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基于非線性混沌時(shí)序的系統(tǒng)重構(gòu)、預(yù)測技術(shù)及其應(yīng)用頁碼: 9 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目( ) 馬軍海馬軍海, 男， 65生，山東萊陽人,教授,二站博士(后)，已在國內(nèi)外核心期刊發(fā)表論文三十余篇，主要研究方向:復(fù)雜非線性動(dòng)力系統(tǒng)、復(fù)雜混沌時(shí)序重構(gòu)及其工程應(yīng)用。（天津大學(xué)管理學(xué)院, ）盛昭瀚（南京大學(xué)管理科學(xué)與工程研究院, ）摘要 如何認(rèn)識(shí)具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)存在兩個(gè)基本的困難,一是系統(tǒng)本身的復(fù)雜性，二是我們往往只能通過某種“觀測器”采集到系統(tǒng)某一狀態(tài)的混沌時(shí)間序列，這樣，就需要一種技術(shù)，它可以在很大程度上通過系統(tǒng)整體行為的一維“投影”來“還原”系統(tǒng)的整體行為。本文將介紹作者近年來在實(shí)現(xiàn)這一技術(shù)路線中所開展的若干工作。關(guān)鍵詞 非線性 混沌時(shí)序 分形 相空間重構(gòu) 參數(shù)辨識(shí) 預(yù)測技術(shù)1 引言從系統(tǒng)科學(xué)的角度看，直接建立一個(gè)系統(tǒng)的完備的解析形式的數(shù)學(xué)模型，無疑地可以認(rèn)為是“完全徹底地”了解了這一系統(tǒng)，但是事實(shí)上，第一由于系統(tǒng)運(yùn)行機(jī)理與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身的復(fù)雜性，第二由于即使已知一個(gè)解析模型，其解析解也還不易求得，因此常常需要我們解決如何在無法獲得系統(tǒng)模型的情況下認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的本質(zhì)特征，一個(gè)最常遇到的問題便是通過某種“觀測器”采集到系統(tǒng)的某一狀態(tài)的時(shí)間序列，顯然，這一序列是系統(tǒng)整體行為的一維“投影”，而我們又只能通過它來“還原”系統(tǒng)的整體行為130，特別是隨著混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，人們逐漸認(rèn)識(shí)到系統(tǒng)整體行為中某些本質(zhì)特征往往不是隨機(jī)原因而是非線性動(dòng)力學(xué)的原因造成的，一般地，在排除了由高維或無窮維動(dòng)力系統(tǒng)所產(chǎn)生的行為以及由隨機(jī)過程產(chǎn)生的行為外，一個(gè)混沌時(shí)間序列就可視為一個(gè)確定性動(dòng)力系統(tǒng)的結(jié)果。一個(gè)重要的反問題即如何由混沌時(shí)間序列來恢復(fù)原動(dòng)力系統(tǒng)1,7,8,10,11,14,16,20.21，具體地說，要解決以下幾個(gè)問題： (1) 確定時(shí)間序列的混沌特性及其所在動(dòng)力系統(tǒng)的維數(shù)24,!315,19,2230; (2) 建立這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的坐標(biāo)框架4,9,10,11,13,; (3) 在此框架下分離噪聲、刻畫并恢復(fù)原復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)并進(jìn)行預(yù)測、調(diào)控等工作4,6,17,18。 本文將介紹作者近年來在實(shí)現(xiàn)這一技術(shù)路線中所開展的若干工作與成果。2 時(shí)間序列混沌特征的判定如何判定時(shí)序的混沌或隨機(jī)特性一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)，從決定論的角度出發(fā)，已有了許多檢測確定性混沌的方法。如Tsay22的非線性檢驗(yàn)方法；Engle23的ARCH模型的檢驗(yàn)方法；相空間圖、遞歸圖、關(guān)聯(lián)維數(shù)、Lyapunov 指數(shù)、相關(guān)系數(shù)、頻譜圖、Poincare截面以及分諧波頻閃觀測器等、檢驗(yàn)獨(dú)立性的雙譜方法、基于BDS統(tǒng)計(jì)量的非線性檢驗(yàn)方法等。文獻(xiàn)19,24,25給出了對現(xiàn)實(shí)的時(shí)序不同特性問題的判別的基本方法，即相位隨機(jī)化方法。