì)所有頻率均等于常數(shù)或 1， 即 |H(e j)|=1, 02 (8.1.1) 則該濾波器稱為全通濾波器。 全通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可表示成 H(e j)=e j() (8.1.2),全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)一般形式如下式：,(8.1.3),或者寫成二階濾波器級(jí)聯(lián)形式：,(8.1.4),下面證明(8.1.3)式表示的濾波器具有全通幅頻特性。,(8.1.5),式中，,由于系數(shù)ak是實(shí)數(shù)， 所以,圖 8.1.1 全通濾波器一組=零極點(diǎn)示意圖,觀察圖 8.1.1， 如果將零點(diǎn)zk和極點(diǎn)p*k組成一對(duì)， 將零點(diǎn)z*k與極點(diǎn)pk組成一對(duì)， 那么全通濾波器的極點(diǎn)與零點(diǎn)便以共軛倒易關(guān)系出現(xiàn)， 即如果z-1k為全通濾波器的零點(diǎn)， 則z*k必然是全通濾波器的極點(diǎn)。 因此， 全通濾波器系統(tǒng)函數(shù)也可以寫成如下形式：,(8.1.6),8.1.2 梳狀濾波器 例如， , 0a1， 零點(diǎn)為 1， 極點(diǎn)為a, 所以H(z)表示一個(gè)高通濾波器。 以zN代替H(z)的z， 得到：,(8.1.7),圖 8.1.2 梳狀濾波器 的零極點(diǎn)分布和幅頻響應(yīng)特性(N=8),8.1.3 最小相位系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng)在工程理論中較為重要， 下面給出最小相位系統(tǒng)的幾個(gè)重要特點(diǎn)。 (1) 任何一個(gè)非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)均可由一個(gè)最小相位系統(tǒng)Hmin(z)和一個(gè)全通系統(tǒng)Hap(z)級(jí)聯(lián)而成， 即 H(z)=Hmin(z)Hap(z) (8.1.8) 證明 假設(shè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)僅有一個(gè)零點(diǎn)在單位圓外， 令該零點(diǎn)為z=1/z0, | z0 |1, 則H(z)可表示為,(8.1.9),(2) 在幅頻響應(yīng)特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)集 中， 最小相位系統(tǒng)的相位延遲(負(fù)的相位值)最小。 高階全通系統(tǒng)總可以由一階和二階全通系統(tǒng)函數(shù) 相乘來(lái)表示。 一階和二階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別如 (8.1.10)和(8.1.11)式：, 對(duì)(8.1.10)式，,(8.1.10),(8.1.11),其中a為實(shí)數(shù)， 且|a|1；,圖 8.1.3 一階全通系統(tǒng)具有非正=相位的幾何證明圖,由于上式中分?jǐn)?shù)部分的分子、 分母是共軛的， 因此相角相反， 所以 argHap(e j)=-2 arg(e j -a) 對(duì) 0， 關(guān)于arg(e j -a)作圖如圖 8.1.3 所示， 圖中=arg(e j -a)。; 由圖 8.1.3可見，, 對(duì)(8.1.11)式，,故,畫出上式中的各相角如圖 8.1.4 所示。 圖中 1=arg(ej -a)， 2=arg(ej-a*)。 由圖可看出，,根據(jù)三角形外角大于內(nèi)角的定理有,圖 8.1.4 二階全通系統(tǒng)具有非正=相位的幾何證明圖,由(8.1.8)式有,由初值定理可得出,由于,對(duì)因果穩(wěn)定系統(tǒng)， |ai|1, 所以 |h(0)|hmin(0)| (8.1.12) (8.1.12)式說(shuō)明， 在幅頻特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)集中， 最小相位系統(tǒng)對(duì)(n)的響應(yīng)波形延遲最小。 