馬軍海、盛昭瀚32利用相位隨機(jī)化方法，研究了服從不同分布的隨機(jī)化方法對判定實(shí)測數(shù)據(jù)特性歸屬的影響，并將其成功地用于經(jīng)濟(jì)時(shí)序的非線性特征判定，為對時(shí)序建立合適的預(yù)測模型提供了指南。3 分形維數(shù)的相關(guān)特性分析研究分維是描述具有復(fù)雜性的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要特征量，分維的定義有很多種，而且根據(jù)不同的定義算得的其最終值也稍有差別。經(jīng)過近幾年的研究，常用的較多的分維主要有: Hausdorff維數(shù), 計(jì)盒維數(shù), 信息維數(shù),關(guān)聯(lián)維數(shù), 廣義維數(shù)?？梢宰C得4,13嵌入維數(shù)與分維數(shù)之間的關(guān)系式: (1)即計(jì)算時(shí)略去噪聲影響,只要取最少的嵌入維數(shù)大于或等于分維數(shù)，從理論上都不會(huì)對產(chǎn)生影響?？梢宰C得4,13的極大似然估計(jì)為: (2)由(6)式得的方差為: (3)由于實(shí)際問題中N的取值不可能無窮大而要受到諸多的限制，取則的極大似然估計(jì)為: , (4) 由(3)式知值 與所取的樣本的個(gè)數(shù)成反比，實(shí)際問題中適當(dāng)?shù)娜颖敬笠恍┛蓽p少，以便使的估計(jì)值更準(zhǔn)確。采用G-P算法計(jì)算動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)時(shí)，諸多因素可能影響估計(jì)精度。對誤差的來源的詳細(xì)討論見文獻(xiàn)4,13。4 混沌時(shí)序動(dòng)力系統(tǒng)的非線性重構(gòu)技術(shù)定量刻畫復(fù)雜非線性動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜性的兩個(gè)最常用的量就是分維數(shù)和李雅普諾夫指數(shù)，它們分別度量了非線性動(dòng)力系統(tǒng)在其相空間的幾何結(jié)構(gòu)的規(guī)則性或復(fù)雜性程度。相空間重構(gòu)法是根據(jù)有限的實(shí)測數(shù)據(jù)來重構(gòu)吸引子以研究系統(tǒng)動(dòng)力行為的方法，其基本思想是：系統(tǒng)中任一分量的演化都是由與之相互作用著的其它分量所決定的，因此這些相關(guān)分量的信息就隱藏在任一分量的發(fā)展過程中，為了重構(gòu)一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)空間只需考察一個(gè)分量，并將它在某些固定的時(shí)間延遲點(diǎn)上的測量作為新維處理，即延遲值被看成是新的坐標(biāo)，它們確定了某個(gè)多維狀態(tài)空間中的一點(diǎn)。重復(fù)這一過程并測量相對于不同時(shí)間的各延遲量，就可以產(chǎn)生出許多這樣的點(diǎn)，它可以將吸引子的許多性質(zhì)保存下來，即用系統(tǒng)的一個(gè)觀察量可以重構(gòu)出原動(dòng)力系統(tǒng)模型，可以初步確定系統(tǒng)的真實(shí)相空間的維數(shù)。為了能夠從“一維”時(shí)間序列中“還原”動(dòng)力系統(tǒng)相空間的幾何結(jié)構(gòu), Jone F.Gibson16 等人采用時(shí)間延遲技術(shù)重構(gòu)相空間.他們把一維時(shí)間序列嵌入到m維空間中： (5)讓來表示t時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)。其中為滯時(shí),m為嵌入空間維數(shù),從而建立了相空間到嵌入空間的映射。它建立了時(shí)間序列波動(dòng)和動(dòng)力系統(tǒng)空間特征之間的橋梁。Takens 和Mane27證明: 只要m2D+1(動(dòng)力系統(tǒng)重構(gòu)的充分但不必要條件),其中D為吸引子的分維,是在吸引子附近一個(gè)光滑的一對一映射，從而嵌入空間中吸引子的幾何特性與原動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的吸引子的幾何特性等價(jià)。 實(shí)際上, 只要m D嵌入空間中點(diǎn)集的維數(shù)就等同于吸引子的維數(shù)。J.P.Eckman等人已證明m可在dm2d+1中取值。Takens27定理是在無噪聲的情況下考慮的，Sauer等把延遲嵌入定理推廣到了具有噪聲的情況。對一組長為N的實(shí)測時(shí)間序列,其中, 是樣本時(shí)間，則可構(gòu)造的m維向量 , n = 1,2, . , , 其中是延遲時(shí)間間隔。是延遲時(shí)間。在中以或范數(shù)定義到的距離，即 或 (6)以下在不特別強(qiáng)調(diào)的情況下，記中的范數(shù)為，但通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)范數(shù)在計(jì)算距離時(shí)實(shí)現(xiàn)較快。4.1最佳延遲時(shí)間間隔 的選取由Takens27定理知，在沒有噪聲無限長的精確數(shù)據(jù)情況下可以任意選擇，但實(shí)測時(shí)間序列是有限長的，且一般都有噪聲污染，只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來選擇，其基本思想是使與具有某種程度的獨(dú)立但又不完全無關(guān)，以便它們能在重構(gòu)的相空間中作為獨(dú)立的坐標(biāo)處理。如果太小，則與的值充分靠近，以至不能區(qū)分它們，從實(shí)際觀點(diǎn)看不能提供兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)，導(dǎo)致吸引子重構(gòu)非?？拷嗫臻g中的對角線。重構(gòu)的相空間總是雜亂無規(guī)則的；如果太大，則與可能會(huì)隨意地不相關(guān)，吸引子的軌道會(huì)投影在兩個(gè)完全不相關(guān)的方向上，不能反映相軌跡的真實(shí)演化規(guī)則。在實(shí)際應(yīng)用中主要有以下三種經(jīng)驗(yàn)型方法選取。一是線性自相關(guān)函數(shù)法；二是平均互信息法；三是重構(gòu)展開法。4.2 嵌入維數(shù)m的選取關(guān)于嵌入維數(shù),Taken27, Sauer29等先后從理論上證明了當(dāng)時(shí)可獲得一個(gè)吸引子的分形維數(shù)，但這只是一個(gè)充分條件，對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選擇m沒有幫助。如果僅僅是計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)，Ding28等證明了對無噪聲，無限長的數(shù)據(jù)只要取m為大于關(guān)聯(lián)維數(shù)的最小整數(shù)即可。但對長度有限且具噪聲的數(shù)據(jù)，m要比大的多。如果m選的太小，則吸引子可能折迭以致在某些地方自相交。這樣一來在相交區(qū)域的一個(gè)小鄰域內(nèi)可能會(huì)包含來自吸引子不同部分的點(diǎn)。如果m選的太大，理論上是可以的，但實(shí)際應(yīng)用中，隨著m的增加會(huì)大大增加吸引子的幾何不變量的計(jì)算工作量。在實(shí)際應(yīng)用中通常的方法是計(jì)算吸引子的某些幾何不變量，逐漸增加m直到這些不變量停止變化為止。從理論上講，由于這些不變量是吸引子的幾何性質(zhì)，當(dāng)m大于嵌入維數(shù)時(shí)幾何結(jié)構(gòu)被完全打開，因此不變量與嵌入維數(shù)無關(guān)了，取吸引子的幾何不變量停止變化時(shí)的m為嵌入維數(shù)。這種方法的缺點(diǎn)是對數(shù)椐要求較高（無噪聲），計(jì)算量大且比較主觀，從預(yù)測誤差和幾何觀點(diǎn)看，下面兩種方法比較容易實(shí)現(xiàn)。一是預(yù)測誤差最小法，二是虛假鄰點(diǎn)法。在上面的各種方法中，為了確定最佳延遲時(shí)間間隔，需先確定嵌入維數(shù)，而為了確定嵌入維數(shù)，需先固定延遲時(shí)間間隔，這本身是矛盾的，實(shí)際上這兩個(gè)參數(shù)應(yīng)同時(shí)確定。實(shí)際計(jì)算中King31提出了先選定(m-1)值，在增加m的同時(shí)減小(保持(m-1)為常數(shù))來選取最佳的m和值的方法。4.3 相空間重構(gòu)的軌線法和Legendre坐標(biāo)法:相空間重構(gòu)的基本方法有三種,它們分別是時(shí)間延遲法,導(dǎo)數(shù)法和基本分量坐標(biāo)法。到目前為止這三種方法之間的關(guān)系還沒有完全弄清楚。Gibson et al.最近指出基本分量坐標(biāo)和由Packard et al.26and Takens27所提出的導(dǎo)數(shù)坐標(biāo)之間存在著非常緊密的聯(lián)系;更進(jìn)一步地,對于很少的延遲時(shí)間他們提出了基本分量坐標(biāo)是基于簡化了的勒讓德多項(xiàng)式的觀點(diǎn)。因此，在最近的幾年里對不同相空間重構(gòu)方法的研究便成為此領(lǐng)域研究的焦點(diǎn)。與此相關(guān)的是求出比較好的重構(gòu)方法中的各相關(guān)參數(shù)值。 陳予恕,馬軍海6給出了用基本分量坐標(biāo)法重構(gòu)相空間的相應(yīng)結(jié)論。馬軍海，陳予恕7在國內(nèi)外學(xué)者工作的基礎(chǔ)上，應(yīng)用勒讓德坐標(biāo)法重構(gòu)動(dòng)力系統(tǒng)的相空間，討論了時(shí)序間隔對相空間重構(gòu)工作的影響，并用所提方法重構(gòu)了系統(tǒng)的吸引子。