如果定義h(n)的積累能量E(m)為,則最小相位系統(tǒng)的最小能量延遲可用(8.1.13)式 ， 即。,由于|H(e j)|=|Hmin(e j)|, 即,由parseval定理有,(3) 最小相位系統(tǒng)保證其逆系統(tǒng)存在。 給定一個(gè) 因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)=B(z)/A(z)， 定義其逆系統(tǒng)為,(8.1.14),8.2 格型濾波器,8.2.1 全零點(diǎn)格型濾波器 一個(gè)M階的FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可寫成如下形式：,(8.2.1),其中， b(i)M表示M階FIR濾波器的第i個(gè)系數(shù)， 并假設(shè)首項(xiàng)系數(shù)b0=1。 H(z)對(duì)應(yīng)的格型結(jié)構(gòu)如圖 8.2.1 所示。,圖 8.2.1 全零點(diǎn)格型濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),圖 8.2.2 全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)=基本單元,下面推導(dǎo)由H(z)=B(z)的系數(shù)bi求出格型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)ki的逆推公式。圖 8.2.2 所示基本格型單元的輸入、 輸出關(guān)系如下式： em(n)=e m-1 (n)+r m-1(n-1)km (8.2.2a) rm (n)=e m-1 (n)km+rm-1 (n-1) (8.2.2b) 且 e0(n)=r0 (n)=x(n) (8.2.2c) y(n)=em (n) (8.2.2d),設(shè)Bm(z), Jm(z)分別表示由輸入端x(n)至第m個(gè)基本單元上、 下輸出端em(n)、 rm(n)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)， 即,(8.2.3a),(8.2.3b),當(dāng)m=M時(shí)， Bm(z)=B(z)。 對(duì)(8.2.2)式兩邊進(jìn)行Z變換得,(8.2.4a),(8.2.4b),對(duì)(8.2.4a)和(8.2.4b)式分別除以E0(z)和R0(z)， 再由(8.2.3a)和(8.2.3b)式有,(8.2.5),(8.2.6),由(8.2.3)式有B0(z)=J0(z)=1, 所以,令m=2, 3, :, M， 可推出,(8.2.7),將上式分別代入(8.2.5)和(8.2.6)式得,(8.2.8a),(8.2.8b),下面導(dǎo)出km與濾波器系數(shù)b(m)m之遞推關(guān)系。 將(8.2.3a)式代入(8.2.8a)及(8.2.8b)式， 利用待定系數(shù)法可得到如下兩組遞推關(guān)系：,(8.2.9),(8.2.10),例 8.2.1 FIR濾波器由如下差分方程給定：,求其格型結(jié)構(gòu)系數(shù)， 并畫出格型結(jié)構(gòu)圖。 解 對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行Z變換的H(z)=B3(z)：,圖 8.2.3 H(z)的格型結(jié)構(gòu)流圖,8.2.2 全極點(diǎn)(IIR)格型濾波器 IIR濾波器的格型結(jié)構(gòu)受限于全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)， 可以根據(jù)FIR格型結(jié)構(gòu)開發(fā)。 設(shè)一個(gè)全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)由下式給定：,(8.2.12),圖 8.2.4 全極點(diǎn)(IIR)濾波器格型結(jié)構(gòu),例 8.2.2 設(shè)全極點(diǎn)IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 求其格型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)， 并畫出格型結(jié)構(gòu)。