5 動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)的重構(gòu)預(yù)測技術(shù)應(yīng)用由于混沌吸引子的內(nèi)在行為具有相當(dāng)?shù)牟灰?guī)則性及混沌吸引子具有十分復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu),且不同的混沌吸引子具有的復(fù)雜結(jié)構(gòu)也各不相同.所以一般來說,不同的混沌實(shí)測數(shù)據(jù)應(yīng)該建立不同的混沌模型。最近十幾年來國內(nèi)外學(xué)者用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論,小波理論1718等對非線性時(shí)序開展了研究, Martin Casdagli, M.E.Davies,Alexet Potapov21等人分別對混沌時(shí)序的建模及預(yù)測開展了初步的研究并取得了一定的成果。馬軍海,陳予恕6,25在國內(nèi)外學(xué)者工作的基礎(chǔ)上，對可以描述非線性系統(tǒng)的極限環(huán)、共振跳躍現(xiàn)象、幅頻依賴特性及混沌特征的EAR(n)模型進(jìn)行了改進(jìn),應(yīng)用隨機(jī)搜索方法對模型參數(shù)進(jìn)行初步估計(jì)，然后采用最優(yōu)化理論估計(jì)了模型參數(shù)；馬軍海在其博士后二站研究報(bào)告中，給出了一種基于小波理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論的三階段多尺度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型，并用聚類的方法進(jìn)行了權(quán)值和閾值的初始化和反向傳播算法進(jìn)行權(quán)值學(xué)習(xí)，該方法具有較快的收斂速度，同時(shí)還能自適應(yīng)選擇時(shí)序的不同頻率成分，對時(shí)序進(jìn)行降噪，適合于趨勢、細(xì)節(jié)等不同目的的預(yù)測，并成功地將多尺度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用于股票數(shù)據(jù)的單步預(yù)測。最終對預(yù)測方法進(jìn)行了評(píng)價(jià)。6 計(jì)算結(jié)果本文取如下2組數(shù)據(jù)分別對其理論進(jìn)行研究：(1)取Henon map 標(biāo)準(zhǔn)混沌的情況10000, 前1000點(diǎn)作為暫態(tài)點(diǎn)去掉，把后10000點(diǎn)作為(1)組原始數(shù)據(jù)點(diǎn)。(2)用我們所得到的混沌數(shù)據(jù)測定3225點(diǎn)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，作為組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其時(shí)間歷程圖如圖2。圖2為第2組數(shù)據(jù)真值及其預(yù)測值的計(jì)算結(jié)果,相對誤差超過40的預(yù)測長度為20點(diǎn)。圖3為第1組數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)圖,橫標(biāo)為w0, 縱標(biāo)為w2.嵌入維數(shù)m=3, =3.圖4為第2組數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)圖,橫標(biāo)為w0,縱標(biāo)為w1豎坐標(biāo)為w2.嵌入維數(shù)m=3, =0.024. 圖1 第2組實(shí)驗(yàn)混沌數(shù)據(jù)的時(shí)間歷程圖 圖2 第2組數(shù)據(jù)真值及其預(yù)測值對照圖 為數(shù)據(jù)真值, 另一條為數(shù)據(jù)預(yù)測值 圖3 第1組數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)圖,橫標(biāo)為w0, 圖4 第2組數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)圖,橫標(biāo)為w0, 縱標(biāo)為w2.嵌入維數(shù)m=3, =3 縱標(biāo)為w1豎坐標(biāo)為w2.嵌入維數(shù)m=3,=0.0247 結(jié)論1) 只要所取得嵌入維數(shù)大于混沌時(shí)序的實(shí)際維數(shù)，則其對分維數(shù)無質(zhì)的影響。2) 點(diǎn)數(shù)對分維數(shù)的計(jì)算結(jié)果有影響, 對低維的混沌動(dòng)力系統(tǒng)最少應(yīng)大于2000點(diǎn), 分維數(shù)的計(jì)算時(shí)2范數(shù)，3范數(shù)，.等價(jià)于范數(shù)，這樣在具體計(jì)算時(shí)我們可取在算法上易實(shí)現(xiàn)的范數(shù)。 3) 相空間重構(gòu)理論對低維混沌時(shí)序和高維混沌時(shí)序是普遍適用的,本文給出的實(shí)際計(jì)算結(jié)果完成了混沌時(shí)序在相空間基坐標(biāo)框架的投影即相空間重構(gòu)的重要工作。4) 混沌時(shí)序的分維數(shù)決定模型的階數(shù)，混沌時(shí)序的Lyapunov指數(shù)決定時(shí)序預(yù)測的長度,，用文獻(xiàn)4的方法確定的模型的階是好的。5) 選擇適當(dāng)?shù)幕煦缒Ｐ筒⒉捎眠m當(dāng)?shù)乃惴茉黾幽Ｐ皖A(yù)測的精度，且混沌時(shí)序不可能作長期預(yù)測。 參考文獻(xiàn)1 Chen Yushu,Ma Junhai, Liu Zengrong.The State Space Reconstruction Technology of Different Kinds of Chaotic Data Obtained From Dynamical System.ACTA MECHANICA SINICA, 1999, 1 (15):82-922 馬軍海，陳予恕. 動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)的非線性混沌特性的判定. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 1998,19(6) 481488。3 馬軍海，陳予恕. 高斯分布的相位隨機(jī)化對實(shí)測數(shù)據(jù)臨界值影響的分析研究.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1998,19(11): 955-9634 馬軍海. 混沌時(shí)序動(dòng)力系統(tǒng)非線性重構(gòu). 天津大學(xué)博士學(xué)位論文, 1997. 55 馬軍海，陳予恕. 動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)的Lyapunov指數(shù)的矩陣算法. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1999, 20(9):919-9276 馬軍海，陳予恕. 動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)的非線性混沌模型重構(gòu). 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 1999,20 (11):1128-11347 馬軍海，陳予恕. 混沌時(shí)序相空間重構(gòu)的分析和應(yīng)用研究. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2000,21(11): 1117-11248 Ma Junhai.The State Space Reconstruction of Different Kinds of Chaotic Data Obtained from Economic Dynamical System. Proceedings of 99 International Conference On Management Science & Engineering, Yichang, P.R.China, 1999,11:1061109 馬軍海，陳予恕. 三種動(dòng)力系統(tǒng)實(shí)測混沌數(shù)據(jù)的Lyapunov指數(shù)的比較. 天津大學(xué)學(xué)報(bào),1999, 2(1): 190-195 10 馬軍海，陳予恕. 三種動(dòng)力系統(tǒng)的實(shí)測混沌數(shù)據(jù)的本征值比較. 天津大學(xué)學(xué)報(bào), 1999, 32(3): 275-27911 馬軍海，陳予恕. 動(dòng)力系統(tǒng)的實(shí)測數(shù)據(jù)的奇異值分解技術(shù). 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 1999,12(3): 323-33012 盛昭瀚, 馬軍海. 非線性動(dòng)力系統(tǒng)分析引論. 科學(xué)出版社，2000年10月13 馬軍海, 盛昭瀚. 經(jīng)濟(jì)時(shí)序動(dòng)力系統(tǒng)的分形及混沌特性研究. 