,解,由例 8.2.1 所求FIR格型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)：,圖 8.2.5 例 8.2.2 中的IIR格型結(jié)構(gòu),8.3 簡(jiǎn)單整系數(shù)數(shù)字濾波器,8.3.1 建立在多項(xiàng)式擬合基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)單整系數(shù)濾波器 1. 多項(xiàng)式擬合的基本概念 設(shè)序列x(n)中的一組數(shù)據(jù)為x(i), i=-M, :, 0, :, M， 我們可以構(gòu)造一個(gè)p階多項(xiàng)式fi來(lái)擬和這一組數(shù)據(jù)x(i):,總的擬合誤差為,(8.3.1),(8.3.2),為了使擬合滿足最小均方誤差準(zhǔn)則， 令E對(duì)各系數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零， 即令,則(8.3.3)式可寫成如下形式：,(8.3.3),(8.3.4),2.最佳擬合模板與簡(jiǎn)單整系數(shù)FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n) 在實(shí)際應(yīng)用中， 并不將fi的p+1 個(gè)系數(shù)全求出來(lái)， 而是只求出a0, 就可實(shí)現(xiàn)對(duì)x(n)的最佳擬合。 由(8.3.1)式可知， 例如， 當(dāng)M=2, p=2 時(shí)， 為五點(diǎn)二次(拋物線)多項(xiàng)式擬合。 據(jù)(8.3.4)式， 并考慮當(dāng)k+r=奇數(shù)時(shí)sk+r=0， 有,(8.3.5),其中， 代入上式可得,(8.3.6),(8.3.7),(8.3.8),圖 8.3.1 低通濾波器幅頻特性 (a) M=2, p=2; (b) M=3, p=3,8.3.2 建立在零極點(diǎn)對(duì)消基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)單整系數(shù)濾波器 如前所述， 在單位圓上等間隔分布N個(gè)零點(diǎn)， 則構(gòu)成“梳狀濾波器”。 如果在z=1 處再設(shè)置一個(gè)極點(diǎn)， 對(duì)消該處的零點(diǎn)， 則構(gòu)成低通濾波器， 其系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)分別為,(8.3.9a,(8.3.9b),圖 8.3.2 低通濾波器零、 極點(diǎn)分布及幅頻特性(N=10) (a) (8.3.9a)式的零、 極點(diǎn)分布圖； (b) (8.3.9b)式的幅頻特性,基于同樣的思想， 在z=-1 處設(shè)置一個(gè)極點(diǎn)對(duì)消該處的零點(diǎn)， 則構(gòu)成高通濾波器， 其系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)函數(shù)分別為,(8.3.10a),(8.3.10b),圖 8.3.3 高通濾波器零、 極點(diǎn)分布及幅頻特性 (a) (8.3.10a)式零、 極點(diǎn)分布； (b) 幅頻特性,假設(shè)我們要求帶通濾波器的中心頻率為0， 0 0 ， 應(yīng)當(dāng)在z=ej0和z= e-j0處設(shè)置一對(duì)共軛極點(diǎn)， 則帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和頻響函數(shù)為,(8.3.11a),(8.3.11b),圖 8.3.4 帶通濾波器零、 極點(diǎn)分布及幅頻特性(N=12, 0=/6) (a) (8.3.11a)式的零、 極點(diǎn)分布； (b) 幅頻特性曲線,例如， 取理想全通濾波器頻響為 HAP(e j)=ce -jm, m為正整數(shù)， c為常數(shù) 要從HBP(ej)中減去帶通濾波器HBP (ej)時(shí)， 二者的相位特性必須一致。 