系統(tǒng)工程學(xué)報(bào), 2000,1:131914 J.luis Cabrera, F.Javier, Numerical analysis of transient behavior in the discrete random Logistic equation with delay.Phys.Lett A197(1995) 19-2415 J.Timonen and H.koskinen,An improved estimator of dimension and some comments on providing confidence intervals. Geophys.Res.Lett20(1993) 1527-153616 John F.Gibson, J.Doyne Farmer, Martin Casdagli and Stephen Eubank. An analytic approach to practical state space reconstruction. Phys. D1992,57: 1-3017 Qinghua Zhang .Wavelet Networks, IEE Transections on Neural Networks. 1992,6(11): 889-89818 Liang Yue Cao. Predicting chaotic timeseries with wavelet networks . Phys.D, 1995,85: 225- 23819 Dean Prichard. Generating surrogate data for time series with several simultaneously measured variables. Phys.Rev.Lett ,1994,191: 230-24520 M.E.Davies. Reconstructing attractions from filtered time series. Phys,D,1997,101: 195- 20621 Alexet Potapov. Distortions of reconstruction for chaotic attractors. Phys.D,1997,101:207- 22622 Tsay,R.Nonlinearity Test for Timeseries. Biometrica,1986,73:461-46623 Engle,R.Autoregreessive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance Of U.K.Inflations, Econometrica,1982,50:987-100724 C.J.Stam, J.P.M.Pijn, W.S.Pritchard. Reliable detection of nonlinearity in experimental timental timeseries with strong periodic components. Phys.D 1998,112: 361-38025 Alexei Potapov,Jurgen Kurths.Correlation integral as a tool for distinguishing between dynamics and statistics in time series data. Phys.D1998,120: 369-38526 N. H. Packard, J. P. Crutchfield, J. D. Farmer, and R. S. Shaw, Geometry from a time series.Phys Rev Lett1980,45(9): 712 27 F. Takens. In Dynamical Systems of Turbulence, edited by D. A. Rard and L. S. Young (springer, Berlin 1981)28 J.D. Scargle.Studies in astronomical time series analysis.IV.Modeling chaotic and random processes with linear filters. Astrophys.J.1990,359:469-48229 F.Takens, Mane. Detecting strange attractors in fluid turbulence,in: Dynamical systems and Turbulence. Vol.898 of Lecture Notes in Mathematics, springer, Berlin 1986, P.36630 R.Badii, G.Broggi, B.Derighetti, S.Ciliberto, A. Politi,and M.A.Rubio. Dimension increase in filtered chaotic signals. Phys.Rev.Lett.1988,60:979-98431 D.S.Broomherd etc.Extracting qualitatire dynamics from experimental data. Phys.D 1987,20: 217-23632 盛昭瀚 馬軍海. 管理科學(xué)：面對復(fù)雜性混沌時(shí)序經(jīng)濟(jì)動(dòng)力系統(tǒng)重構(gòu)技術(shù).管理科學(xué)學(xué)報(bào),9