為此， HBP(z)取為如下形式(若取(8.3.11a)式， 存在一常數(shù)相移/2)：,(8.3.12a),相應(yīng)的頻響函數(shù)為,(8.3.12b),取HAP(ej)中的m=N/2-1即可滿足相位特性一致條件， 帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和頻響函數(shù)分別為,(8.3.13a),(8.3.13b),(8.3.14),例 8.3.1 設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單整系數(shù)低通濾波器， 要求f60 Hz時(shí)， 衰減不大于 3 dB， 阻帶最大衰減s=40 dB， 采樣頻率fs=1200 Hz。 解 由(8.3.9b)和(8.3.14)式知道,(8.3.15),式中有兩個(gè)未知數(shù)N和k。 由已知條件可知： 通帶邊界頻率fp=60 Hz， ap=3 dB， 相應(yīng)的數(shù)字濾波器的 3 dB通帶邊界頻率為,為了書寫簡(jiǎn)單， 令,(8.3.16),(8.3.17),(8.3.18),當(dāng)N較大時(shí)， sin(3/2N)3/2N， 所以， 可用 3/2N代替sin(3/2N)， 得到:,頻響的主瓣寬度由N確定， 當(dāng)p給定時(shí)， p與 主瓣寬度有關(guān)。 所以， 為了求得N值， 應(yīng)利用下式：,當(dāng)p很小時(shí)， sin(p/2) p /2， 并令N p /2=x， 則,因?yàn)樵趐處sinx/x恒為正， 所以有,將sinx/x展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)：,僅取前兩項(xiàng)近似得,代入p=3 dB, k=3, 解出x=0.8078, N=5.14， 取N=6， 所求低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為,(8.3.19),可求出|HLP(ej0)|=216， 如果希望|HLP(ej0)|=1, 則取,例 8.3.2 在信號(hào)采集時(shí)， 往往會(huì)受到 50 Hz電源頻率干擾， 現(xiàn)希望設(shè)計(jì)一個(gè)整系數(shù) 50 Hz陷波器， 濾除 50 Hz干擾。 要求陷波器阻帶盡量窄， 最好在 50 Hz2 Hz以內(nèi)， 而通帶應(yīng)盡量平坦。 給定采樣頻率 fs=400 Hz， 試設(shè)計(jì)該陷波器。,解 由前述可知， 這類整系數(shù)陷波器要用一個(gè)全通濾波器減去一個(gè)帶通濾波器實(shí)現(xiàn)。 所以， 該題的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)一個(gè)滿足要求的帶通濾波器。 如前述， 帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)取(8.3.12a)式的形式：,(8.3.20),由于第一個(gè)極點(diǎn)z=ej/4一定是HBP(z)的一個(gè)零點(diǎn)， 所以將其代入(8.3.20)式分子中， 應(yīng)有,為整數(shù),所以， N/4=2l+1, N=4(2l+1), 即N應(yīng)是 4 的奇數(shù)倍， 即,(8.3.21a),(8.3.21b),其頻響函數(shù)為,(8.3.24a),(8.3.24b),圖 8.3.5 50 Hz數(shù)字陷波器幅頻特性 (a) l=50, k=1; (b) l=24, k=1; (c) l=24, k=2,8.4 采樣率轉(zhuǎn)換濾波器,8.4.1 信號(hào)的整數(shù)倍抽取 設(shè)x(n1, T1)是連續(xù)信號(hào)xa(t)的采樣序列， 采樣率F1=1/T1(Hz)， T1稱為采樣間隔， 單位為秒， 即 x(n1T1)=xa(n1T1) (8.4.1) T2=DT1 (8.4.2),圖中n1和n2分別表示x(n1T1)和x(n2T2)序列的序號(hào)， 于是有 y(n2T2)=x(n2DT1) (8.4.3) 當(dāng)n1=n2D時(shí)， y(n2T2)=x(n1T1)。,圖 8.4.1 數(shù)字信號(hào)的抽取,如果x(n1T1)是連續(xù)信號(hào)xa(t)的采樣信號(hào)， 則xa(t)和x(n1T1)的傅里葉變換Xa(j)和X(ej1)將分別是,(8.4.4),(8.4.5),其中， =2f(rad/s), f為模擬頻率變量， 1為 數(shù)字頻率。,由(2.4.7)式有,(8.4.6),(8.4.7),為了對(duì)抽樣前后的頻譜進(jìn)行比較， 作圖時(shí)均以模擬角頻率為自變量(橫坐標(biāo))， 為此按(8.4.6)式將X(ej1)寫成的函數(shù)為,(8.4.8),圖 8.4.2 xa(t), x(n1T1)及其傅里葉變換,圖 8.4.3 抽取后的y(n2T2)及其頻譜Y(ej2),圖 8.4.4 帶有抗混疊濾波器的抽取系統(tǒng)框圖,圖 8.4.5 信號(hào)在抽取前后的時(shí)域和頻域示意圖,在抽取前先令x(n1T1)乘以周期序列 (n1T1)， 即,其它,(8.4.9),(8.4.10),其中， (n1T1)定義如下：,于是 (n1T1) 的DFS展開式為,將(8.4.12)式代入(8.4.9)式得,(8.4.13),圖 8.4.6 對(duì)x(n1T1)的直接抽取和等效抽取,下面推導(dǎo)Y(e j2)與X(e j1)的關(guān)系：,令,則,(8.4.14),(8.4.15),式中， .所以有(省去z2的下標(biāo)),(8.4.16),圖 8.4. 7 在csa2/2時(shí)， 抽取前后信號(hào)的時(shí)域和頻域關(guān)系示意圖,圖 8.4.8 在csa2/2時(shí)， 抽取前后信號(hào)的時(shí)域和頻域關(guān)系示意圖,例 8.4.1 一整數(shù)倍抽取系統(tǒng)如圖 8.4.9所示， 試求輸出序列y(n2T2)。 解 設(shè)輸入序列x(n1T1)是已知的， 且設(shè)抽取后信號(hào)的采樣率仍滿足采樣定理。,圖 8.4.9 整數(shù)倍抽取系統(tǒng),圖中 x0(n1T1)=x(n1T1) x1(n1T1)=x(n1-1)T1 所以 y0(n2T2)=y0(n2DT1)=x0(n2DT1) y1(n2T2)=y1(n2DT1)=x1(n2DT1)=x(n2D-1)T1 故 y2(n2T2)=y0(n2T2)+y1(n2T2) =x(n2DT1)+x(n2D-1)T1,8.4.2 信號(hào)的整數(shù)倍內(nèi)插 1. 整數(shù)倍內(nèi)插的概念與內(nèi)插方法 從理論上講， 可以對(duì)已知的采樣序列x(n1T1)進(jìn)行D/A轉(zhuǎn)換， 得到原來(lái)的模擬信號(hào)x(t)， 然后再對(duì)x(t)進(jìn)行較高采樣率的采樣得到y(tǒng)(n2T2)， 這里 T1=IT2 (8.4.17),圖 8.4.10 內(nèi)插概念示意圖,圖 8.4.11 零值內(nèi)插方案的系統(tǒng)框圖 圖 8.4.12 內(nèi)插過(guò)程中的各序列,2. 整數(shù)倍內(nèi)插的頻域解釋 為了回答上面的問(wèn)題， 我們?cè)O(shè)x(n1T1)為模擬信號(hào)x(t)的采樣序列， 并假定x(t)及其傅里葉變換X(j)如圖 8.4.13所示。,圖 8.4.13 x(t)和X(j)的示意圖,圖 8.4.14 x(n1T1), y(n2T2)和 I=3,下面分析圖 8.4.11 中v(n2T2)的頻譜， 最后討論為了得到滿足插值要求的y(n2T2)(如圖 8.4.14 所示)， 對(duì)h(n2T2)的技術(shù)要求。,其它,(8.4.18),(8.4.19),圖 8.4.15 和 頻譜圖(I=3),圖 8.4.16 低通濾波器的理想幅頻特性,3.內(nèi)插器的輸入、 輸出關(guān)系 1) 時(shí)域輸入、 輸出關(guān)系 由圖8.4.11， 有,及,其它,所以,(8.4.21),2) 頻域輸入、 輸出關(guān)系,(8.4.22),(8.4.23),由(8.4.19)式知道 , 所以,在復(fù)頻域分析圖 8.4.11 時(shí)， 其輸入x(n1T1)的 Z變換X(z1)與輸出y(n2T2)的Z變換Y(z2)的關(guān)系推 導(dǎo)如下：,(8.4.24),(8.4.25),為I的整數(shù)倍即,所以,(8.4.26)式中所有變量都為z2, 所以可去掉下標(biāo)得,(8.4.26),(8.4.27),4.整數(shù)倍抽取和內(nèi)插在數(shù)字語(yǔ)音系統(tǒng)中的應(yīng)用 1) 數(shù)字語(yǔ)音系統(tǒng)中信號(hào)的采樣過(guò)程及存在的問(wèn)題